Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика
Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика
жүктеу/скачать 12,2 Mb. Pdf көрінісі
|
TaimanovMatem
- Бұл бет үшін навигация:
- Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының
| Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика:
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 399 1-сурет. Тік бұрышты үшбұрыштағы бұрыштарды есептеу мына түрге келтіріледі: sin(𝜑 − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∙ cos𝛼 − cosφ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 . Тікбұрышты үшбұрыштағы азайту формулаларын, сонан кейін 𝜑 = π − 𝛽 2 екендігін ескеріп, мынаны аламыз: cos(β + 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 − 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼. Алынған екі формуланы яғни мына формулаларды кӛбейту арқылы sin(𝛽 − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ cos𝛼 − cosβ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 және cos(β + 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 − 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 және қос аргументтің формулаларын пайдалана отырып, синустардың айырмасының формуласын аламыз: 𝑠𝑖𝑛2𝛽 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 2 sin(𝛽 + 𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽 − 𝛼). Егер үшбұрыштың бір қабырғасына жүргізілген биіктікті қарастыру арқылы кішкене басқаша формуланы алуға болады. Бұл жағдайда: 2-сурет. Үшбұрыштың бұрыштарын есептеу 𝑏 = cosφ , 𝑐 = 1 , cosα 2 1 ∙ 𝑏𝑐 ∙ sin(𝜑 + 𝛼) = 2 1 ∙ 𝑏 ∙ sin 𝜑 + 2 ∙ ∙ 𝑐 sin 𝛼 Нәтижесінде алатынымыз 𝑡𝑔𝜑 + 𝑡𝑔𝛼 = sin (φ+α) cosα∙cosφ , sin(𝜑 + 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∙ cos𝛼 + cosφ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 , 𝜑 = π − 𝛽 2 екендігін ескеріп, мынаны аламыз: cos(β − 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 400 sin(𝛽 + 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ cos𝛼 + cosβ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 және cos(β − 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 кӛбейтетін болсақ, онда қос аргументтің формуласын пайдалана отырып, синустардың қосындысының формуласын аламыз [1]: 𝑠𝑖𝑛2𝛽 + 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 2 sin(𝛽 + 𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛽 − 𝛼). Осыған ұқсас 𝑐𝑜𝑠(𝛽 + 𝛼) және 𝑐𝑜𝑠(𝛽 − 𝛼) формулаларын кӛбейтіпғ алатынымыз 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + cos2𝛼 = 2 cos(β + α) ∙ cos(β − 𝛼), ал sin(𝛽 + 𝛼) және sin(𝛽 − 𝛼) формулаларын кӛбейтіп, 𝑐𝑜𝑠2𝛽 − cos2𝛼 = 2 sin(𝛽 + 𝛼) ∙ 2 sin(𝛽 − 𝛼) формуласын аламыз. sin(𝛽 + 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ cos𝛼 + cosβ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 және sin(𝛽 − 𝛼) = 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ cos𝛼 − cosβ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 формулаларын қосу арқылы мына формуланы аламыз: 2𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ cos𝛼 = sin(𝛽 + 𝛼) + sin(𝛽 − 𝛼). cos(β + 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 − 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 және cos(β + 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 формулаларын қосу арқылы мына формуланы аламыз: 2cosβ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 = cos(β + 𝛼) +cos(β − 𝛼) , ал cos(β + 𝛼) = cosβ ∙ cos𝛼 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 формулаларын азайту арқылы: 2𝑠𝑖𝑛β ∙ 𝑠𝑖𝑛𝛼 = cos(β + 𝛼) −cos(β − 𝛼) аламыз. 𝑠𝑖𝑛 2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 тепе-теңдігі тригонометрияның негізгі тепе-теңдігі екендігін баршамыз білеміз және ол ол 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 радиусы бірге тең, яғни бірлік шеңбер теңдеуіне сәйкес келеді. Сонымен бірге бірлік шеңбердегі нүктенің координаталары радиустың 𝛼 бұрышымен айналу бұрышының синусы мен косинусының мәндері болып табылады (3- сурет). 3-сурет. Бірлік шеңберде синус пен косинусты кӛрсету Бұрыштың бастапқы мәні ретінде координаталары (1; 0) болатын нүктесін алған ыңғайлы. Ал бұрыш [о 0 ; 360 0 ] диапазонындағы кез келген мәндерді қабылдауы және тригонометриялық функциялардың мәндерінде таңбасы кез келген болуы мүмкін. Оның үстіне координаталар 360° сайын қайталанып отыратындықтан, мынадай теңдік орындалады: 𝑠𝑖𝑛𝑎 = sin(𝑎 + 360 ° ∙ n) , cosα = cos(α + 360 ° ∙ n), мұндағы п ∈ N. Шеңбердегі доғаның ұзындығы центрлік бұрышқа тікелей байланысты болғандықтан, бұрышты доғаның ұзындығымен ӛлшеген дұрыс болады. Бірлік шеңбердің бойындағы 𝛼 бұрышына тірелетін доғаның ұзындығын градуспен ӛлшенгендегі мәні мынадай болып есептелетіні түсінікті: 𝑙= 2πR 𝛼 немесе 𝑙 = πR 𝛼. [2]. 360ᵒ 180ᵒ |