представление вещественных чисел

41
Мантисса называется нормализованной, если ее абсолютное зна-
чение лежит в диапазоне:
1/
n
≤ |M| < 1,
где
n — основание системы счисления.
Это условие означает, что первая цифра после запятой не равна
нулю, а абсолютное значение мантиссы не превышает единицы.
Число с нормализованной мантиссой называется
нормализованным.
Пример 5.8. Представить числа
-245,62 и 0,00123 в форме числа
с плавающей точкой.
Р е ш е н и е.  Число
-245,62  можно  представить  в  форме  числа  с
порядком  –245,62
⋅ 10
0
.  Мантисса  этого  числа  не  нормализована,
поэтому поделим его на 10
3
, увеличив при этом порядок:
–0,24562
⋅10
3
.
В результате число
-0,24562⋅10
3
нормализовано.
Число 0,00123 в форме числа с порядком 0,00123
⋅10
0
не нормали-
зовано, так как не нормализована мантисса. Умножим мантиссу на
10
2
, уменьшив при этом порядок:
0,123
⋅10
–2
.
В результате число 0,123
⋅10
–2
нормализовано.
В данном примере для нормализации мантиссы запятая сдвигалась
вправо или влево.  Поэтому  такие числа называются
числами  с  пла-
вающей  точкой.  В  отличие  от  чисел  с  фиксированной  точкой  они
значительно ускоряют арифметические операции, при этом каждый раз
необходимо нормализовывать мантиссу чисел с плавающей точкой.
Для основанного на стандарте IEEE-754 представления веществен-
ного числа в ЭВМ используются
m
+ p + 1 бит, распределяемые сле-
дующим  образом  (рис.  5.5):  1  разряд  знака  мантиссы,
p  разрядов
порядка,
m разрядов мантиссы.
Это представление называется (
m, p)-форматом.
Диапазон  представления  чисел
X  (m,  p)-форматом  определяется
из неравенства:
2
1 2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
-
+ -
- -
-
-
-
-
-
≤
≤ -
≈
p
p
p
m
m
X
(
)
.
При этом порядок числа
P должен удовлетворять условию
-2
p
- 1
+
+ 1 ≤ P ≤ 2
p
-1
- 1.
Рис. 5.5. Структура общего формата числа с плавающей точкой

42
Для  вещественных  чисел  в  стандарте  IEEE-754  используются
(23,8)- и (52,11)-форматы, называемые одинарным и двойным веще-
ственными форматами соответственно (табл. 5.2).
Чтобы представить значение этих порядков, количество секунд, про-
шедших с момента образования планеты Земля, составляет всего 10
18
.
Правило 5.5 (перевод десятичных чисел в (m, p)-формат)). Алго-
ритм перевода десятичного числа X в (m, p)-формат состоит из 
следующих шагов:
1)
если Х
= 0, то принять знаковый разряд, порядок и мантиссу 
за ноль и закончить алгоритм;
2)
если X
> 0, то принять знаковый разряд 0, иначе принять 1. 
Знаковый разряд сформирован;
3)
перевести  целую  и  дробную  часть  абсолютного  значения 
числа  X  в  двоичную  систему  счисления.  Если  число  дробное,  то 
получить m 
+ 1 разрядов. Принять порядок равный нулю;
4)
если X 
≥ 1, то перенести запятую влево до самого старше-
го разряда и увеличить порядок, иначе перенести запятую впра-
во до первого ненулевого (единичного) разряда и уменьшить по-
рядок;
5)
если число разрядов дробной части меньше m, то дополнить 
дробную часть нулями справа до m разрядов. Отбросить единицу 
из целой части. Мантисса сформирована;
6)
прибавить к порядку смещение 2
p
-1
 
- 1 и перевести порядок 
в двоичную систему счисления. Порядок сформирован. Код, в ко-
тором представлен порядок, называется смещенным. Смещенный 
порядок упрощает сравнение, сложение и вычитание порядков при 
арифметических операциях;
7)
записать знаковый разряд, порядок и мантиссу в соответ-
ствующие разряды формата.
Т а б л и ц а  5.2. 

жүктеу/скачать 4,7 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: