Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
338 
r 
где 
𝑊
r
−
частное решение неоднородного уравнения и ищется в зависимости 
от вида функции внешнего воздействия. 
Если правая часть уравнения (3) равна 
Φ(𝜉) = 𝒬𝑒
–α
0
£
sin (𝛽
0
𝜉)
(10) 
то частное решение уравнения (3) ищется в виде 
𝑊
r
= 𝒬𝑒
–α
0
£
[Asi n(𝛽
0
𝜉) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝛽
0
𝜉)] 
(11) 
Подставляя выражение 
𝑊
r
в уравнение (3), получим 
W = e
–a
0
ಖ
[
𝒬a
a
2
+b
2 
sin(β
0
ξ) + 
𝒬b 
a
2
+b
2 
cos(β
0
ξ)] 
(12) 
где 
a = 𝒬
1
(α
4
− 6α
2
β
2
+
β
4
) + 𝒬
2
(β
2
− 3α
2
) + −β
2
) − 𝒬
3
(α
2
− β
2
) − 𝒬
4
α
0
0 
0 0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
b = β
0
4𝒬α
0
(α
2
− β
2
) + 𝒬
2
(β
2
− 3α
2
) + 2𝒬
3
α
0
− 𝒬
4
0 
0 
0 
0 
1 
𝒬 = 
[[[4(1 − v )d
2
(d
2
+ 3d
2
) + d
2
(d
2
h − 3d
2
h)] + 
1
24(1 − v
1
) 
1 
3 
1 
3 
2 
2 
1 
+4d
2
[(1 − v ) 
(1+v
1
)h
3 
+ 3v
h] − 16(1 − v ) ∙ (3d
2
− 2d
2
)]] 
2 
(13) 
1 
1–v
1
1 
1 
3 
1 
𝒬 =
s
0
d
3 
[d
2
(5 − 8v ) + 4d
2
(1 − 2v ) − 8(1 − v )] 
2 
8(1 − v
1
) 
3 
1 
2 
1
1 
𝒬
3
= (d
2
+ d
2
h) 
3 
2 
𝒬
4
= 
s
0
d
3
2 
Общее решение дифференциального уравнения (3) имеет вид 
𝑊 = 𝐶 + 𝐶 𝑒
–a
2£
+ 𝑒
–a
2
£
[𝐶 sin (𝛽 𝜉)
+
𝐶 cos (𝛽 𝜉
)] + 
𝒬
[𝑎𝑠𝑖𝑛(𝛽 𝜉) + 
1 
2 
3 
0 
4 
0 
a
2
+b
2
0 
𝑏𝑐𝑜𝑠(𝛽
0
𝜉)] 
(14) 
Для определения постоянных 
С
j
воспользуемся граничными условиями для 
2 
3 
случая 
𝑉 > 𝑎
, которые имеют вид 
6W
= 
6 W 
= 
6
W
= 0 
(𝜉 = 0) 
(15) 
0 
6£ 
6£
2 
6£
3 
и, кроме того, должны выполнятся неравенства 
|𝑊|
∞
< ∞; 
6W
| < ∞ 
(16) 
6( 
∞ 
Подставляя 
общее решение неоднородного дифференциального уравнения 
(14)
в граничные условия (15), получим 
𝒬b 
С
1
+ С
2
+ С
3
+ С
4
= − 
a
2 
+ b
2 
−𝛼 𝐶 + 𝛽 𝐶 − 𝛼 𝐶 
= − 
𝒬ab 
(17) 
2 2 
3 3 
3 4 
a
2
+b
2 
𝒬bβ
2
−𝛼
2
𝐶 − 2𝛼 𝛽 𝐶 + (𝛼 
— 𝛽
2
)𝐶 
=
0
2 2 
3 3 3 
3 
0 
4 
a
2
+ b
2
𝒬aβ
2
−𝛼
3
𝐶 + 2𝛽 (3𝛼
2
− 𝛽
2
)𝐶 + 𝛼
(3𝛽
2
−𝛼
2
)𝐶 =
0
2 2 
3 
3 
3 
3 
3 
3 
3 
4 
a
2
+ b
2
Решая систему алгебраических уравнений относительно
С
j
, (𝑗 = 1
¯¯,¯4¯), 
находим 
𝒬 
𝐾
1
𝑏𝛼
2
(𝛼
2
𝛽
3
− 2𝛼
3
𝛽
3
) + 𝛼
2
𝛽
0
𝐾
2
(𝛼
2
𝛽
3
− 2𝛼
3
𝛽
3
) + 𝛽
0
{[𝐾
1
(𝛽
0
𝑏 − 𝑎𝛼
2
) − 𝐾
2
] − 𝛼
3
𝛽
3
(𝛼
2
− 2𝛼
3
) + 𝑎𝛽
3
𝐾
1
} 
С
1
= − 
a
2 
+ b
2 
[ 
𝐾 𝛼 (𝛼 𝛽 − 2𝛼 𝛽 ) 
]
1 2 3 3 
3 3 
𝒬b
0
[𝐾
1
(𝛽
0
𝑏 − 𝑎𝛼
2
) − 𝐾
2
] − 𝛼
3
𝑏(𝛼
2
− 2𝛼
3
) + 𝑎𝛽
3
(𝛼
2
− 2𝛼
3
)𝐾
1
С
2 
= 
a
2
+ b
2
𝛼
2
𝛽
3
(𝛼
2
— 2𝛼
3
)𝐾
2
| 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
339 
1 
2 
4 
2 
2 
𝒬β
0
𝐾
1
(𝛽
0
𝑏 − 𝑎𝛼
2
) − 𝐾
2
𝐶
3 
= 
a
2
+ b
2
[ 
𝐾 (𝛼 𝛽 − 2𝛼 𝛽 ) 
]
3 
3 3 
C =
𝒬β
0 
∙ K 
K
1
(a +b ) 
(18) 
где 
𝐾
1
= {(𝛼
2
− 𝛽
2
− 𝛼
3
𝛼
2
)[𝛽
3
(3𝛼
2
− 𝛽
2
) − 𝛼
2
𝛽
3
] + (2𝛼
3
𝛽
3
− 𝛼
2
𝛽
2
) ∙ 
3 
3 
3 
3 
[𝛼
3
(3𝛽
2
− 𝛼
2
) + +𝛼
2
𝛼
3
]} 
(19) 
3 
3 
2 
𝐾
2
= (𝛽
0
𝑏 − 𝑎𝛼
2
)[𝛽
0
(3𝛼
2
− 𝛽
2
) − 𝛼
2
𝛽
3
] + 𝑎(2𝛼
3
𝛽
3
− 𝛼
2
𝛽
2
)(𝛼
2
+ 𝛽
2
) 
3 
3 
2 
2 
3 
Таким образом, решение задачи о колебаний бесконечной упругой пластинки, 
находящейся под поверхностью, при воздействии подвижной нагрузки имеет вид: 
𝒬 
𝐾
1
𝑏𝛼
2
(𝛼
2
𝛽
3
− 2𝛼
3
𝛽
3
) + 𝛽
0
𝐾
2
𝛼
2
𝛽
3
(𝛼
2
− 2𝛼
3
) − 𝛽
0
[[𝐾
1
(𝛽
0
𝑏 − 𝑎𝛼
2
) − 
𝑊 = − 
a
2 
+ b
2 
[− { 
𝐾
1
𝛼
2
𝛽
3
(𝛼
2
— 2𝛼
3
) 
–K
2
]–(α
3
β
3
–aβ
3
K
1
)(α
2
–2α
3
)]
}
+
β
0
{[K
1
(β
0
b–aα
2
)–K
2
]–(α
3
β
3
–aβ
3
K
1
)(α
2
–2α
3
)}
𝑒
–α
2
£
(20)
K
1
α
2
β
3
(α
2
–2α
3
) 
Аннотация 
В 
настоящей 
статье 
исследуется 
влияние 
нестационарной 
нагрузки 
специального вида на колебание безграничной упругой пластинки, находящейся под 
поверхностью. Общее решение поставленной задачи получено с применением 
известных математических методов и приемов. Получено аналитическое выражение 
поперечного смещения для точек срединной плоскости. 
Ключевые слова: 
реакцияоснования, подвижная нагрузка, преобразование 
Галилея, 
подвижная 
система 
координат, 
упругость, 
безразмерная 
частота, 
характеристическое уравнение. 
Annotation 
This article investigates the influence of a non-stationary load of a special type on the 
oscillation of an infinite elastic plate located below the surface. The general solution of the 
problem is obtained using well-known mathematical methods and techniques. An analytical 
expression of the transverse displacement for the points of the median plane is obtained. 
Keywords: 
base reaction, mobile load, Galileo transformation, mobile coordinate system, 
elasticity, dimensionless frequency, characteristic equation. 
Список использованной литературы: 
1.
Джанмулдаев Б.Д Математические методы при исследовании колебаний 
плоских 
элементов 
конструкций, 
взаимодействующих 
с 
деформируемой 
средой.Монография. – г.Кызылорда 2002г. 
2.
Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и 
вязкоупругих пластин и стержней – Кишинев. Штиинца, 1988. 
3.
Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости – М. Мир, 1965г. 
4.
Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики – М.ИЛ.1958. т.т 1,2. 
2 

Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
340 
ГРНТИ 14.35.07 
ОҚУШЫЛАРҒА «АРИФМЕТИКАЛЫҚ ЖӘНЕ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ 
ПРОГРЕССИЯ»ТАҚЫРЫБЫ БОЙЫНША ТАПСЫРМАЛАР ЖҤЙЕСІ АРҚЫЛЫ 

жүктеу/скачать 12,2 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: