Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика
Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика
жүктеу/скачать 12,2 Mb. Pdf көрінісі
|
TaimanovMatem
- Бұл бет үшін навигация:
- , если существует кардинал такой, что для любого псевдо-конечного множества А и для любого элемента a модели теории Т существует A
| Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика:
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 421 Определение 3. Будем говорить что полная теория Т имеет Свойство Изоляции , если существует кардинал такой, что для любого псевдо-конечного множества А и для любого элемента a модели теории Т существует A 0 A такое, что |A 0 | < и tp( a / A 0 ) изолирует tp( a / A ). Для произвольных подмножеств A, B структуры M пишут A< B, если a < b всякий пишут A < x, если A < {x}. Для произвольного полного 1-типа p через p(M) обозначают множество реализаций типа p вM. Открытым интервалом I в структуре M называется параметрически определимое подмножество структуры M вида I = {c M: M = a < c < b} для некоторых a, b M {– где a < b. Аналогично, можно определить замкнутые, полуоткрытые- полузамкнутые и т.п. интервалы в M, так что, например, произвольная точка структуры M является сама (тривиальным) замкнутым интервалом. Подмножество A структуры M называется выпуклым когда a < c < b следует, что c A. Данная статья касается понятия слабой о-минимальности , первоначально глубоко исследованногоД. Макферсоном, Д. Маркером и Ч. Стайнхорном в[11]. Слабо о- минимальная структура есть линейно упорядоченная структура M = M, =, <, … такая, что любое определимое (с параметрами) подмножество структуры M является объединением конечного числа выпуклых множеств в M. Вспомним что такая структура M называется о-минимальной , если каждое определимое (с параметрами) подмножество структуры M является объединением конечного числа интервалов в M. Таким образом, слабая о-минимальность является обобщением о-минимальности. Ранг выпуклости формулы с одной свободной переменной введен в [12]. Ниже мы расширяем определение ранга выпуклости формулы [12] на произвольные множества (необязательно определимые): Определение 4.[12] Пусть T — слабо о-минимальная теория, M — достаточно насыщенная модель теории T, A ⊆ M. Ранг выпуклости множества A (RC(A)) определяется следующим образом: 1) RC(A) = –1, если A= ∅ . 2) RC(A) = 0, если A конечно и непусто. 3) RC(A) ≥ 1, если A бесконечно. 4) RC(A) ≥ α + 1, если существует параметрически определимое отношение эквивалентности E(x, y) такое, что существуют b i ∈ A, i ∈ ω, которые удовлетворяют следующему: • Для любых i, j ∈ ω, всякий раз когда i ≠ j мы имеем M ⊨ ¬E(b i , b j ) • Для каждого i ∈ ω RC(E(M, b i )) ≥ α и E(M, b i ) — выпуклое подмножество множества A 5) RC(A) ≥ δ, если RC(A) ≥ α для всех α ≤ δ (δ предельный). Если RC(A) = α для некоторого α, то мы говорим что RC(A) определяется. В противном случае (т.е. если RC(A)) ≥ α для всех α), мы полагаем RC(A) = ∞. Ранг выпуклости формулы ϕ(x, a ) , где a ∈ M, определяется как ранг выпуклости множества ϕ(M, a ), т.е. RC(ϕ(x, a ) ) := RC(ϕ(M, a )). Ранг выпуклости 1-типа p определяется как ранг выпуклости множества p(M), т.е. RC(p) := RC(p(M)). В частности, теория имеет ранг выпуклости 1, если не существует определимого (с параметрами) отношения эквивалентности с бесконечным числом выпуклых бесконечных классов. Очевидно, что о-минимальная теория имеет ранг выпуклости 1. Определение 5.[13] Пусть M – слабо о-минимальная структура, A, B M, M – |A| + -насыщенна, p, q S 1 (A) – неалгебраические. Будем говорить, что тип p не является |