Вестник казахского государственного женского педагогического университета

Хабаршы-Вестник-Bulletin №2 (62), 2016
 
 
73 
 
and  symmetry  and  asymmetry.  If  the  symmetry  is  associated  with  saving  necessary,  then  the 
asymmetry is associated with the change and accidental. 
Keywords: symmetry, asymmetry, invariance, baryon momentum accident 
 
 
 
ӘОЖ 378.146+371.26 
СИММЕТРИЯНЫҢ БҰЗЫЛУЫНА ӘКЕЛЕТІН ҚҰБЫЛЫСТАР 
 
Н.Ильясов, п.ғ.к., профессор  
А.Сарсембаева, магистрант   
Г.Айдарова, магистрант 
(Алматы қ., Қазақ мемлекеттік 
қыздар педагогикалық университеті) 
 
Аңдатпа: Табиғатта кездесетін көптеген құрылымдар үшін асимметрия тән. Дегенмен, 
табиғат  заңдары  аса  көп  табиғи  құрылымдарды  сараптау  негізінде  қорытылады.  Көп 
жағдайда нысанның симметриялық дәрежесі түзілгенде сыртқы факторлар, мысалы бастапқы 
және  шектік  шарттардың  асимметриясы  шешімдердің  тарамдалуына,  сондықтан 
құрылымдардың  симметриясының  бұзылуына,  бифуркацияларға  әкелетін  орнықсыздықтар 
елеулі  рөл  атқарады.  Сонымен  қатар,  асимметриялық  құбылыстар  тудыратын  идеал 
симметриялық  заңдар  бар.  Олардың  симметриялық  шешімі  орнықсыз  болып  табылады. 
Мақалада симметрияның бұзылуына әкелетін бірқатар құбылыстар қарастырылады. 
Түйін сөздер: жасырын симметрия, бифуркация, лазер, белсенді орта, когоренттілік. 
Сызықты  емес  осциллятор.  Симметрия  жасырын  симметрияға  жататын  арнайы  алғы 
және  шекаралық  шарттардың  комбинациясы  тудыратын  орнықсыздықтардың  әсерінен  де 
бұзылады.  Тез  өшетін  бейсызық  осциллятор  симметрияның  өздігінен  бұзылуының  нақты 
мысалы  бола  алады.  Массасы  m  ауыр  бөлшектің,  серпімділік  коэффициенті  k  серіппенің 
әсерінен  тұтқыр  сұйықтағы  қозғалысын  қарастыралық.  Ол  бірлік  уақытта 

  жиілікпен 
соққылансын. Ньютонның 2-ші заңы бойынша массасы тұрақты денеге әсер етуші күш, оның 
импульсының өзгеру жылдамдығына тең, яғни, 
dt
р
d
F



    немесе    
2
2
dt
x
md
F


. 
Сондықтан, тұтқыр сұйықтағы серіппенің қозғалысы былай сипатталады: 
kx
dt
dx
F









 , 
мұндағы 

  –  бөлшекке  бірлік  уақытта  берілетін  соққылар  саны.  Сондықтан  оның қозғалыс 
теңдеуі мына түрде жазылады: 
,
0






kx
x
x
m

                                                        (1) 
немесе             
0






x
m
k
x
m
x

                                                         (2) 
Егер 
,



m
  ал 
m
k

0

  –  өшетін  тербелістің  меншікті  жиілігі  деп  белгіленсе  (2) 
теңдеу мына түрге келеді: 



x
 
0
2
0



x
x
x





 
                                             (3) 

Хабаршы-Вестник-Bulletin №2 (62), 2016
 
 
74 
 
1


  жағдайында  инерциалық  мүшенің  енгізілуін  қажет  ететін  ерекше  алғы  немесе 
шекаралық  шарттар  болмағанда,  оны  ескермеуге  болады.  Бұл  кезде  (3)  теңдеу  мынадай 
қарапайым түрде келеді 
x
x




, мұндағы 



2
0

. 
Бөлшекті потенциалдық шұңқырда 
 
x
U
  қозғалады деп санауға болады. Ал потенциал 
 
x
U
   
күшпен 
F

  мына  қатынаспен 
 
dx
x
dU
F



  байланысады  немесе 
 
dx
x
dU
x




. 
Осыдан 
 
2
/
2
x
x
U


                                                                (4) 
Бұл  жағдайда  бір  ғана  стационар  күй  орын  алады   
0
,
0
/


x
dt
dx
    және  ол 
орнықты (1-сурет).  
Енді  қайтарушы  күш  Гук  заңы  орындалатын  шекті  созылудан  асып  кеткендіктен 
немесе  серіппенің  идеал  емес  серпімді  болмайтындықтан,  бейсызық  күшке  айналсын.  Бұл 
кезде бөлшектің қозғалыс теңдеуі былай жазылады: 
3
x
x
x






                                                                       (5). 
Мұндағы 

  –  үйкеліс  коэффициенті.  Ол 
0


    нөлден  үлкен,  олай  болса,  бұл 
жағдайда  потенциал мынаған теңеледі: 
 
4
2
2
1
2
1
x
x
x
U




                                                               (6) 
Бұл жерде екі жағдай қарастырылады: 
         
 
       1-сурет. 
 
2
/
2
x
x
U


үшін.              2-сурет.
 
4
/
3
2
/
4
2
x
x
x
U



үшін.  
       
1.α˃0  ,  β˃0.  Бұл  кезде  жаңа  потенциалдың  формасы  өзгермейді,  бұрынғыдай  қалады 
және бұрынғыдай орнықты бірден-бір стационар күй x=0 нүктесі болып қалады. (Бұның тек 
бір  шын,  нақты  түбірі  x=0  болатынын 
0
3


x
x


  теңдеуінен  α˃0  және  β˃0  шарттарында 
қорытып шығару қиын емес). 
2.α≤0  ,  β=0.  Бұл  кезде  α
с 
–  кризистік  мәннен  өткенде  потенциалдың  формасы 
симметриялық күйін сақтай отырып, формасын өзгертеді (2 – сурет). 
Ал осы екінші жағдайда стационар күйлердің саны үшке теңеледі: яғни, 
0
3


x
x


 
теңдеуінен α=0 , β˃0 шарттарда табылатын үш түбірде нақты. Бірақ бұрынғы симметриялық 
орнықты  күй  x=0  орнықсыз  күйге  айналады  және  бөлшек  тең  ықтималды 



x
  немесе 




x
  күйлердің  біріне  ығысады.  Бұл  мысалдан,  жүйенің  келесі  күйіне  қатысты 
анықталмағандықтың  түзілуі  үшін  еркіндік  дәрежесінің  көп  болуы  қажет  еместігі  көрінеді. 
Жүйеде  бифуркация  арқылы  стохастылықпен  байланысқан  болжанбайтын  сипат  тудыру 

Хабаршы-Вестник-Bulletin №2 (62), 2016
 
 
75 
 
үшін бір ғана орнықсыздық болғаны жеткілікті. Бұл үшін жүйеде – бифуркация арқылы көп 
ретте  стохастылықпен  байланыстырылатын  болғандықтан  кездейсоқ  ахуал  тудыратын  бір 
ғана орнықсыздық болғаны жеткілікті. 
Лазер.  1952  ж.  Ч.Таунс  бірінші  рет  атомдарды  қозған  күйге  әкелу  және  оларды  сол 
күйде  ұстап  тұру  мүмкіндігін  анықтады.  Алғаш  рет  инверсиялық  күй  мазер  деп  аталған, 
микротолқынды  қондырғыда  алынды.  Кейінірек,  осы  эффектіні,  спектрдің  көрінетін 
бөлігінде пайдаланатын қондырғылар лазерлер деп аталды.  
3.  Оптикалық  кванттық  генератордың  негізі  –  актив  орта.  Оны  құрайтын  бөлшектер 
(иондар,  атомдар  және  т.б.),  қозған  энергетикалық  деңгейінде  салыстырмалы  тұрғыда  ұзақ 
уақыт  бола  алатын  қасиетке  ие  болуы  тиіс.  Сонда  ғана  ортаның  жоғарғы  энергетикалық 
деңгейінде  төмендегіден  әлдеқайда  көп  бөлшектер  қоры  пайда  болады,  яғни,  онда 
инверсиялық күй орнайды. 
1. Эйнштейн атомдардың  жарық сәулесімен өзара әсерлесуі нәтижесінде мынадай үш 
түрлі іргелі процесс жүретінін тағайындады:  
 -  қозған  күйдегі  атомдар  қалыпты  күйіне  өздігінен  (спонтанды)  сәуле  шығару 
(фотондар  эмиссиясының)  нәтижесінде  ауыса  алады.  Бұл  өздігінен  болатын  процестің 
сыртқы факторларға тәуелсіздігін және кездейсоқтығын, оны басқарудың, реттеудің мүмкін 
еместігін білдіреді; 
 -  төменгі  энергетикалық  деңгейдегі  атомдар,  жоғарғы  энергетикалық  деңгейге  белгілі 
энергиялы фотондарды жұту арқылы ауыса алады. Атомдардың жарықты жұту процесі және 
оның  ықтималдығы  электрмагниттік  толқын  энергиясының  тығыздығына  тура 
пропорционал; 
 -  қозған  күйдегі  атомдарда  түзілетін  фотондар  эмиссиясын  оларға  энергиясы  дәл 
сондай  жарық  кванттарымен  әсер  ету  арқылы  көбейтуге  болады.  Бұл  атомдардың  еріксіз 
сәуле  шығару  процесі.  Жарықтың  жұтылуындағы  сияқты,  мұның  да  ықтималдығы  түскен 
толқынның  қарқындылығына  (интенсивтілігіне)  тура  пропорционал.  2.  Кез  келген  әртүрлі 
заттардан  өткенде  жарықтың  қарқындылығы кемитіні  белгілі.  Ал  оның  күшеюі  мүмкін  бе? 
Бұл сұраққа жауап беру үшін мынадай мысал қарастырайық: 
Бір  бөлігі 
1
E ,  ал  қалғандары 


1
2
2
E
E
E

  энергетикалық  деңгейлерде  орналасқан 
атомдар  арқылы  энергиясы 
1
2
E
E
h



  фотондардан  тұратын  жарық  ағыны  өтсін. 
1
E  
энергетикалық деңгейдегі атомдар 

h
 энергияға ие бір-бір фотон жұтып 
2
E -ге ауысады да 
жарық  ағынын  әлсіретеді.  Керісінше, 
2
E   энергетикалық  деңгейдегі  атомдар 

h
  энергиялы 
фотондар  шығарып,  жарық  ағынын  күшейтеді.  Бұл  екі  процестің  ықтималдықтары  бірдей 
және  олар  түскен  жарық  ағынының  қарқындылығына  пропорционал.  Олай  болса,  ортадан 
өткен жарықтың күшеюі немесе әлсіреуі төменгі және жоғарғы энергетикалық деңгейлердің 
қайсысында  атомдар  санының  көптігіне  тікелей  тәуелді.  Егер  атомдар 
1
E   деңгейде  көп 
болса, фотондардың жұтылуы жиі жүреді, ал көпшілігі 
2
E  деңгейде орналасса, онда еріксіз 
сәуле шығару процесі жиі байқалады.  
Екі жартылай мөлдір параллель айналармен шектелген, цилиндрлік қуыс толтырылған 
мөлдір денені қарастырайық (3 – сурет). 
Күшейткіш  ортаның  атомдары  екі  әртүрлі,  қоныстанушылығы  тепе-тең  күйде 
Больцманның таралуын қанағаттандыратын тар Е
1 
және Е
2
 күйлерде бола алады. 
 
                                           










kT
E
E
xp
e
N
N
1
2
1
2
 
                                                                                       

h
E
E


1
2
 
 
 
 
3 
1 

Хабаршы-Вестник-Bulletin №2 (62), 2016
 
 
76 
 
 
 
 
 
 
 
 
а) 
 
 
 
 
 
 
в) 
Сурет 3 – Қарапайым лазер. 
 
Күшейткіш  ортаның  атомдары  жеткілікті 


h
E
E
1
2



  сыртқы  қоздырудың 
көмегімен  қоздырылады  (3-сурет).  Атомдар  төменгі  энергетикалық  күйден  жоғарғы 
энергетикалық күйге, ал одан өздігінен жиілігі 

  бір  фотон  шығару  арқылы  түгел  төменгі 
күйге  қайта  ауысады.  Мұнда  цилиндрлік  қуыста  пайда  болатын  фотондар  санының
 
t
n
 
динамикалық  даму  сипаты  анықталуы  тиіс.  Фотондар  санының  әрбір  уақыт  мезетіндегі 
өзгеру жылдамдығын 
dt
dn /
, оның өсуі (қозған атомдардың төменгі энергетикалық деңгейге 
ауысуы нәтижесінде қуыстағы фотондар санының артуы) және (қуыстағы фотондар санының 
цилиндрдің  екі  жартылай  мөлдір  қабырғалары  арқылы  ағып  өтуі)  шамаларының  кемуі 
түрінде қарастыруға болады.  
Бұл өсімше 
N
  қуыстағы  фотондар  санына  және  бірлік  уақытта  қоздырылған  атомдар 
санына  А  пропорционал  және  сол  шамалардың  көбейтіндісіне  де  пропорционал  өзгереді. 
Олай болса, өсімше
N
  =  GАn.  Мұндағы  G  –  күшейткіш  ортаның  сіңіргіштігі  және  қоздыру 
көзінің қарқындылығымен сипатталатын пропорционалдық коэффициент. Ал кему мөлшері
N

  қуыстағы  фотондар  санына  пропорционал:
N

  =  τn  ,  мұндағы  τ  –  шағылдырушы 
айналардың мөлдірлік деңгейін сипаттайтын коэффициент. Осылардан,  
.
n
Аn
G
dt
dn



                                                     (7) 
Бірақ фотондар шығарған сайын қозған атомдардың саны кемитіні түсінікті, олай болса 
N  =  N
о 
– αn. Мұндағы N
о 
– бірлік уақыттағы қоздырылған атомдар саны, ал  α – күшейткіш 
ортаның  сіңіргіштіне  қатысты  коэффициент.  Осыны  ескерсе  (7)  өрнектен  мынадай  теңдеу 
алынады: 


.
0
n
n
n
N
G
n






                                                 (8) 
немесе  
                                                  


2
0
n
G
n
GN
n







 
егер 
0
1
GN
k



 және 

G
k

2
 деп белгіленсе (8) теңдеуді былай жазуға болады: 
2
2
1
k
n
k
n




                                                          (9) 
Екі  жағдайды  қарастырылады:  бірінші,  k
1 
>  0  немесе  GN
о 
<  τ  ,  яғни,  әлсіз  қоздыру; 
Екінші, k
1 
≤ 0 немесе GN
о 
≥ τ  күшті қоздыру. Бұл динамикалық теңдеудің (9) жоғарыдағы (2) 
теңдеуге  ұқсас  екендігі  байқалады.  Олардағы  айырмашылық  мынада:  біздің  жүйеге  кубтық 
емес  бейсызық  квадратты  қайтаратын  күш  әсер  етеді.  Сондықтан,  біз  тепе-теңдік  күйден 
мезеттік  ауытқуы  n(t)  потенциалдық  шұңқырмен  анықталатын  бөлшекке  иеміз  деген 
жорамал жасай аламыз.  
 
3
2
2
1
2
1
2
1
n
k
x
n
x
U


                                              (10) 
Сонда k
1
> 0 – де x = 0 – де, потенциалдық шұңқыр бір ғана орнықты стационар күйі бар 
пішінге ие болады. (сурет – 3а) 
Белсенді орта 
Жартылай 
мөлдір айналар 
қоздыру
 
Е
1
 
 
Е
2 
 

Хабаршы-Вестник-Bulletin №2 (62), 2016
 
 
77 
 
 
 
3 – сурет 
 
Біздің  жағдайда  бұл  ауысу  үдерістері  өшкеннен  соң  қуыстағы  стационар  күйдегі 
фотондар  саны  (яғни,  когерентті  фотондардың)  нөлге  тең  болатынын  білдіреді.  Мұндай 
құрылғы өзін кәдімгі жарық шамы сияқты ұстайды. Бірақ,  қоздыру қуаты қайсыбір мәннен 
0
N
G


 артқанда, мынадай теңсіздік k
1 
≤ 0 орнайды. Бұл кезде потенциалдық щұңқыр 3б – 
суреттегідей пішін алады. Бұл кезде жүйеде орнықты стационар күй түзіледі 
0

x
; 
2
1
k
k
x

Яғни, құрылғы өзін когерентті толқын көзі ретінде көрсетеді. Когеренттік толқын деп мына 
түрдегі  толқын  е
j(ωt-φ) 
алынады.  Мұндағы  бастапқы  фаза  тұрақты  немесе  қайсыбір  санақ 
жүйесімен  салыстырғанда  шектеледі.  Ал  когерентті  емес  толқында  фаза  кездейсоқ  түрде 
ауытқып отырады. Сонымен, лазер симметрия бұзылуының нақты мысалы бола алады. 
Айналмалы  маятник.  Жұқа  қабырғалы  екі  өлшемді  қатты  радиусы    L  тордың    ішінде  
тербелетін массасы m шарды қарастырайық. Шар тордың ішінде үйкеліс сырғанайтын, ал тор 
ω  тұрақты бұрыштық жылдамдықпен 5  – суреттегідей айналсын. Тор айналмаған жағдайда 
жүйенің  екі  стационар күйі  болады:  бірі  орнықты  (φ  =  0  -  де),  ал  екінші  орнықсыз  (φ≠
+
-
π). 
Мұндай  жүйеге  бөлшек  қозғалысының  жаңа  еркіндік  дәрежесінің  енгізілгені,  яғни 
торойдтың  айналған  қалай  әсер  ететінін  анықтайық.  Айналған  жүйенің  инерциалды  емес 
санақ  жүйесінде  шарға  мынандай  күштер  әсер  етеді:  а)  шар  салмағының  тангенциалды 
құраушысы және в) центрден тепкіш күштің тангенциал құраушысы.  
Шар қозғалысының теңдеуі былай жазылады: 





cos
sin
sin
2
2
L
m
mg
dt
d
mL



                                      (11) 
немесе  

















1
cos
sin
cos
sin
2
2
2
2







g
L
L
g
L
g
dt
d
 
Мұндағы 



g
L
2
  -  күрделі  параметрін  енгізіп  және 
2
0


L
g
  -  деп  белгілеп  соңғы 
өрнекті былай түрлендіріп жазамыз: 


1
cos
sin
2
0
2
2







dt
d
                                                 (12) 
Егер  ׀φ  ׀<<  1  болса  cosφ~1,  ал  sinφ~φ.  Сонда  (11)  теңдеу  мынадай  қарапайым  түрге 
келеді: 






1
2
0
2
2


dt
d
 
немесе 
0
2
2
2





dt
d
                                                        (13) 

Хабаршы-Вестник-Bulletin №2 (62), 2016
 
 
78 
 
Мұнда 







1
0
  -  айналмалы  санақ  жүйесіндегі  сызықтық  айналған  маятниктің 
меншікті жиілігі.  
Сонымен  талдаулар  арқылы  сызықты  маятниктің  (μ˂1-де  )  айналмалы  санақ 
жүйесіндегі  меншікті  жиілігі; оның инерциалды санақ жүйесіндегі  мәнімен салыстырғанда, 
яғни  
(ω  =  0  -  де)  баяулайды.  Ал  μ  ˃  1  –  де  (
L
g

2

  ,  немесе  ω  ˃  ω
о
  -  де)  сызықты 
осциллятор айналмалы санақ жүйесінде тербелмейді, тек өшетін периодты емес қозғалыстар 
жасайды.  
Енді  (12)  теңдеудің  шешімдерінің  орнықтылығын  зерттелік.  Стационар  күйлер  (φ=0) 
бірмезгілде мынадай теңдіктердің орындалуын талап етеді; яғни,  


0
1
cos
sin





                                            (14) 
Бұл  теңдеуді  (1)  мына  sinφ  =  0, 
kT



  (к  =  0,1,2,  ...)  немесе 


1
cos

, 
1


 
шарттары қанағаттандырады.  
Бірінші шешім 


kT



 «классикалық» айналмайтын стационар күйлерге φ = 0 
(орнықты күй) және




 (орнықсыз күй) сәйкес келеді.  
Екінші шешім 









1
arccos
 әрбір μ˃1 мәнінде екі симметриялық бұтақ тудырады. Ал 
μ = 1 – де φ = 0 – ден 9 – суретте көрсетілгендей үш бұтақ тарайды. Мұнда (11) теңдеудің 
шешімдері  басқарушы  параметрдің  функциялары  түрінде  көрсетіледі. 



  ұмтылғанда 
0
1


, ал 
2



-ге ұмтылады.  
Осыдан  бұрыштық  жылдамдықтың  белгілі  –  бір  критикалық  мәнінен  жоғарыда 
дәстүрлі  санақ  жүйелеріндегі  орнықты  стационар  күй  орнықсыз  күйге,  ал  жаңа 
(симметриялы) орнықты стационар күйлер 
1
arccos




формуласымен беріледі. 
Жоғарыдағы  талдауларды  ауыр  бөлшектің  потенциалдық  шұңқырдағы  қозғалысы  деп 
қарастыруға  болады,  Бірақ,  бұл  кезде  потенциалдық  функция  қандай  түрге  ие  болады? 
Жүйеге әсер етуші сыртқы күш  


.
1
cos
sin
2






F
 
Кез  келген  гамильтондық  жүйеде  сыртқы  күш  потенциалмен  мына  қатынаспен 
байланысқан
 
.
/






U
F
  Бұдан  потенциалдың,  периоды 

2
  периодты  функция 
екендігі шығады: 


.
cos
1
cos
2
,
2
0














U
 
 
Сурет 5 – Қарапайым маятник және айналмалы бейсызық маятниктік осциллятор. 
 

Хабаршы-Вестник-Bulletin №2 (62), 2016
 
 
79 
 
Осы функцияның
1
1




мен
   жағдайлардағы графигі 6- суретте келтірілген.       
 
 
Сурет 6 – Маятниктік осциллятор потенциалының жалпы жүрісі 

жүктеу/скачать 3,59 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: