Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика:
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл
400
sin(𝛽 + 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ cos𝛼 + cosβ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼
және
cos(β − 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼
кӛбейтетін болсақ, онда қос аргументтің
формуласын пайдалана отырып, синустардың
қосындысының формуласын аламыз [1]:
𝑠𝑖𝑛2𝛽 + 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 2 sin(𝛽 + 𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽 − 𝛼).
Осыған
ұқсас
𝑐𝑜𝑠(𝛽 + 𝛼)
және
𝑐𝑜𝑠(𝛽 − 𝛼)
формулаларын кӛбейтіпғ алатынымыз
𝑐𝑜𝑠2𝛽 + cos2𝛼 = 2 cos(β + α) ∙ cos(β − 𝛼),
ал
sin(𝛽 + 𝛼)
және
sin(𝛽 − 𝛼)
формулаларын
кӛбейтіп,
𝑐𝑜𝑠2𝛽 − cos2𝛼 = 2 sin(𝛽 + 𝛼) ∙ 2 sin(𝛽 − 𝛼)
формуласын аламыз.
sin(𝛽 + 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ cos𝛼 + cosβ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼
және
sin(𝛽 − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ cos𝛼 − cosβ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼
формулаларын қосу арқылы мына
формуланы аламыз:
2𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ cos𝛼 = sin(𝛽 + 𝛼) + sin(𝛽 − 𝛼).
cos(β + 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 − 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼
және
cos(β + 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼
формулаларын қосу арқылы мына формуланы аламыз:
2cosβ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 = cos(β + 𝛼) +cos(β − 𝛼)
,
ал
cos(β + 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼
формулаларын азайту арқылы:
2𝑠𝑖𝑛β ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 = cos(β + 𝛼) −cos(β − 𝛼)
аламыз.
𝑠𝑖𝑛
2
𝛼 + 𝑐𝑜𝑠
2
𝛼 = 1
тепе-теңдігі тригонометрияның негізгі тепе-теңдігі екендігін
баршамыз білеміз және ол ол
𝑥
2
+ 𝑦
2
= 1
радиусы бірге тең, яғни бірлік шеңбер теңдеуіне
сәйкес келеді. Сонымен бірге бірлік шеңбердегі нүктенің
координаталары радиустың
𝛼
бұрышымен айналу бұрышының синусы мен косинусының мәндері болып табылады (3-
сурет).
3-сурет. Бірлік шеңберде синус пен косинусты кӛрсету
Бұрыштың бастапқы мәні ретінде координаталары (1; 0) болатын нүктесін алған
ыңғайлы. Ал бұрыш [о
0
; 360
0
] диапазонындағы кез келген
мәндерді қабылдауы және
тригонометриялық функциялардың мәндерінде таңбасы кез келген болуы мүмкін. Оның
үстіне координаталар 360° сайын қайталанып отыратындықтан,
мынадай теңдік
орындалады:
𝑠𝑖𝑛𝑎 = sin(𝑎 + 360
°
∙ n) , cosα = cos(α + 360
°
∙ n),
мұндағы
п
∈
N.
Шеңбердегі доғаның ұзындығы центрлік бұрышқа тікелей байланысты
болғандықтан, бұрышты доғаның ұзындығымен ӛлшеген дұрыс болады. Бірлік шеңбердің
бойындағы
𝛼
бұрышына тірелетін доғаның ұзындығын градуспен ӛлшенгендегі мәні
мынадай
болып
есептелетіні
түсінікті:
𝑙=
2πR
𝛼
немесе
𝑙 =
πR
𝛼.
[2].
360ᵒ
180ᵒ