Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика
жүктеу/скачать 12,2 Mb. Pdf көрінісі
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының
| Постановка задачи.
Полоса с прямоугольным поперечным сечением конечных размеров содержит внутри себя нецентральное прямоугольное отверстие (рисунок 1). Она с момента времени t = 0 подвергается динамическому воздействию в точках границы x 1 = 0, L x 2 L прямоугольной области, которое сводится к заданию на этой границе вектора скорости смешения. Задача заключается в определении внутри прямоугольной области с нецентральным прямоугольным отверстием полей напряжений и скоростей, вызванных фронтами падающих и многократно дифрагированных упругих волн в момент времени t > 0. В условиях плоской деформации волновой процесс во внутренних точках полосы с нецентральным прямоугольным отверстием описывается системой дифференциальных уравнений гиперболического типа, содержащей в качестве неизвестных безразмерные напряжения p , q , , скорости перемещений v 1 , v 2 [1]: v 1, t – p , 1 – q , 1 – , 2 = 0 ; v 2, t – p , 2 + q , 2 – , 1 = 0 ; (1) 2 ( 2 – 1 ) -1 p , t – v 1 ,1 – v 2 , 2 = 0 ; 2 q , t – v 1 ,1 + v 2 , 2 = 0 ; 2 , t – v 1 , 2 – v 2 , 1 = 0 . Безразмерные переменные введены по формулам [1]: t = tc 1 ; x = x i ; v = 1 u i , ( i =1, 2 ) b i b c t 1 p = 11 + 22 ; 2 c 2 q = 11 22 ; 2 c 2 (2) = 12 ; c 2 = c 1 , c 2 где b – характерный размер; –плотность материала; c 1 , c 2 -скорости волн расширения и сдвига; 11 , 22 , 12 - компоненты тензора напряжений; - постоянный параметр. В дальнейшем черта над безразмерными параметрами опускается. Краевая задача, формулируемая для разрешающих уравнений (1), предполагает, что в начальный момент времени t = 0 тело находится в состоянии покоя v 1 ( x 1 ; x 2 ;0) = v 2 ( x 1 ; x 2 ;0) = p ( x 1 ; x 2 ; 0) = q ( x 1 ; x 2 ;0) = ( x 1 ; x 2 ;0) = 0 (3) В любой другой момент времени t>0 на лицевой границе прямоугольной области прикладывается внешняя нагрузка x 1 = 0, x 2 L Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 309 1 1 2 2 x 2 M 0 R х 0 1 х 1 1 N K х 0 2 х 1 2 х 1 S Q G P v 1 = f ( t ), v 2 = 0 при x 1 = 0, – L x 2 L . (4) Противоположная сторона x 1 = l , L x 2 L считается жестко закрепленной v 1 = v 2 = 0 при x 1 = l , x 2 L . (5) Боковые стороны x 2 свободными от напряжений = L , 0 x 1 l прямоугольной области предполагаются p q = 0, = 0 при x 2 = L , 0 x 1 l . (6) Контур прямоугольного отверстия предполагается свободными от напряжений p + q = 0, = 0 при x 0 x x 1 и x = x 0 , x = x 1 , (7) 2 2 2 1 1 1 1 p q = 0, = 0 при x 0 x x 1 и x = x 0 , x = x 1 . (8) 1 1 1 2 2 2 2 Здесь f ( t ) –заданная функция, изменяющаяся во времени по закону непрерывно дифференцируемой функции, которая в начале монотонно возрастает до максимального значения f(t 0 ), а затем монотонно убывает; x 0 , x 1 , x 0 , 1 постоянные числа, определяющие размеры отверстия. Таким образом необходимо найти решение поставленной задачи при сформулированных условиях (3) – (8). Рисунок 1 – Исследуемая область Методы. Поставленная задача решена методом пространственных характеристик, подробный алгоритм численной реализации которого изложен в [1]. Особенностью рассмотренного тела с нецентральным прямоугольным отверстием является то, что в x Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 310 угловых точках прямоугольного отверстия (рисунок 1) нарушается «привычная» для динамических задач гладкость функций, т.е. в этих точках первые и вторые производные искомых функций терпят разрыв первого рода. Именно на такие особенности не было распространено или вообще, как нам известно, не было метода решения таких задач. В дополнение к известным соотношениям [1] были получены конечно-разностные соотношения для нахождения искомых функций в особых угловых точках прямоугольного отверстия [2]. На границах прямоугольного отверстия PG, GS , QS, PQ необходимо использовать конечно–разностные уравнения, подобные уравнениям на границах NK, MN, MR, RK прямоугольной области, полученные в [1] и граничные условия (7)– (8) соответственно. Таким образом построен численный алгоритм решения поставленной нестационарной задачи теории упругости в особых точках, в которых входящие параметры терпят разрыв первого рода. На основе этого численного алгоритма создана единая программа расчетов на языке Фортран для персональных компьютеров. жүктеу/скачать 12,2 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|