Векторлық әдісті есептерді шығаруға қолдану


Есептеңіз: arctg2+arctg3+arctg1=? Анықтама



жүктеу/скачать 1,22 Mb.
бет14/14
Дата07.01.2022
өлшемі1,22 Mb.
#20355
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14
Есептеңіз: arctg2+arctg3+arctg1=?

Анықтама: arctg а (арктангенс а) — бұл тангенстің интервалында анықталатын а ға тең болатын ерекше түрі.
Шешуі: Осы анықтаманы негізге ала отырып, arctg х = π/4 ескереміз.

Сонымен arctg2 дегеніміз не? Ол үшін бізге arctg х  функциясының артықшылықтарын, яғни оның мәндер жиынын білуіміз керек. Осы арқылы біз ункция графигін еш қиындықсыз сыза аламыз.
y







0 x

3-cурет. arctg х фунциясы


Бұл тангенстің (-π/2:π/2) интервалында 2 - ге тең болатын мәні болып саналады. Аналогиялық тұрғыда сонымен біргe arctg3-те солай.











1 х







4-cурет. arctg х фунциясының графикалық интерпретациясы
Графикалық интерпретацияны қолданайық (4-сурет). Суретте көрсетілгендей, arctg2 = x1 , arctg3 = x2  болады. Бұл жерден ұққанымыз,х1  және  х2 иррационал сандар, бұнымен қоса оларды тек қана жуықталған мәнде ғана ала аламыз. 6 суретте көрініп тұрғандай, arctg2= α, а аrctg3 = β. Бірауыздан айтарымыз бұл жерден есептің нақты мәнін анықтау мүмкін емес.
Геометриялық түрлендірулерді есеп шығаруға қолдану берілген есептің шешу жолын анағұрлым жеңілдетеді.
Мынадай бұрыштарды тұрғызайық: arctg3 =  arctg2 = (5-сурет).


С
B



















M A N

5- cурет. Үшбұрыш
Онда  arctg1=<ВАС, мұнда  <ВАС – теңбүйірлі тікбұрышты ABC үшбұрышының тік бұрышы.

Мұнда   (ВС = АС=√5, АВ = √lO ,ал Пифагор теоремасына қарама қарсы теоремасы бойынша, АВ2 = АС2+ВС2,сәйкесінше  <ВСА = 90°, а <ВАС = 45°).

Олай болса, arctg2 + arctg3 + arctg1 =<ВАМ + <ВАС +  =  = π. 

Жауабы : π 


Мысал есептеңдер

Шешуі 6-cуретте көрсетілген ABC үшбұрышын қарастырамыз.




































D






B С





С







Е






B



M A N

6-cурет.Теңбүйірлі тікбұрышты 7-cурет. Теңбүйірлі тікбұрышты



үшбұрыш үшбұрыш
тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыш, яғни



  2. Бірақ ,

олай болса

Жауабы:

Мысал есептеңдер

Шешуі 7-cуретте көрсетілген ABC үшбұрышын қарастырамыз.

  1. тең бүйірлі тік бұрышты үшбұрыш, яғни



  3. Бірақ , олай болса

Жауабы:.

Мысал Есептеңдер

Шешуі Жазықтықтағы элементтері болып келген тең бүйірлі ABC үшбұрышын қарастырамыз(сурет)

Үшбұрыштың C төбесінен оның AB қабырғасына түсірілген биіктігі CN болсын
A N


M


В
C

8-cурет. Теңбүйірлі үшбұрыш




  1. Пифагор теоремасы бойынша MA=9. Демек, MA=MC=9, ал AC=18

  2. және ұқсас







Жауабы:

Мысал Есептеңдер .

Шешуі Алдымен берілген өрнекті формуласын пайдаланып, келесі түрге келтіріп аламыз:



Бұдан әрі жазықтықтағы элементтері болып келетін тік бұрышты АВС үшбұрышын қарастырамыз.(9-cурет)



В А

A C B B2 B1 C



9-cурет. тік бұрышты үшбұрыш 10-cурет. тік бұрышты үшбұрыш





  2. Пифагор теоремасы бойынша .





Жаауабы:
Мысал Есептеңдер .

Шешуі Жазықтықтағы элементтері болып келген тік бұрышты үшбұрышты АВС үшбұрышын қарастырамыз.( 10-cурет)

  1. Пифагор теоремасы бойынша AC=1



  3. үшбұрышының BAC бұрышының биссектрисасы, сондықтан немесе және болады. Ендеше теңдігінен

  4. Пифагор теоремасы бойынша

  5. үшбұрышының бұрышының биссектрисасы, сондықтан немесе және болады. ендеше теңдігінен

  6. Пифагор теоремасы бойынша





Жауабы:
Мысал Есептеңдер .

Шешуі Жазықтықтағы элементтері болып келген тік бұрышты үшбұрышты АВС үшбұрышын қарастырамыз.( 12-cурет)

  1. Пифагор теоремасы бойынша BC=



  3. AE – ABC үшбұрышының BAC бұрышының биссектрисасы, сондықтан немесе және болады.Ендеше теңдігінен .

  4. Пифагор теоремасы бойынша





Жауабы:
Алгебралық есептерді геометриялық тәсілмен шешудің артықшылықтары:

- Есепті аталған тәсілмен шығару барысында іс әрекет нақтыланады;

- Графикалық сызба анализ жасауға, теңдеуді құруға сонымен бірге есептің бірнеше шешімін табуға атсалысады;

- Оқушылардың графикті қолдану ауқымы кеңейеді; 

-Есептерді шешу техникасы нақтыланады;

- Пәнішілік (алгебра және геометрия) сонымен бірге пәнаралық (математика және физика) байланыстар нығаяды.


Стереометрия есептерін векторлық тәсілмен шығару

Сабақтың мақсаты:

білімділік мақсаты: Стереометрия есептерін векторлық тәсілмен шығаруды үйрету

дамытушылық мақсаты: Стереометрия есептерін шығару іскерліктерін дамыту

тәрбиелік мақсаты: оқушыларды зейінділікке, жинақылыққа, тапқырлық пен табандылыққа ,  мақсатқа жетуге тәрбиелеу.

Сабақтың түрі: бекіту сабағы

Оқыту әдісі: түсіндіру, талдау

Көрнекілігі, техникалық құрал: сызғыш, бор, таратпа материалдар.



Сабақ барысы.

1.Кіріспе.

1.1. Проблемалық жағдай: вектордың көмегімен есептерді шығару жолдарын іздестіру

1.2. Мақсат, міндет: қойылған проблемалық  жағдайды шешу жолдарын іздестіру.

1.3. Әрекеттің бағытты негізін құру: теориялық материалды қайталап, есеп шығаруға негіз қалау.



2. Танымдық жұмыс

2.1. Оқушыны қажетті ақпаратпен қамтамасыз ету: теориялық материалдар мен таратпа материалдарды үлестіру.



2.2. Қосымша әдебиет: С.А.Шестаков Векторный метод в стереометрии. МНЦМО, 2005. Е.В.Потоскуев  Геометрия. М.: Дрофа-2005.

Негізгі теориялық материалдарды еске түсірейік.

 Екі вектор коллинеар болады, егер олар бір түзу бойында немесе параллель түзулер бойында жатса. Белгісі  орындалса,  мен  векторлары коллинеар.

 Егер векторлар біржазықтықта немесе параллель жазықтықта жатса, онда олар компланар болады.



, және  компланар векторлар болса, ал  мен  коллинеар емес болса, онда  теңдігі орындалатындай x пен y жалғыз ғана сандар жұбы табылады.

Керісінше, егер ,,  векторлары  үшін теңдігі орындалатындай x, y сандары табылса, онда ,,  компланар векторлар болады.

 ,,  векторлары компланар емес болсын, онда кез келген векторы үшін  орындалатындай жалғыз ғана x, y, z сандары табылады.

 Нөлдік емес екі вектордың скаляр көбейтіндісі деп олардың ұзындындықтары мен арасындағы бұрыштың косинусына көбейтіндісіне тең, яғни . Егер екі вектор перпендикуляр болса, онда олардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең, яғни .

 Жазықтықтағы үш нүктенің бір түзу бойында жату шарты: О нүктесі АВ түзуіне тиісті емес нүкте, М нүктесі АВ түзуіне тиісті болады, егер  мұндағы x+y=1 болса.

Енді кеңістіктегі төрт нүктенің бір жазықтықта жату шартын дәлелдейміз, әрі стереометрия есептерін векторлық тәсілмен шығару жолдарын қарастырамыз.

Төрт нүктенің бір жазықтықта жату шарты:



Бер: , кеңістіктен алынған нүкте, 

Д/к: мұндағы

Дәлелденуі:  

 векторын  жазықтығында екі коллинеар емес  векторлары арқылы жіктеуге болатынын білеміз:

  

Осы алынған теңдіктерінен:





 теңдігін аламыз.

 болсын, онда ;  
; болғандықтан  бір жазықтықта жатады.

Есептер шығару

1. тетраэдрінің , ,  қырларынан сәйкесінше  нүктелері алынған, әрі .  жазықтығы  қырын нүктесінде қияды. қатынасын табыңыз.

Шешуі: а) Базис векторларды таңдап алайық:



б) ,, , ,,,

Ал  мен  коллинеар векторлар болғандықтан, ,.

 нүктесі () жазықтығында жатқандықтан, төрт нүктенің бір жазықтықта жату шарты бойынша . (мұндағы, ) . Осы теңдіктен:
 екені шығады. Осыдан

қатынасындай болады.                                            
Жауабы: 

2.       параллелепипедінің  диагоналінен  болатындай К нүктесі алынған.  жағының  диагоналінен  болатындай  нүктесі алынған. жағының диагональдерінің қиылысу нүктесі- . МРК жазықтығы  қырын қандай қатынаста қияды?

Шешуі:а) Базис векторларды таңдап алайық: .



б)  мен коллинеар болғандықтан:.

.

Е нүктесі () жазықтығында жатқандықтан, төрт нүктенің бір жазықтықта жату шарты бойынша . (мұндағы , )

немесе . Осы теңдіктен: 
 ,   

Жауабы: 



Үй тапсырмасы:  №1-№6

Сабақты қорытындылау: оқушылардың білімін бағалау, үй тапсырмасына нұсқау беру.


Қорытынды
Бұл тақырыпта жұмыс істеудегі негізгі мақсат геометриялық тәсілдерді алгебралық теңдеулер жүйесін шешуде қолдану, үшбұрыш және шеңберге іштей сызылған төртбұрыштың қасиеттерін кейбір алгебралық теңделер жүйесін шешуде пайдалану, оларды шешудің тиімді жолдарын қарастыру болатын. Осы мақсаттағы жұмысты орындау үшін қойылған негізгі міндеттерге сәйкес іс-шаралар атқарылды.

Курстық жұмыста қарастырылған барлық мысалдардың берілуі күрделі болғанымен жаңа тәсілді қолдану арқылы шығарылу жолы әлдеқайда жеңіл қарапайым түсініктер арқылы теңдеулер жүйесінің шешімі табылды. Осы жұмыс арқылы математикалық есептерді шешкенде ілгері де қолданылып көрмеген тәсілдердің бар екенін мысалдарды шығару арқылы көрсетілді және ондағы есептер шығаруда тиімді болып табылатын қағидаларға тоқталып, олардың негізінде есептер шығару әдістері көрсетілді.

Көптеген алгебралық есептер өзінің құралдарымен шешілмейді немесе өте күрделі жолмен шешіледі. Ал, керісінше мұндай есептерді қандай да бір векторлық тәсілді пайдалану арқылы шешуге болады. Көбінесе мектеп бағдарламасында есептерді дәстүрлі тәсілмен шешу қарастырылады, ал дәстүрлі емес тәсілмен есептерді шығару тек факультатив және қосымша сабақтарда қолданылады.

Қорыта келгенде, оқу үрдісінде әр түрлі жаңа технологияларды, жаңа тәсілдерді пайдалану сабақтың сапасын арттыруға, оқушылардың белсенділігін, пәнге деген қызығушылығын қалыптастыруға, ең негізгісі –– оқушылардың білім деңгейін, сапасының артуына апаратын бірден –бір жолы деп есептеймін.

Қазіргі заман талабына сай әрбір оқытушы шығармашылықпен жұмыс істей отырып, өз пәніне деген қызығушылықты арттыруда түрлі ізденістермен тәсілдерді игеруі тиіс деп ойлаймын. Бұл курстық жұмыста ұсынылған материалдар мен әдістерді мектеп математика пәнінің мұғалімдері мен әдіскерлердің пайдалануына болады.

Оқушыларды дәстүрлі емес есептердің шешімін іздеуге, таратып айтқанда дәстүрлі емес есептерді әртүрлі әдістермен, дәстүрлі емес әдістермен шығаруға, дәстүрлі емес жаңа есептерді құрастыруға, сондай-ақ дәстүрлі емес есептерді шешудің әртүрлі және дәстүрлі емес әдістерін іздеуге баулу – математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі саласындағы өзекті мәселелердің бірінен саналады.



Пайдаланылған әдебиеттер тізімі


  1. Қарабаев А.Қ. Векторлық әдісті усептерді шығаруға қолдану. Жезқазған, 2000

  2. Аширбаев Н.К.,Қаратаев Ж. Аналитикалық геометрия. Оқу құралы.- Шымкент: «Нұрлы Бейне»,2011.-242 бет[2].

  3. Геометрия. Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 10-11 сыныптарына арналған оқулық. Алматы «Мектеп» 2002[3].

  4. Шыныбеков Ә.Ы. «Геометрия» 9-сыныпқа арналған оқулық, А., «Атамұра», 2005[4].

  5. Әбілқасымова А.Е және басқалар «Алгебра және анализ бастамалары» 11-сыныпқа арналған оқулық, А., «Мектеп», 2007[5].

  6. Әбілқасымова А.Е және басқалар «Алгебра» 9-сыныпқа арналған оқулық, А., «Мектеп» 2005[6].

  7. Қарабаев А.Қ., Оқушылардың шығармашылық қабілетін дамытуға ықпал жасайтын стандарт емес есептер.Жезқазған 2002[7].

  8. Колмогоров А.Н және басқалар «Алгебра және анализ бастамалары 10-сыныпқа арналган оқулык, А. «Рауан», 1994[8].

  9. Геометрия. Пробный учебник для 9 класса. Под ред. З.А.Скопеца. М, «Просвещение», 1969[9].

  10. Қарабаев А.Қ., Жоғары сынып оқушыларын есептерді стандарт емес тәсілдермен шығаруға баулу. Шымкент 2003[10].

  11. Выгодский М. Я. Справочник по элементарнгой математике. –М.:Наука, 1986[11].

  12. Филчаков П. Ф. Справочник по элементарной математике. – Киев, 1967[12].

  13. Зайцев В. В., Рыжков В.В., Сканави М.И. Элементарная математика. –М., 1976[13].

  14. Бескин Н.М. Методика геометрии. М.: Учпедгиз, 1947[14].

  15. Погорелов А.В. Геометрия: Жалпы бiлiм беретiн мектептiң 7-11 сыныптарына арналған оқулық. – 2-басылымы. Алматы: Просвещение-Қазақстан, 2003, 152 бет[15].

  16. Геометрия для 9-10 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. И классов с углубленным изучением математики// А.Д.Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. М.: Просвещение, 1992,480 с[16].

  17. Әбiлқасымова А.Е., Көбесов А., Рахымбек Д., Кенеш Ә. Математиканы оқытудың теориясы мен әдiстемесi. Алматы: Бiлiм, 1998, 208 б[17].

  18. Баймұханов Б. Б. Математика есептерiн шығару . Алматы: Мектеп, 1988[18].







жүктеу/скачать 1,22 Mb.

Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14



©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз
    Басты бет
Lessons
Curriculum vitae
Documents