«Вітчизняна наука: сучасний стан, актуальні проблеми та перспективи розвитку»

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
155 
 
 
.
0
0
0











3
2
3
1
2
1
s
s
s
s
s
s
 
1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 
1.3.6. Связность
 
.
0
0
0
0
,
0
0
0
0
0
,
0
0
0
0
0
3
3,
1
1,
2
1,
2
1,
1
1,
1
3,
2
3,
3
1,
3
2,
2
3,
1
3,
3
2,
3
1,

































r
r
r
r
r
p
p
p
p
p
p
p
p
 
В  случаях  1.3.5,  1.3.6  при  равенстве  нулю  всех  параметров  пространство  является  естественно 
редуктивным.
 
Нормальная  алгебра  голономии  (при 
0
=
=
3,3
1,1
r
r
, 
0
=
=
=
=
3,2
2,3
3,1
1,3
p
p
p
p
, 
1
1,2


r
 
в 
случае  1.3.3,  при 
0
=
=
3,3
1,1
r
r
, 
0
=
=
=
=
3,2
2,3
3,1
1,3
p
p
p
p
, 
1
1,2

r
 
в  случае  1.3.4,  при 
0
=
=
3,3
1,1
r
r
, 
0
=
=
=
=
3,2
2,3
3,1
1,3
p
p
p
p
 
в случае 1.3.5, 1.3.6):
 
.
0
0
0
0
0
0
0









1
1
s
s
 
1.3.1,  1.3.2,  1.3.7.  Связность  совпадает  с  выписанной  в  случае  1.3.3.  В  случае  1.3.1  при  равенстве  нулю 
всех параметров пространство является естественно редуктивным.
 
Нормальная  алгебра  голономии  (при 
0
2,3
3,2
3,1
1,3


p
p
p
p
, 
0
=
3,3
r
, 
0
=
1,1
r
, 
0
1,2

r
, 
2,3
3,1
3,2
1,3
=
p
p
p
p
 
в 
случае 
1.3.1, 
при 
0
2,3
3,2
3,1
1,3


p
p
p
p
, 
0
=
3,3
r
, 
0
=
1,1
r
, 
2,3
3,1
3,2
1,3
=
p
p
p
p
 
в  случае  1.3.2,  при 
0
1,2
2,3
3,2
3,1
1,3



r
p
p
p
p
, 
0
=
3,3
r
, 
0
=
1,1
r
, 
2,3
3,1
3,2
1,3
=
p
p
p
p
 
в случае 1.3.7):
 
.
0
0
0
3
3,1
2
3,2
3
3,2
2
3,1
3
1,3
2
2,3
3
2,3
2
1,3















s
p
s
p
s
p
s
p
s
p
s
p
s
s
p
s
p
s
1
1
 
После  замены  базиса  в  случае,  если 
0
<
3,1
1,3
p
p
 
или 
0
<
0,
=
2,3
3,2
3,1
1,3
p
p
p
p
,  алгебра 
голономии 
совпадает 
с 
представленной 
в 
случае 
3.5.1, 
в 
случае, 
если 
0
>
3,1
1,3
p
p
 
или 
0
>
0,
=
2,3
3,2
3,1
1,3
p
p
p
p
, пара допускает только псевдориманову метрику сигнатуры (2, 1).
 
 
Литература
: 
1. 
К
ostant 
В
.  On  differential  geometry  and  homogeneous  spaces 
–
  Proc.  Nat.  Acad.  Sci.  USA,  42  (1956),  p.  258
–
261, 
354
–
357. 
2.  Kobayashi  S.  Foundations  of  Differential  Geometry/  S.  Kobayashi,  K.  Nomizu  //  New
–
York
–
London,  v.  I,  1963;  v.  II, 
1969. 
 
 
Виктория Мотеюнайте
, 
Анна Бочарова
-
Лескина
 
(Краснодар, Россия)
 
 
ПРИМЕНЕНИЕ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ТЕСТА ЗНАКОВ ДЛЯ ДВУХ ЗАВИСИМЫХ ВЫБОРОК
 
 
В  процессе  исследований  зачастую  приходится  иметь  дело  несколько  раз  с  одной  и  той  же  выборкой. 
Например,  в  социологических  исследованиях  при  работе  с  группой  респондентов  какой
-
либо  показатель  может 
измеряться дважды –
 
до проведения определённого мероприятия с членами группы и после. В подобных случаях 
мы  имеем  дело  с  зависимыми  выборками.  Многие  непараметрические  методы  статистики  предназначены  для 
работы с такими выборками с целью выявления происходящих изменений по принципу «до и после».
 
Рассмотрим следующую задачу. В группе студентов, состоящей из 20 человек, преподаватель на каждом 
занятии  в  течение  первого  семестра  проводил  проверку  посещаемости  и  в  конце  семестра  составил  список 
студентов  с  указанием  того,  сколько  занятий  в  течение  семестра  каждый  студент  пропустил.  В  начале  второго 
семестра преподаватель объявил, что те студенты, которые в текущем семестре пропустят меньше всего занятий, 
получат  определённый  бонус  на  экзамене.  В  конце  второго  семестра  он  снова  составил  список  студентов  с 
количеством пропусков занятий. Оба списка приведены в таблице 1.
 
 
 
 

156 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
Таблица 1
 
 
Можно ли на основании приведённых данных утверждать, что во втором семестре пропусков занятий стало 
меньше?
 
Для  ответа  на  поставленный  вопрос  используем  один  из  непараметрических  методов  математической 
статистики  –
 
тест  знаков.  Отличительной  особенностью  этого  теста  является  то,  что  для  его  применения 
достаточно  знать,  в  какую  сторону  (увеличения  или  уменьшения)  изменились  (сдвинулись)  результаты  второго 
измерения  по  сравнению  с  первым.  В  том  случае,  если  второй  результат  больше  первого,  обозначим  его  «+» 
(положительный
 
сдвиг),  если  второй  результат  меньше  первого,  обозначим  его  «
-
»  (отрицательный  сдвиг).  Если 
результат не изменился, обозначим его «0» (нулевой сдвиг).
 
Затем  подсчитываем  количество  положительных,  отрицательных  и  нулевых  сдвигов.  Нулевые  сдвиги 
игнорируются,  поскольку  они  свидетельствуют  об  отсутствии  изменений.  Сравнение  количества  положительных  и 
отрицательных сдвигов позволяет выделить типичное направление сдвига. Если положительных сдвигов больше, 
то  типичное  направление  сдвига  –
 
положительное.  Если  же  больше  сдвигов  со  знаком  «
-
»,  то  типичное 
направление  сдвига  –
 
отрицательное.  Сдвиги  в  сторону,  противоположную  типичному  направлению  сдвига, 
определим  как  нетипичные.  Чем  меньше  число  нетипичных  и  нулевых  сдвигов,  тем более  существенны  различия 
«до и после» между выборками.
 
Выбираем уровень значимости 
05
,
0


и сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы.
 
0
H
: Различия между выборками носят случайный характер: ситуация с опозданиями во втором семестре 
не отличается от ситуации с опозданиями в первом семестре.
 
Для  того,  чтобы  сформулировать  альтернативную  гипотезу,  обработаем  данные,  представленные  в 
таблице. Для каждой пары значений «до и после» определим и запишем в таблицу направление сдвига результатов 
второго измерения по сравнению с первым:
 
–
 
число пропусков во втором семестре стало меньше числа пропусков в первом семестре: 
A>B; 
–
 
число пропусков во втором семестре стало больше числа пропусков в первом семестре: 
A–
 
число пропусков во втором семестре равно числу пропусков в первом семестре: А=В.
 
Определим  и  запишем  в  таблицу  знак  сдвига  (он  определяется  вычитанием  результата  «после»  из 
результата «до»).
 
Подсчитаем  количество  отрицательных,  положительных  и  нулевых  сдвигов:  число  отрицательных  –
  12, 
число положительных –
 
4, число нулевых сдвигов  –
 
4. Исключаем из дальнейшего рассмотрения нулевые сдвиги; 
выборка  уменьшается  до  16  значений.  Поскольку  отрицательных  сдвигов  12,  а  положительных  4,  то  типичное 
направление  сдвига  –
 
отрицательное.  Поэтому  в  качестве  альтернативной  гипотезы  выбираем  гипотезу 
1
Н
: 
Различия  между  выборками  носят  неслучайный  характер;  опозданий  во  втором  семестре  стало  меньше,  чем  в 
первом.
 
Очевидно,  что  число  типичных  сдвигов  равно  12,  а  число  нетипичных  сдвигов  равно  4.  Если  результаты 
«после»  распределены  случайным  образом  (то  есть  с  одинаковой  вероятностью  результаты  «после»  могут  как 
возрасти,  так  и  уменьшиться  по  сравнению  с  результатами  «до»),  то существует  определённая  вероятность  того, 
что интересующее нас событие наступит не более 4 раз из 16. Эту вероятность вычислим по формуле Бернулли:
 
.
0384
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
5
,
0
12
4
4
16
13
3
3
16
14
2
2
16
15
1
1
16
16
0
0
16
















C
C
C
C
C
P
 
Поскольку  полученное  значение  вероятности,  говорящей  о  случайности  распределения  сдвигов,  меньше 
выбранного  уровня  значимости,  то  нулевая  гипотеза  отвергается  и  принимается  альтернативная.  Таким  образом, 
опозданий во втором семестре стало меньше, чем было в первом.
 
 
Литература:
 
1. 
Кремер  Н.Ш.  Теория  вероятностей  и  математическая  статистика  /  Кремер  Н.Ш. Учебник  для  вузов.  –
  2-
е  изд., 
перераб. и доп. –
 
М.: ЮНИТИ
-
ДАНА, 2
004. 
–
 
573 с.
 
2. 
Наследов  А.Д.  Математические  методы  психологического  исследования.  Анализ  и  интерпретация  данных  / 
Наследов А.Д. –
 
СПб.: Речь, 2006. –
 
392 с.
 
 
Научный руководитель:
 
Бочарова
-
Лескина Анна Леонидовна.
 

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
157 
 
 
 
Хикмат
 
Муминов, Мохаммад Асгари
-
Ларими
 
(Душанбе, Таджикистан)
 
 
МНОГОСОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ ВЕКТОРНОГО ДВУХКОМПОНЕНТНОГО НЕЛИНЕЙНОГО
 
УРАВНЕНИЯ 
ШРЕДИНГЕРА СО СМЕШАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
 
 
Как известно, в последние годы алгебро
-
геометрический метод интегрирования[
   ]
 
стал одним из методов 
построения широкого класса решений ряда фундаментальных нелинейных уравнения математической физики. Этот 
метод  позволяет  получить  в  явном  виде  известные  и  новые  многосолитонные  решения  данных  уравнений,  в 
частности  нелинейного  уравнения  Шредингера  (НУШ),  и  является  одним  из  методов,  позволяющих  получать 
решения и в тех случаях, когда для вспомогательных нелинейных задач нет последовательного решения прямой и 
обратной задачи рассеяния .
 
Впервые этот метод был предложен И. А. Чередником для построения решений векторных версий НУШ и в 
дальнейшем развит в[
     ]
 . 
Напомним, вкратце, суть метода. Для оператора
 
      
 
   
 
 
   (    ) ( )
 
с нулевым собственным значением
 
  (       )     ( )
 
в качестве собственных функций 
 (       )
 
принимается функция Бейкера
- 
Ахиезера следующего вида
 
 (       )    
 
(       ) 
      
 
 
 ( )
 
где
 
 
 
(       )    
 
   
 
 
   
       
   
     
 
 ( )
 
- 
полином по некоторой степени 
 
. 
Построим  сначала  комплексные  интегрируемые  потенциалы  .  Зададим  набор  различных  чисел 
 
 
   
  
 
где 
                               
 
эти  величины  являются  параметрами  конструкции.  При  заданных  параметрах  функцию 
 (       )
 
можно  однозначно  определить,  потребовав,  чтобы  она  удовлетворяла  следующей  системе  линейных 
условий:
 
∑ 
  
 (       )|
   
 
                    ( )
 
   
 
Эти условия эквивалентны системе линейных уравнений на коэффициенты 
 
 
   
 
       
 
. Вводя обозначение
 
 
 
(    )    
 
      
 
 
  
перепишем систему (5) в явном виде
 
∑  
 
∑  
  
 
   
 
   
 
  
 
    ∑  
  
 
 
 
   
  ( )
 
   
 
Обозначим матрицу  размером составленную  из коэффициентов  при 
 
 
(    )
 
в уравнениях  (6), а 
 ̂(       )
 
–
 
матрицу размером 
             
 
вида
 
 ̂(       )  
(
 
 
 
 
 
 
 
 
   
      
 
  ∑  
  
 
 
 
  
 (    )
  
  ∑  
  
 
 
 
)
 
 
 
 
 
 ( )
 
Теорема  1.
 
Пусть  матрица 
 (    )
 
системы  (7)  не  является  тождественно  (по 
    )  вырожденной  .  Тогда 
функция вида (3) , определенная условиями (5) , удовлетворяет уравнению (2) , с потенциалом 
 (    )
 
равным
 
 (    )      
 
 
 
(    )     
 
 
        (    ) ( )
 
В общем случае, когда значения параметров 
 
 
 
Произвольны , получающиеся потенциалы 
 (    )
 
являются 
комплексными  и  мероморфными  функциями  переменных 
 
 
и 
 
 
.  Опишем  те  ограничения  на  эти  параметры  , 
которые гарантируют вещественность и неособость (при всех вещественных 
    
 
) потенциалов .
 
Потребуем,  чтобы 
      
 
и  чтобы  величины 
 
 
   
 
       
 
 
ненулевые  мнимые  части  и  распадались  на 
комплексно сопряженные пары
 
 
   
   ̅
 
 
Не ограничивая общности , можно считать, что минор матрицы 
 
  
 
составленный из столбцов с номерами 
                       
 
единичный . Система условий (5) перепишется тогда в виде
 
 ( ̅
 
)     ∑  
  
 (       
 
)                 ( )
 
   
 
где 
 
  
 
постоянная матрица размером 
     . Удобно перенормировать функцию  (       )
 
, вводя 
 
 
полюсов 
первого порядка, полагая
 
 (       )  
 (     )
(   
 
)(   
 
) (   
 
)
  ∑ (    ∑
 
 
(   )
   
 
 
   
)  
      
 
 
 (10) 
Условия (5) для перенормированной функцию 
 (       )
 
перепишутся в виде
 
 (       ̅
 
)     ∑  
  
    
   
 
 (       )  (  )
 
   
 
где постоянная матрица
 
 
  
  [ ( ̅
 
)]
  
 
  
 ́( 
 
)                    (  )
 
 ( )   (     
 
)(     
 
)   (     
 
)
 
штрих означает производную по 
 
 . 

158 
«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
 
 
Теорема 2. Пусть параметры 
 
 
           
  
 (       )  задающие условиями (11)функцию (       )вида (10), 
удовлетворяют следующим условиям:
 
а) матрица 
 
  
 
косоэрмитова 
 
  
   ̅
  
 
б) обозначим точки 
 
 
           
 
 
так, что Im
 
 
              
Im
 
 
                  Требуется, чтобы эрмитова 
матрица
 
(
 
 
 
  
)               
 
была положительно определенной, а эрмитова матрица
 
(
 
 
 
  
)                   
 
отрицательно определенной. Тогда функция 
 (       )
 
при 
     
 
гладко зависит от
    
 
при всех 
вещественных 
    
 
и является собственной для оператора
      
 
   
 
 
   (    )с гладким вещественным 
потенциалом. Для этих функций справедливы формулы
 
 (       )  
     
̂(       )
      (    )
 
      
 
 
  (  )
 
 (    )     
 
 
        (    )  (  )
 
где
 
 
  
   
  
 
 
 ( 
̅
 
  
 
)
 ̅
 
   
 
   
 
   
 
(     
 
 )                        (  )
 
 
̂
  
   
  
                    
  
      
  
   
  
̅
 
  (  )
 
 
  
   
 
   
 
     
 
                       
Заметим, что условия а) и б) являются достаточными и поэтому могут существовать гладкие решения, даже 
если не выполняются эти условия.
 
Определение. Интегрируемый потенциал
 (    )задаваемый в рамках нашей конструкции  
 
параметрам
 
 
   
 
           
 
вместе с
     матрицей ( 
  
) мы будем называть –
 солитонным.
 
 
Перейдем к получению условия самосогласования . Пусть 
 ( )рациональная функция таково вида
 
 ( )       ∑  
 
 
 
 
     
 
 
 
   
 (  )
 
константы 
 
 
и 
 
 
. произвольные вещественные, константы 
 
 
    
 
обозначим 
 
 
(    )
 
функции
 
 
 
(    )    
 
 (       
 
)                 (  )
 
по определению, функции
 
 
 
удовлетворяет уравнению
 
  
  
(    )    
   
(    )    (    ) 
 
                    (  )
 
Введем обозначения
 
 
 
     
   
 
  (       ) (  )
 
Эти функции также удовлетворяют уравнению
 
  
   
(    )    
   
(    )    (    ) 
 
                    (  )
 
Теперь напишем условия самосогласования с помощью функции (18) и (20)
 
 
 
  ∑  
 
 
 
 
   
 
  
 
   
∑  
 
| 
 
(    )|
 
  ∑  
̅
 
(    )
 
     
 
  
 
 
(    )  (  )
 
   
 
где
 
 
  
   
  
( ( 
̅̅̅̅̅
 
)    ( 
 
))
 
 
  
   
  ̅
 
 
 
 ( 
̅̅̅̅̅
 
)    ( 
 
)
  (  )
 
Отметим, что эти формулы впервые были получены в работе [6]. Условие самосогласования (22) , означает 
,  что  функции 
 
 
  …, 
  
    
 
       
 
дают  решения  (
     )  
 
компонентного  векторного  НУШ  ,  причем 
функции
 
 
(    )имеют  осциллирующую  асимптотику  при  | |    
 
а  функции 
 
 
(    )экспоненциально  затухают  при 
больших 
 
 . 
Построим теперь двухсолитонное решение двухкомпонентного НУШ следующего вида
 
 
   
 
   
  
   (    )     
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
   
  
   (    )     
 (24) 
с самосогласованными потенциалом
 
 
 
 
 
      (| |
 
   
 
)    | |
 
   
 
 (25) 
и смешанными граничными условиям
 
| |
    
      | |
    
   
 (26) 
Для решения системы (25) функцию
  ( )
 
нужно взять в виде
 
 
 ( )      
  
 
   
 
 (27) 
А условии самосогласования ( 23) положим
 
 
 
 
 
 
 
  
    ̅
 
 
 
          
  
 
 (28) 
Тогда введя обозначение
 
 (    )     (       
 
)
 
(29) 
 (    )    
 
 
 
   
 
 
 
 
приходим к (25) . Эти решения свободны от условий склейки, но матрица 
( 
  
)
 
должна выполнять условия 
теоремы 2. Подставив (27) и (28) в (23) находим
 

«Проблемы и перспективы развития науки в начале третьего тысячелетия в странах СНГ»
 
159 
 
 
 
 
 
 
  
 
  ̅
 
 
 
( ̅
 
  
 
)(  
   
( ̅    )(     )
)
          
    
 
(30) 
Здесь 
         эти  знаки  отвечают  за  тип  симметрии  векторного  НУШ.  Пусть                
 
,  что 
соответствует 
 (   )
 
симметрии.  Положим 
   
 
        
 
   .  в  силу  теоремы  2  имеют  место  следующие 
неравенство
 
| 
 
   
 
|
 
   
 
 
(31) 
| 
 
   
 
|
 
   
 
 
т.е.  полюс 
 
 
 
лежит  внутри  окружности  с  радиусом  |
 |
 
и  центром  в  точке 
 
 
вещественной  оси  ,  а 
полюс
 
 
лежит вне  этой окружности  .  Пусть 
               
 
что соответствует 
 (    )симметрии  . Здесь  тоже  положим 
   
 
        
 
   . Тогда имеются следующие условия
 
| 
 
   
 
|
 
   
 
 
(32) 
| 
 
   
 
|
 
   
 
 
т.е. точки 
 
 
и
 
 
должны лежать вне этой окружности.
 
Теперь рассмотрим 
 (   )
 
симметрию, т.е. имеет место 
               
 
В  этом  случае  достаточно,  чтобы  выполнялись  условия
   
 
        
 
    Рассмотрим  четвертый  случай, 
когда 
               
 
Что же соответствует 
 (    )
 
симметрии. В этой ситуации условия теоремы 2 не выполняются для 
любого расположения 
 
 
и
 
 
. 
Теперь как обычно напишем решения (29) в этом виде
 
    (   
 
 
   (           
  
)    
 
 
 
 
(   
 
 )
   
 
    ( 
 
(     
 
 )    
 
)
 
 
    ( 
 
(     
 
 )    
 
)    
 
    ( 
 
(     
 
 )    
 
)    
 
   (           
  
)
)  
  
 
(   
 
 )
 
(33) 
   
 
 
 
 ( 
 
   
 
 )
    ( 
 
(     
 
 )    
 
)    
 
 
 ( 
 
   
 
 )
    ( 
 
(     
 
 )    
 
)
 
 
    ( 
 
(     
 
 )    
 
)    
 
    ( 
 
(     
 
 )    
 
)    
 
   (           
  
)
 
Проверка асимптотик по 
 
 
решений (33) при 
 
 
      
 
    дает:
 
 (    )
    
 
 
 
   ̅
 
 
 
   
 
 
  
 
(   
 
 )
 
 (    )
    
 
 
 
   ̅
 
 
 
   
 
 
  
 
(   
 
 )
 
 (    )
| |  
    (  )
 

жүктеу/скачать 9,75 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: