Университеттің 85 жылдығына арналған Қазіргі заманғы математика


ӘДЕБИЕТТІ ТАЛДАУ ЖӘНЕ ӘДІСТЕМЕСІ



Pdf көрінісі
бет438/527
Дата14.10.2023
өлшемі12,2 Mb.
#114644
1   ...   434   435   436   437   438   439   440   441   ...   527
Байланысты:
TaimanovMatem

ӘДЕБИЕТТІ ТАЛДАУ ЖӘНЕ ӘДІСТЕМЕСІ 
Бұл мақаланың мазмұны мен тақырыбы туралы алдын ала мәліметтерді Иванова 
Ж.В. [4], 
М.Б. Байбазаров, Ӛ.Д.Ершібаев. 
[2] және 
В. Серікбаева 
[5] әдебиеттерінен 
табуға болады. Математикалық талдау әдістерін қолдану арқылы шешуге болатын 
математикалық олимпиада мысалдары мен есептер, Вилeнкин Н. Я. [3] және Жәутіков 
О.А. [1] әдебиетінен кездестіруге болады. 
Мақала математикадан олимпиада есептерін шешуде математикалық талдау 
әдістерінің рӛлі мен орнын кӛрсетуге арналған. Негізгі назар дифференциалдық 
есептеудің негізгі теоремаларына аударылады. 
ТАЛДАУ МЕН НӘТИЖЕЛЕР 
Дифференциалдық есептеудің негізгі теоремаларын қолданып шығарылатын 
есептер. 
Бұл бӛлімде біз функцияның туындысын бірнеше есептерге қолдануды 
ұсынамыз. 



p
 

p
 

b
p
 
1-есеп. Егер 
дәлелдеңіз. 

0 , 

0 , 

1 болса, онда 


болатынын 
Дәлелдеу. 

= 0 немесе 

= 0 болса, теңсіздіктің теңдік шарты орындалады. 
Сондықтан, біз тек 


> 0 күйіне қараймыз және 

 
 


p
 
 



p
 

p
 

b
p
 
+1

+1 





екенін ескереміз. Мына функцияны құрайық: 

p
 
+ 1 

+ 1
p
 

(
x








1. 


+1

Бұл жағдайда 

(
0

= 0 , 


(
x





болады. 

'
(
x


болғандықтан 

(
x

функциясы ӛспелі.Сол себепті 

(
x


(
0
)


p
 
+ 1 

+ 1


 
Бұл жерден 

2
шығады. 



деп таңдасақ 



p
 

p
 


p
 
 
теңсіздігін аламыз. 
2- есеп. 
x
(
x
2
)(
x
2
)




теңдеуінің кез келген

мәні үшін бес бүтін 
шешімі бола алмайтынын дәлелдеңіз. 
Дәлелдеу. Мына функцияны құрайық: 
Бұл функция бүтін сандар осінде анықталған 

(
x


x
(
x
2
)(
x
2
)



(
x

= 5
x
4
3
x
2
+ 10 

1).

'
(
x

= 0 теңдеуді шешеміз. Осыдан 
x


x

=
және 
x


x

=
33 + 889 
10 
33 889 
10 



Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
412 
10 
 

 

 
 
 
келіп шығады. 
2).

(
x

= 0 теңдеуді шешеміз. 
x
(
x
2
)(
x
2
)
= 0 

= 0, 


және 

=

3).
Функцияның графигін салайық. (1-сурет) 
1-сурет 
Функцияның бес монотонды интервалдары:1)
(

x
1

, 2)
[
x
1

x


, 3)
[
x


x


, 4) 
[
x
3

x
4
]
, 5) 
[
x
4
; + 


Демек, 



түзу сызығы 

(
x

функциясын ең кӛбі бес нүктеде қиып ӛте алады. 
[
x
1

x

] ([
x
1

x

]
(
1;1
)) 
монотонды интервалында бірегей

= 0 бүтін сан бар. 
Демек, 

= 0 болғанда 

(
x



теңдеудің ең кӛбі бес бүтін шешімі болуы мүмкін. 
Ал 

(
x

= 0 теңдеуінің 

= 0 және 


барлық шешімдері бар. Бұл шарт 

(
x



теңдеуінің бес бүтін шешімі жоқ дегенді білдіреді. 
Функцияның туындысын кейбір стандартты емес есептерге қолдану. 
Бұл 
бӛлімде функцияның туындысын кейбір күрделі есептерді 
қарастырамыз. 
шешуге қолдануды 
1-теорема. 
ABCD 
тіктӛртбұрышында еркін
М 
нүктесі берілген, егер 
AB 



AD 



 
1 бол са, онда 
a)
max
{
MA 

+
MB 

+
MC 

+
MD 
 
}

a


b




2

b
2
 

2


2
)


b)
min
{
MA 


MB 


MC 


MD 
 
}
= 4

теңдігі орынды болады. 
Дәлелдеу. 

нүктеден 
KN 
AB 

PQ 
AD 
 
кесінділерін 
ӛткізейік (1-сурет). 
Айталық, 
AK 



MK 


болсын. 

нүктесі тӛртбұрышта болғандығы үшін 0


, 0


болады. Пифагор теоремасы бойынша: 
MA

MB 

MC 

MD 

(


y
)
2

(
(

a


y
)
2


(
(


)
2

(

b
)

)
2

(
x
2

(

b
)

)
2

 
 
 




Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
413 
b




 
 
 
 
P
(
x
,0


P
(
x

b


x


(

x
)


(
(

a
)
2

b
2
)
2

(
x
2

b
2
)

Бұл белгіні енгізе отырып, біз келесі екі жағдайды қарастырамыз. 
P
(
x




(

2


2
)
2

(
(

a
)
2


2
)
2

(
(

a
)
2

(

b
)

)
2

(

2

(

b
)

)
2
1-жағдай. 

= 0 
немесе 



2-сурет 
болсын. Бұл жағдайда 
болғандықтан тек 
P
(
x
,0

 
 
екенін түсіну жеткілікті. 
P
(
x
,0

 
 
функциясые 
(
0, 
a

аралығында 
x-
ке 
қатысты 
бірінші 
және 
екінші 
туындыларды 
есептейміз: 
P
'
(
x
,0




(

x


(

a
)
(
(

a
)

b
)
2

x
(


b
)

 
 


 


 
P
''
(
x
,0


(
 
)
(

 
– 
(

x
)
 
)

(
(

a
)
2
+

)
 

(
(
 
)(

a
)
2


)

P
''
(
x
,0


болғандықтан 

 
(
x
2

b
2
)
 

(
(
 
1
)
x
2

b
2
)

P
'
(
x
,0

функция 
(
0, 
a

аралығында ӛспелі. Сол себепті 
P
'
(
x
,0

= 0 теңдеуінің 
(
0, 
a

аралығында ең кӛбі бір шешім болуы мүмкін. 
P
'

, 0 
= 0 
болғандықтан, жалғыз шешімі - 


a
 
 

Демек, 
P
(
x
,0

функция 
0, 

кесіндісінде 

2
кемиді,


a
кесіндісінде ӛседі. Осыған сүйене отырып, біз келесі теңдеулерді аламыз: 

max 
P
(
x
, 0


P
(
0, 0


P
(
a
, 0


a
 

b
 

x a 
a
2

b
2
)
 

 


 
 

2
2
min 
P
(
x
, 0


P
, 0 = 2
+ 2

b
2

x


2
2
2-жағдай. 0


болсын. Бұл жағдайда 
у 
айнымалысын тағайындаймыз және 
х
-ке қатысты функциясының бірінші және екінші туындыларын есептейміз: 
P
'
(
x




x
(

2


2
 


 
(

a
)
(
(


)
2


2
 







Университеттің 85 жылдығына арналған «Қазіргі заманғы математика: 
проблемалары және қолданыстары» III халықаралық Тайманов оқуларының 
материалдар жинағы, 25 қараша, 2022 жыл 
414 


 
 
 
 

 

 
(

a
)
(
(


)
2

(

b
)
2
 


x
(

2

(

b
)
2
 
2

P
''
(
x




 
(

2


2
 


(

2
(
 
)


2
)


 
(
(

– 
a
)
2


)
 

(

– 
a
)

(
 
1)
 



)


 
(
(

– 
a
)
2

(


)

)
 

(
(
 
1
)(

– 
a
)
2

(

– 
b
)

)


 
(

2

(

b
)
2
 

(

2
(
 
1
)

(

b
)

)

Жоғарыда орындалған жұмысты қайталай отырып, бұл 
max 
P
(
x

y


P
(
0, 
y


P
(
a

y


y
 

(
a
2

y
2
)
2

(
a
2

(

b
)

)
2

(

y
)
 
x a 
 


2
 



min 
P
(
x

y


P


= 2


2
+ 2

(

b
)
2
x


теңдігін қалыптастырамыз. 
Ары қарай 
2
2

(
y

=
y


(

2


2
)
2

(

2

(

b
)

)
2

(


)
 


2
 
 




g
(
y

= 2


2
+ 2

(

b
)
2
2
2
кӛмекші функцияларды енгіземіз. Бұл функциялар үшін 
max 

(
y

және 
x b 
min 

(


x b 
есептейміз. Осы мақсатта, 
(
0,
b

интервалында, 

(
y

және 
g
(
y

функциялардың бірінші 
және екінші ретті туындыларын есептейміз: 


(




 
 

y
(

2


2
 


 
(

b
)
(

2

(

b
)
2
 

– 
 
(


)
 



' '
(



 
(
 
)

 
 


 
(

2


2
 


(

2

(
 
)

2
)


 
(

2

(

b
)
2
 


(

2

(
 
)(

b
)
2
 
)

 
(
 
1
)(


)
 


 

2


2
2
g
'
(
y

= 2
y


2
+ 2
(

b
)

(

b
)
2

2

2
 

2

2
g
' '
(
y

= 2


2

(
 
)

2

2

2
 

2

2
+ 2

(

b
)
2

(
 
1
)(

b
)
2

Осы ӛрнектерден 
2
0


болғанда 
2

' '
(
y

0 , 
g
''
(
y


және 

'

= 0


'

= 0 

шығады. Демек, 

(
y

және 
g
(
y

функциялары 


b
 

2
нүктесінде ӛзінің ең кіші 
мәндеріне жетеді және кесіндінің шеткі нүктелерінде ең үлкен мәндерге жетеді, атап 
айтқанда 














Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   434   435   436   437   438   439   440   441   ...   527




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет