«Вітчизняна наука: сучасний стан, актуальні проблеми та перспективи розвитку»

148 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
В  качестве  регулятора  частоты  вращения  вала  ротора  применяется  пропорционально
-
интегральный 
регулятор  (ПИ
-
РС),  который  и  обеспечивает  необходимую  стабилизацию  скорости  асинхронного  двигателя. 
Функциональный  блок  ММ
 
вычисляет  мощность  потерь  асинхронного
 
двигателя.  Также  на  схеме  присутствует 
релейный элемент, который определяет направление изменения управляющего сигнала γ
1
, т.е. его увеличение или 
уменьшение. Этот сигнал суммируется с тестовым(пробным) сигналом γ
2
 
треугольной формы. Треугольная форма 
необходима  для  того,  чтобы  система  отработала  как  приращение,  так  и  уменьшение  входного  сигнала  и 
определила направление его изменения.
 
При  разработке  системы  управления,  для  получения  наиболее  достоверных  и  адекватных  результатов 
применялась модель асинхронного двигателя учитывающая в полной мере насыщение главного магнитного потока, 
потери  в  стали  и  эффект  вытеснения  тока  ротора.  Эквивалентная  схема  замещения  представлена  на  рис.  3. 
Основным отличием от традиционной Т –
 
образной схемы замещения асинхронного двигателя является включение 
сопротивления,  пропорционального  потерям  в  стали,  параллельно  взаимоиндуктивности.  Картина  распределения 
потерь в меди обмоток статора и ротора и стали статора получается наиболее близкой к реальной.
 
 
Рис. 3. Эквивалентная схема замещения асинхронного двигателя
 
На  рис.  3  приняты  следующие  обозначения. 
R
s
,  R
r
,  R
с
 
–
 
сопротивления  обмотки  статора,  ротора 
(приведенное  к  обмотке  статора)  и  сопротивление,  эквивалентное  потерям  в  стали,  соответственно; 
L
σ
s
,  L
σr
,  L
μ
, 
–
 
индуктивности  рассеяния  обмотки  статора,  ротора  (приведенная  к  обмотке  статора)  и  взаимоиндуктивность 
соответственно; ψ
s
, 
ψ
r
, 
ψ
μ
, 
–
 
потокосцепления обмотки статора, ротора и взаимоиндукции соответственно;  ω
, 
ω
k
 
–
 
частота  вращения  магнитного  поля  и  координатных  осей  соответственно; 
u
s
,  i
s
,  i
r
,  i
μ
,  i
c
 
–
 
напряжение  и  токи  в 
соответствующих ветвях схемы.
 
Математическое  описание  переходных  процессов  асинхронного  двигателя  в  системе  координат, 
вращающихся с произвольной частотой ω
k
, 
осуществляется на базе уравнений, записанных на основании законов 
Кирхгофа:
 
)
(
__
__
__
__
__
__












s
k
s
s
s
s
s
j
dt
d
dt
i
d
L
i
R
u
; 
)
)(
(
0
__
__
__
__
__














r
k
r
r
r
r
j
dt
d
dt
i
d
L
i
R
; 
dt
d
j
i
R
k
c
c
__
__
__







; 
__
__
__
__
r
s
c
i
i
i
i




. 
Данные  уравнения  необходимо  дополнить  уравнением  электромагнитного  момента  и  механического 
движения:
 


u
v
rv
r
v
u
ru
r
r
n
i
L
i
L
L
p
M











)
(
)
(
2
3




, 
Непосредственно  само  моделирование  производилось  в  среде 
Matlab  Simulink
.  Была  составлена  схема 
функционально  аналогичная  структурной  схеме  представленной  на  рис.2.  Ход  моделирования  разделялся  на 
следующие этапы. На первом интервале времени был осуществлен пуск двигателя на номинальный режим работы. 
После  завершения  переходных  процессов  к  системе  скалярного  управления  подключается  адаптивная 
самонастраивающаяся  система  экстремального  управления  и  начинается  процесс  поиска  минимума  мощности 
суммарных потерь электропривода. Как только экстремум достигнут, пробный сигнал и значение входного сигнала 
остается  на  достигнутом  уровне.  Если  же  на систему  оказать  какое
-
либо  внешнее  воздействие,  то система снова 
подключит  пробный  сигнал  и  будет  оптимизировать  мощность  суммарных  потерь.  Результаты  моделирования 
приведены ниже.
 

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
149 
 
 
 
Рис.4 Изменение мощности потерь Рп при 
U
з=2В
 
 
Рис.5 Изменение мощности потерь Рп при 
U
з=3В
 
 
Рис.6 Изменение мощности потерь Рп при 
U
з=5В
 
На  рис.4
-
6  показаны  осциллограммы  изменения  суммарных  потерь
 
в  электроприводе  при  подключении  в 
момент  времени 
t
=15с  системы  экстремального  управления.  Изначально  задающий  (номинальный)  сигнал  на 
напряжение и частоту составляет 
U
з=
U
зн=
U
зч=10В. Из представленных осциллограмм можно сделать вывод,  что 
чем  дальше  задающий  сигнал  от  номинального,  тем  больше  происходит  уменьшение  мощности  потерь  и  тем 
больше преимущество использование этой системы управления.
 
Также  здесь  решается  задача  стабилизации  выходной  координаты,  что  доказывают  осциллограммы 
скорости и момента электропривода за весь цикл работы, представленные на рис.7. Отметим, что цикл работы во 
всех режимах не превышает одной минуты.
 

150 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
 
Рис.7 Зависимости момента и скорости электропривода от времени
 
Из  всего  выше  представленного  можно  сделать  вывод,  что  предлагаемая  система  управления 
асинхронным  двигателем  рассчитана  на  статические  режимы  работы.  В  динамических  процессах  для 
электропривода могут ставиться другие задачи, поэтому в этих режимах настройки, оптимизирующие потребление 
энергии,  целесообразно  отключать.  Система  управления  дает  наибольший  эффект  при  работе  на  пониженных 
частотах вращения Уменьшение мощности потерь может достигать 25 % первоначальной величины в зависимости 
от  реализуемого  момента  и  частоты  вращения.  Что  является  прямым  доказательством  целесообразности 
использования данной адаптивной самонастраивающейся системы экстремального управления.
 
 
Литература:
 
1. 
Поляков,  В.Н.  Энергоэффективные  режимы  регулируемых  электроприводов  /  В.Н.  Поляков // авторефер.  дисс. 
… докт. техн. наук. –
 
Екатеринбург, 2009. –
 
41 с.
 
2. 
Учет  потерь  в  стали,  насыщения  и  поверхностного  эффекта  при  моделировании  динамических  процессов  в 
частотно
-
регулируемом асинхронном электроприводе./ А.Б. Виноградов // Электротехника. –
2005. 
–
 
№5. –
 
С. 57 
–
 61. 
3. 
Космодамианский,  А.С.  Моделирование  электропривода  с  асинхронным  двигателем  в  режиме  минимума 
мощности  потерь  /  А.С.  Космодамианский,  В.И.  Воробьев,  А.А.  Пугачев  //  Фундаментальные  и  прикладные 
проблемы техники и технологии, №6 –
 2012. 
–
 
С. 129 –
 135. 
 
Научный руководитель:
 
к.т.н.
 
Пугачев Александр.Анатольевич.
 
 
Максим Лихов
 
(Саратов, Россия)
 
 
 
О РАСЧЕТЕ ФИЗИЧЕСКОГО ИЗНОСА ЗДАНИЯ
 
 
При модернизации тепловой защиты зданий, оценке экономической целесообразности энергосберегающих 
мероприятий  и  т.п.  необходимо  учитывать  техническое  состояние  рассматриваемого  здания,  которое  во  многом 
определяет  его  остаточный  срок.  В  качестве  количественной  оценки  технического  состояния  зданий  используют 
критерий  физического  износа.  Физический  износ  зданий  определяет  такие  характеристики  объекта,  как 
эксплуатационную надежность и стоимость восстановительных работ, которая в итоге оценивается экономической 
целесообразностью реконструкции или сноса зданий.
 
Физический  износ  жилых  зданий  можно  аппроксимировать  некоторой  функцией 
Y(t), 
динамически 
меняющейся во времени.
 
Вид функции оценивается в зависимости от многих факторов: текущий и капитальный ремонт; техническая 
эксплуатация;  уровень  воздействия  динамических  нагрузок  на  фундаменты;  влияние  техногенных  процессов; 
изменение  геотехнического  состояния  оснований  фундаментов;  старение  материала  конструкций  под  действием 
атмосферных воздействий.
 
В  соответствии  с  [1,  с.14]  математическое  моделирование  процесса  физического  износа  может  быть 
представлено  в  виде  функции 
Y(t), 
зависящей  от  внешних  и  внутренних  воздействий 
G, 
имеющих  постоянный 
характер  во  времени,  и  переменной 
F(t), 
включающей  процессы  осадки  зданий,  старение  и  изменение  физико
-
механических  характеристик  несущих  и  ограждающих  конструкций;  инерции  системы  здания  с  массой  т  на 
ускорение  функции 
; 
трения  системы,  как  произведение  коэффициента  трения  К
тр
 
на  скорость  изменения 
состояния  объекта 
;  реакции  здания,  связанной  со  значением  износа,  который  определяется  долей 
восстановления при капитальном ремонте
. 
Для  оценки  величины  физического  износа  зданий  существует  несколько  математических  моделей.  Так, 
процесс физического износа может быть описан дифференциальным уравнением, полученным С.А. Болотиным:
 

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
151 
 
 
 
где 
s 
–
 
коэффициент,  учитывающий  степень  износа; 
d(t)Y 
–
 
время  проведения  ремонтно
-
восстановительных работ со степенью износа 
Y. 
Оценим влияние на интенсивность физического износа зданий текущего ремонта 
s 
= 0. В качестве внешних 
воздействий и реакции здания используем экспоненциальную зависимость осадок здания во времени.
 
Тогда дифференциальное уравнение имеет следующий вид
 
 
где 
w 
–
 
частота  проведения  ремонтов; 
 
–
 
скорость  износа; 
 
–
 
отношение 
переменных параметров воздействия к постоянным; 
g 
–
 
сила инерции объекта.
 
Таким образом, интенсивность физического износа может быть представлена зависимостью типа
 
 
где 
t 
–
 
постоянная времени для оценки экспоненциального уменьшения осадок фундаментов.
 
Для оценки интенсивности износа задаются параметры частоты текущих ремонтов. В зависимости от этого 
функция износа будет иметь различные степенные показатели,
 
что определяет характер экспоненциальных кривых 
в  зависимости  от  времени  эксплуатации  (рис.  1).  В  зависимости  от  условий  технического  обслуживания  график 
износа будет иметь вогнутую или выпуклую форму.
 
Предельно допустимый процент износа
 
T t 
Относительный парамет
 
Относительный параметр времени 
t 
Рис.1
 
Вогнутая форма кривой свидетельствует о более интенсивном износе в начальный период эксплуатации, а 
выпуклая  –
 
о  стабилизации  деформации  зданий  во  времени  и  менее  интенсивной  потере  эксплуатационных 
свойств.
 
Имеет место и следующий упрощенный подход, описываемый уравнением, приведенным в [2, с.2]:
 
 
Y (1) 
 
где 
t 
–
 
фактический срок эксплуатации здания, лет; Т
сл
 
–
 
его общий срок службы, лет; Ф –
 
физический износ 
здания в абсолютном выражении.
 
Решая уравнения (1) относительно Т
сл
 
и вычитая из полученной величины фактический срока эксплуатации 
здания позволяет оценить его остаточный срок эксплуатации.
 
Представленные  зависимости  дают  возможность  качественной  оценки  состояния  объектов.  Для  полной 
оценки  физического  износа  требуется  детальное  обследование  конструктивных  элементов  с  использованием 
современных  методик,  аппаратуры  и  инженерного  расчета  остаточной  несущей  способности  зданий  как  сложных 
строительных систем.
 

152 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
Техническое  обследование  зданий  и  сооружений:  экспертиза  фундаментов,
 
ростверков  и  фундаментных 
балок;  техническая  экспертиза  ограждающих  конструкций  стен,  колонн,  столбов;  обследование  конструкций 
перекрытия, покрытия, балок, ферм, арок, прогонов, плит и др., экспертиза подкрановых балок и ферм; экспертиза 
связевых  конструкций  и  элементов  жесткости,  экспертиза  пространственной  жесткости  и  устойчивости  каркаса; 
экспертиза  стыков,  соединений,  узлов  и  площадок  опирания  конструкций;  инженерно
-
геологические  изыскания; 
проектные и сметные работы (рис.2) [3, с.21].
 
Рис.2. Тех. обследование перекрытия
 
При  обследовании  конструкций  зданий  и  сооружений  учитывается  специфика  материалов,  из  которых 
выполнены  конструкции.  Техническое  состояние  конструкций  зданий  и  сооружений  определяется  на  основании 
результатов экспертного обследования и
 
необходимых математических расчетов [4, с.123].
 
 
 
Литература:
 
1. 
ВСН 53
-
86 р «Правила оценки физического износа жилых зданий» 1987
-07-01. 
2. 
Клычников Р. Езерский В., Монастырев П. Термомодернизация жилых зданий –
 
когда она безубыточна? // В тр. 
Междун.  конф.  «
 
Физико
-
математические  и  технические  науки  как  постиндустриальный  фундамент  эволюции 
информационного общества». Лондон, 2012.
 
3. 
Электрон.ресурс: http://a1
-expert.ru/ 
4. 
ГОСТ Р 53778
-
2010 «Здания и сооружения. Правила обследования и мониторинга технического состояния».
 
 
Науч. руководитель: Артамонова Е.Н.
 
 
 
Наталья Можей
 
(Минск, Беларусь)
 
 
 
АЛГЕБРЫ ГОЛОНОМИИ ОДНОРОДНЫХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ
 
 
Исследование  голономии  было  начато  Картаном  для  изучения  и  классификации  симметрических 
пространств, позже группы голономии использовались, чтобы изучить риманову геометрию в целом. Ириг показал, 
что  связь  между  группой  голономии  пространства
-
времени  и  изотропным  рекуррентным  векторным  полем  на  нем 
позволяет  при  некоторых  дополнительных  ограничениях  решить  вопрос  об  однозначности  определения 
метрического  тензора  по  заданному  тензору  энергии
-
импульсаю.  В  работе  Морриса  и  Дэвиса  понятие 
инфинитезимальной  группы  голономии  используется  для  построения  калибровочной  теории  гравитации. 
Разложение и классификация римановых голономий также применимы в физике, в особенности, в теории струн.
 
Пусть 
M
 
–
 
дифференцируемое многообразие, на котором транзитивно действует группа 
G
, (
M
, 
G
) 
–
 
однородное  пространство
, 
x
G
G =
 
–
 
стабилизатор  произвольной  точки 
M
x

.  Проблема  классификации 
однородных пространств (
M
, 
G
) равносильна классификации (с точностью до эквивалентности) пар групп Ли (
G
, 
G
), где 
G
G

. Начнем с локального описания однородных  пространств и связностей на них. Пусть 
g
 
–
 
алгебра Ли группы Ли 
G
, а 
g
 
–
 
подалгебра, соответствующая подгруппе 
G
. Инвариантные римановы метрики 
g
 
на 
M
 
находятся во взаимно–однозначном соответствии с инвариантными симметрическими невырожденными 
билинейными  формами 
B
 
на 
G
–модуле 
g
g
/
.  Каждое  риманово  однородное  пространство 
),
g
,
,
( M
G
 
4

g
g
codim
 
описывается  тройкой 
)
,
,
(
B
g
g
,  будем  называть  ее
 
локально  римановым  однородным 
пространством.  Ограничимся  случаем  с  ненулевым  стабилизатором,  т.к.  все  остальные  римановы  однородные 
пространства –
 
только трехмерные группы Ли с инвариантной метрикой.
 
Теорема  1.
 
Пусть 
)
,
,
(
B
g
g
 
–
 
локально  однородное  пространство,  допускающее  риманову  метрику,  т.ч. 
3
=
g
g
codim
 
и 
{0}

g
. Оно эквивалентно одной и только одной из следующих троек: 
 
 
 
 

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
153 
 
 
 
Таблица умножения
 
B 
 
1.3.1 
 
e
1
 
u
1
 
u
2
  u
3
 
e
1
  0 
–
u
2
  u
1
  0 
u
1
  u
2
 
0 
0 
0 
u
2
 
–
u
1
  0 
0 
0 
u
3
  0 
0 
0 
0 
 
ε
1
  0 
0 
0 
ε
1
  0 
0 
0 
ε
2
 
 
ε
1
,
ε
2
=±1
 
1.3.2 
 
e
1
 
u
1
 
u
2
 
u
3
 
e
1
  0 
–
u
2
  u
1
 
0 
u
1
  u
2
 
0 
0 
u
1
 
u
2
 
–
u
1
  0 
0 
u
2
 
u
3
  0 
–
u
1
 
–
u
2
  0 
 
ε
 
0  0 
0 
ε
 
0 
0  0  a 
 
ε=±1,
a
≠0
 
1.3.3 
 
e
1
 
u
1
 
u
2
 
u
3
 
e
1
  0 
–
u
2
 
u
1
 
0 
u
1
  u
2
 
0 
e
1
+u
3
 
0 
u
2
 
–
u
1
 
–
e
1
–
u
3
  0 
0 
u
3
  0 
0 
0 
0 
 
a  0  0 
0  a  0 
0  0  b 
 
ab
≠0
 
1.3.4 
 
e
1
 
u
1
 
u
2
 
u
3
 
e
1
  0 
–
u
2
 
u
1
 
0 
u
1
  u
2
 
0 
–
e
1
+u
3
 
0 
u
2
 
–
u
1
  e
1
–
u
3
  0 
0 
u
3
  0 
0 
0 
0 
 
a 
0 
0 
0 
a 
0 
0 
0 
b 
 
ab
≠0
 
1.3.5 
 
e
1
 
u
1
 
u
2
  u
3
 
e
1
  0 
–
u
2
  u
1
  0 
u
1
  u
2
 
0 
e
1
  0 
u
2
 
–
u
1
 
–
e
1
  0 
0 
u
3
  0 
0 
0 
0 
 
a 
0 
0 
0 
a 
0 
0 
0 
±1
 
 
 
 
 
a
≠0
 
 
 
1.3.6 
 
e
1
 
u
1
 
u
2
 
u
3
 
e
1
  0 
–
u
2
  u
1
 
0 
u
1
  u
2
 
0 
–
e
1
  0 
u
2
 
–
u
1
  e
1
 
0 
0 
u
3
  0 
0 
0 
0 
 
a  0  0 
0  a  0 
0  0 
±1
 
 
a
≠0
 
1.3.7 
 
e
1
 
u
1
 
u
2
  u
3
 
e
1
  0 
–
u
2
  u
1
  0 
u
1
  u
2
 
0 
u
3
  0 
u
2
 
–
u
1
 
–
u
3
  0 
0 
u
3
  0 
0 
0 
0 
 
ε
 
0  0 
0 
ε
 
0 
0  0  a 
 
ε=±1,
a
≠0
 
3.5.1 
 
e
1
 
e
2
 
e
3
 
u
1
 
u
2
 
u
3
 
e
1
  0 
e
3
 
–
e
2
 
–
u
3
  0 
u
1
 
e
2
 
–
e
3
  0 
e
1
 
–
u
2
  u
1
 
0 
e
3
  e
2
 
–
e
1
  0 
0 
–
u
3
  u
2
 
u
1
  u
3
 
u
2
 
0 
0 
0 
0 
u
2
  0 
–
u
1
  u
3
 
0 
0 
0 
u
3
 
–
u
1
  0 
–
u
2
  0 
0 
0 
 
1  0  0 
0  1  0 
0  0  1 
 
±
 
3.5.2 
 
e
1
 
e
2
 
e
3
 
u
1
 
u
2
 
u
3
 
e
1
  0 
e
3
 
–
e
2
 
–
u
3
  0 
u
1
 
e
2
 
–
e
3
  0 
e
1
 
–
u
2
  u
1
 
0 
e
3
  e
2
 
–
e
1
  0 
0 
–
u
3
  u
2
 
u
1
  u
3
 
u
2
 
0 
0 
e
2
 
e
1
 
u
2
  0 
–
u
1
  u
3
 
–
e
2
  0 
e
3
 
u
3
 
–
u
1
  0 
–
u
2
 
–
e
1
 
–
e
3
  0 
 
a  0  0 
0  a  0 
0  0  a 
 
a
≠0
 
3.5.3 
 
e
1
 
e
2
 
e
3
 
u
1
 
u
2
 
u
3
 
e
1
  0 
e
3
 
–
e
2
 
–
u
3
  0 
u
1
 
e
2
 
–
e
3
  0 
e
1
 
–
u
2
  u
1
 
0 
e
3
  e
2
 
–
e
1
  0 
0 
–
u
3
  u
2
 
u
1
  u
3
 
u
2
 
0 
0 
–
e
2
 
–
e
1
 
u
2
  0 
–
u
1
  u
3
 
e
2
 
0 
–
e
3
 
u
3
 
–
u
1
  0 
–
u
2
  e
1
 
e
3
 
0 
 
a  0  0 
0  a  0 
0  0  a 
 
a
≠0
 
Здесь 
1
e
, 
2
e
, 
3
e
 
–
 
базис 
g
, 
1
u
, 
2
u
, 
3
u
 
–
 
дополнительный к 
g
. 
Замечание.  Кроме  римановой  метрики  псевдориманову  метрику  сигнатуры  (2,  1)  допускают  следующие 
однородные пространства: 1.3.1 при 
0
<
2
1


, 1.3.2, 1.3.5, 1.3.6, 1.3.7 при 
0
<
a

, 1.3.3, 1.3.4 при 
0
<
ab
. 
Из пар, приведенных в теореме, симметрическое однородное пространство задают 1.3.1, 1.3.5, 1.3.6, 3.5.1–
3.5.3. 
Из трехмерных римановых однородных пространств следующие 7 соответствуют классификации Терстона:
 
–
 
если  стабилизаторы  точек  пространства  трехмерны  (
(3)
=
so
g
),  то  тройка  3.5.1.  задает  евклидово 
пространство 
3
E
, 3.5.2. 
–
 
сферу 
3
S
, а 3.5.3. –
 
гиперболическое пространство 
3
H
; 
–
 
если  стабилизаторы  одномерны  (
(2)
=
so
g
),  то 
M
 
–
 
G
–инвариантное  расслоение  над  одной  из 
двумерных  геометрий.  На 
M
 
есть 
G
–инвариантная  метрика,  определяющая  связность.  При  нулевой  кривизне 

154 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
связности тройка 1.3.5. задает 
1
2
E
S

, 1.3.6. задает 
1
2
E
H

, а при ненулевой кривизне тройка 1.3.3. задает 

)
(2,

SL
, 1.3.7. задает нильгеометрию.
 
–
 
1.3.1.  подалгебра  в  3.5.1.  в  базисе 
)
,
,
,
(
3
2
1
2
u
u
u
e
,  1.3.2.  подалгебра  в  3.5.2.  в  базисе 
)
,
,
,
(
2
3
3
1
2
1
u
u
e
u
e
e



, а 1.3.4. подалгебра в 3.5.3. в базисе 
)
2
,
2
,
2
,
(
2
1
1
3
3
2
1
u
e
u
e
u
e
e





. 
Переформулируем  теорему  Вана  об  алгебре  группы  голономии  инвариантной  связности:  алгебра  Ли 
группы  голономии  инвариантной  связности 
)
(3,
:

gl
g


 
на  паре  (
g
g
,
) 
–
 
это  подалгебра  алгебры  Ли 
)
(3,

gl
 
вида
 
,
]]
),
(
[
),
(
[
]
),
(
[







V
V
V
g
g
g
 
где 
V
 
–
 
подпространство, порожденное множеством
 
}.
,
|
])
,
([
)]
(
),
(
{[
g





y
x
y
x
y
x
 
Положим 
a
 
равной  подалгебре  в 
)
(3,

gl
,  порожденной  множеством 
)}
(
{
x

.  Первоначально 
a
 
была  введена  в  римановом  случае  Костантом  [1]  и  использовалась  Лихнеровичем  и  Ваном  в  более  общей 
ситуации.  Основное  свойство 
a
 
таково:  пусть 
*
h
 
–
 
алгебра  Ли  группы  голономии,  тогда 
),
(
*
*
h
a
h



 
где 
)
(
*
h
N
 
–
 
нормализатор 
*
h
 
в 
)
(3,

gl
.  Будем  говорить,  что  инвариантная  связность  нормальна,  если 
a
h
=
*
.  Если  риманово  пространство  не  содержит  плоских  сомножителей  в  разложении  де  Рама,  то  линейная 
алгебра Ли, порожденная операторами Номидзу совпадает с алгеброй голономии пространства 
M
. 
На  всех  трехмерных  римановых  однородных  пространствах  существуют  инвариантные  аффинные 
связности  такие,  что  их  алгебра  голономии  нормальна.  Все  указанные  выше  локально  римановы  однородные 
пространства 
3
=
g
codim
 
являются редуктивными (т.к. 
m
m
g

]
,
[
 
для всех указанных выше пар; это верно 
для  любого  пространства, на  котором существует  инвариантная  невырожденная  билинейная  форма,  в  частности, 
любое  риманово  пространство  является  редуктивным).  Следовательно,  геодезические  будут  совпадать  с 
геодезическими  канонической  связности  при 
0
=
)
( x
x

 
для  любого 
m

x
 
([2]).  Такая  связность  на 
редуктивном  однородном  пространстве  всегда  существует,  причем  единственная  (так  называемая  естественная 
связность  без  кручения),  и  задается  соотношением 
m
y
x
y
x
]
,
[
2
1
=
)
(
m

 
для  всех 
m

y
x,
. 
Риманова 
связность, соответствующая форме 
B
 
находится из соотношения
 
)
,
]
,
([
)
]
,
[
,
(
=
)
),
,
(
(
2
где
),
,
(
]
,
[
2
1
=
)
(
y
x
z
B
y
z
x
B
z
y
x
u
B
y
x
u
y
x
y
x
m
m
m
m



для 
всех 
m

z
y
x ,
,
. Существует единственная риманова связность без кручения, называемая Леви–Чевита 
связностью. При выполнении условия
 
m


z
y
x
y
x
z
B
y
z
x
B
m
m
,
,
длявсех
0
=
)
,
]
,
([
)
]
,
[
,
(
 
риманова  связность  для 
B
 
совпадает  с  естественной  связностью  без  кручения,  а  соответствующее 
пространство  является  естественно  редуктивным.  Все  естественно  редуктивные  пространства  являются 
геодезически орбитальными пространствами
 
(все максимальные геодезические являются однородными), более 
того, в размерности не более 5 верно и обратное утверждение.
 

жүктеу/скачать 9,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: