Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

§ 3. Числовые последовательности
15. Числовые последовательности
 15.11. 8 членов.   15.12. 13.   15.13. 1,  2,  3,  4,  5.   15.14. 8. 
15.15.
  1)  a
n
 = n
2
;      2)  a
n
 = 3n + 2;      3)  a
n
n
n
=
− 1
;       4)  a
n
 = (–1)
n
 + 1. 
15.16. 1) a
n
 = n
3
 + 1; 2)  a
n
n n
=
+
1
1
(
)
.  15.18. 2) [–6; 1). 15.20. 32 дета-
ли. 15.21. 60 кг. 15.22. 400 страниц.
16. Арифметическая прогрессия
16.13.  1)  Да,  n = 16;  2)  нет.  16.14.  15.  16.17.  23.  16.18.  –6. 
16.20. 18. 16.21. 16. 16.22. –0,6. 16.23. –6; –4,5; –3; –1,5; 0; 1,5; 
3. 16.2 4. 2,2; 0,4; –1,4; –3,2. 16.25. 1) a
1
 = 5, d = 2,5; 2) a
1
 = –6, d = 4 
или a
1
 = 15, d
=
1
2
.  16.26. 1) a
1
 = –2, d = 3; 2) a
1
 = 20, d = –8 или a
1
 = 51,5, 
d = –11,5. 16.27. Если первый член прогрессии равен ее разности 
или разность прогрессии равна нулю. 16.30. 60
°. 16.31. 1) Да, a
1
 = –3, 
d = –6; 2) нет; 3) да, a
1
 = –2,8, d = –2,8; 4) нет. 16.32. 1) Да, a
1
 = 13, 
d = 7; 2) да,  a
1
1
5
= ,   d =
2
5
;  3) нет. 16.38. При x = –1 имеем: a
1
 = –3, 
a
2
 = –2, a
3
 = –1; при x = 8 имеем: a
1
 = 60, a
2
 = 43, a
3
 = 26. 16.39. y = 3; 
a
1
 = 10,  a
2
 = 12,  a
3
 = 14.  16.40.  y = 1;  a
1
 = –1,  a
2
 = 8,  a
3
 = 17,  a
4
 = 26. 
16.41. x = –1; a
1
 = a
2
 = a
3
 = a
4
 = 1. 16.45. 1) (7; –1), (11; –5); 2) (2; 2), 
(2; –2), (–2; 2), (–2; –2).   16.47. –4.   16.48. 1)  120 2;  2) 150 – 
150 30 2
−
.  16.50.  24  детали.   16.51.  40  пистолей  или  60  пистолей. 
16.52. 120 %. 
17. Сумма 
n первых членов арифметической прогрессии
17.9. 1) 204; 2) 570. 17.10. –310. 17.11. 156 ударов. 17.12. 1400. 
17.13. 710. 17.14. 1188. 17.15. 8, 14, 20. 17.16. –17. 17.17. 1
2
3
,  10
5
6
,  
20,  29
1
6
,   38
1
3
.   17.18.  1) 
n n
(
)
;
+ 1
2
  2)  n
2
.  17.19.  n (n + 1).  17.20.  3. 
17.21.  –67,2.  17.22.  63.  17.23.  5880.  17.24.  2112.  17.25.  1632. 
17.26.  61  376.  17.27.  70  336.  17.28.  0,3.  17.29.  10.  17.30.  20. 
17.31.  16.  17.32.  Да,  19,  23,  27, 
31,  35.  17.33.  Нет.  17.34.  10  с. 
17.35. 42 страницы. 17.36. –1976. 17.37. 348. 17.38. a
1
 = 14, d = –3. 
17.39. –10. 17.40. 10. 17.41. 690. 17.42. 250. 17.43. 1) 12; 2) 26. 

 Ответы и указания к упражнениям
262
17.44.
  1)  10;  2)  69.  17.45.  a
1
 = 1,  d = 2.  17.47.  a
1
 = –2,  d = 2.  Указа-
ние.  a
n
 = S
n
 – S
n – 1
.    17.48.  2610.    17.52.  1) 
a
bc
abc
−
;   2) 
4
28
3
18
d
d
−
+
.  
17.53. 24 км/ч. 17.54. 2 ч. 17.55. 200 г, 600 г. 
18. Геометрическая прогрессия
18.17.  6298,56  грн.  18.18.  29  736  единиц.  18.19.  3600  грн. 
18.20. 600 грн. 18.21. 5 %. 18.22. На 15 %. 18.25. 1) 2; 2) 
3
5
 или 
−
3
5
.   18.26.  1) 
7
16
;   2)  0,001.  18.27.  6.  18.28.  9.  18.29.  30  и  150. 
18.30.  1;  2;  4;  8.      18.31.  Да,  b
1
5
4
= ,  q = 4.    18.32.  x
1
 = 49,  q = 7. 
18.33. 1) 15 или –15;  2) 6 или –6;  3)  2 5  или 
−2 5.    18.34. 2. 
18.35.  2   или 
− 2.   18.36. 216.  18.37. 243.  18.39.   P
n
n
a
=
−
3
2
1
.  
18.41. 3) Последовательность является геометрической прогрессией, 
если q ≠ –1. 18.43. 80, 40, 20, 10, 5 или 80, –40, 20, –10, 5. 18.44. 6, 
18, 54, 162, 486 или 6, –18, 54, –162, 486. 18.45. 1) b
1
2 3
=
,  q
= 3  
или b
1
2 3
= −
,  q
= − 3; 2) b
1
 = 162, q
=
1
3
;  3) b
1
 = 7, q = –2 или b
1
14
9
=
,  
q = –3. 18.46. 1)  b
1
1
2
= ,  q = 4; 2) b
1
 = –1, q = 3. 18.47. При x = 1 имеем 
3, 6, 12; при x = –14 имеем –27, –9, –3. 18.48. При x = 2 имеем 8, 
4, 2; при x = –7 имеем –1, –5, –25. 18.50. 96, 48, 24, 12, 6, 3. 18.51. 3, 
7, 11. 18.52. 8, 10, 12 или 17, 10, 3. 18.53. 5, 15, 45 или 45, 15, 5. 
18.54. 2, 6, 18 или 18, 6, 2. 18.59. За 2 дня. 18.60. 6 кг, 18 кг или 
9 кг, 21 кг. 18.61. 3 кг. 18.62. 6 %. 18.63. 10 %.
19. Сумма 
n первых членов геометрической прогрессии
19.5. 1) 1456; 2) 155 5
5
+
(
)
.  19.6. 762. 19.7. 1210. 19.8. –68,2. 
19.9. 27. 19.10. –7 или 6. 19.11. 5. 19.12. (2
72
 – 1) бактерий. 19.13. 72. 
19.14. 
9
8
. 19.15. 4368. 19.16. –12 285. 19.19. 5. 19.20. 1) 
−




18
7
13
;
;  
2) [–1; 4). 19.23. 50 деталей, 40 деталей. 19.24. 1) b – 5a; 2) x + 2y. 
19.25. На 10 % в первый раз и на 20 % во второй. 19.26. 20 %.

 Ответы и указания к упражнениям
263
20. Упражнения для повторения курса алгебры 9 класса
20.17.
  6.  20.24.  1)  ( ;
);
1
+
×
  2)  [2;  3);  3)  [–2;  16];  4)  (–4;  7]. 
20.25.  1)  –9;  2)  –2.  20.27.  2.  20.29.  1)  a < 4;  2)  a < 2;  3)  a m
−3;  
4)  a l1.  20.30. 1) a l 6; 2) a l 5; 3) a > –8; 4)  a m 0.  20.32. a < –1,5 
и  a
≠ −2.  20.33.  a = 0.  20.41.  1)  b = 6,  c = 9;  2)  b = 0,  c = 4;  3)  b = –3, 
c = –10.  20.44.  3) 
−2 2   или  2 2.   20.46.    a =
1
3
,   b = –4,  c = 10. 
20.47. a = 2, b = –1, c = –3. 20.48. 1) 1; 2) –8. 20.50. 1. 20.51. 10 при 
a = 1 и b = 3. 20.54. При c > 0,1. 20.58. 1) a ≠ 4; 2)  a
<
1
2
,  или 
1
2
1
< <
a
,  
или  a > 13;  3)  a < –1,  или 
− < <
1
5
0
a
,   или  a > 0.  20.59.  1)    a
>
1
20
;  
2) a < –5; 3)  a m
−1; 4)   a >
5
3
.  20.60. 1) (1; 4), (–2; 7); 2) (3; –4), 
(4; –3); 3) (4; 0), (0; –4); 4) (0; –5), (3; 4), (–3; 4). 20.61. 1) (–2; 1), 
(–0,4; 1,4); 2) (–2; 4), 
14
9
20
3
;
;
−



  3) (3; 5), (10; 1,5); 4) (4; –3), (2; –6); 
5)  (–5;  2);  6)  (3;  2),  (–2;  –3);  7)  (3;  –2),  (0;  1);  8)  (1;  –2),  (3;  0);  
9) (8; 4), (4; 8); 10) (1; 5), (–5; –1). 20.62. 1) (2; 1), (–2; –1), (1; 2), 
(–1; –2); 2) (5; 1), (1; 5), (2; 3), (3; 2); 3) (2; 1), (1; 2); 4) (6; 4), 
4
5
6
5
;
;
−



  5) (4; 1),  −




1
4
1
4
5
;
,  (–4; –1), 
1
4
1
4
5
;
;
−



  6) (3; –2), (–3; 2); 
7) (10; 5), (–5; –10); 8) (5; 3), (5; –3), (–5; 3), (–5; –3); 9) (3; 4), 
(4;  3),  (–3;  –4),  (–4;  –3);  10)  (1;  2), 
− −




5
3
2
3
;
,   (–1;  –2), 
5
3
2
3
;
.



  
20.63.  1)  (3;  4),  (4,5;  8,5);  2)  (3;  1),  (–1,5;  –2);  3)  (3;  2),  (2;  3), 
(–3; –2),   (–2; –3).    20.64. 1)  a
=
1
2
;    2)  a
= 2 3   или   a = −2 3.  
20.65.  8  см, 15  см.  20.66.  9  см, 40  см.  20.67.  80 км/ч,  60 км/ч. 
20.68.  6  км/ч,  4  км/ч.  20.69.  12  км/ч,  4  км/ч.  20.70.  55  км/ч, 
75 км/ч.   20.71. 2 ч,  6 ч.   20.72. 36 ч,  12 ч.   20.73. 0,5 км/ч. 
20.74. 15 км/ч,  12 км/ч.    20.75. 72 км/ч,  48 км/ч.    20.78. 
11
12
.  
20.80. С тридцать второго по шестьдесят четвертый. 20.83. 2,4 см, 
3,2 см. 20.84. 6) Да, 2d; 7) да, 4d. 20.85. 0, 4, 8. 20.88. 1) 
n a n
a
(
)
;
−
 
2) 
n na b
a b
(
)
.
−
+
  20.89.  11.  20.90.  1)  a
1
 = –7,  d = 3;  2)  a
1
 = 5,  d = –2  или 

 Ответы и указания к упражнениям
264
a
1
 = 3,  d = –2;    3)  a
1
 = d = 3  или  a
1
 = –33,  d = 15;    4)  a
1
 = –0,7,  d = 0,3; 
5)  a
1
 = 0,  d = 1,5.  20.91.  10.  20.92.  255.  20.93. 
2
3
2
a
.   20.94.  1160. 
20.95.  2610.  Указание.  Искомая  сумма  S = S
1
 – S
2
 – S
3
 + S
4
,  где 
S
1
 — сумма всех двузначных чисел, S
2
 — сумма двузначных чисел, 
кратных 3, S
3
 — сумма двузначных чисел, кратных 5, S
4
 — сумма 
двузначных чисел, кратных 15. 20.96. Да, q
=
+
5 1
2
.  20.97. 20 %. 
20.99.  2.  20.100.  2
2
3
,   4,  6,  9.  20.101.  3)  Да,  q
2
;  4)  да,  q;  5)  нет; 
6) да, 
1
q
.
21. Основные правила комбинаторики
21.1.  9  маршрутов.  21.2.  6  вариантов.  21.3.  15  вариантов. 
21.4.  70.  21.5.  1)  8;  2)  4.  21.6.  4 3
æ
.   21.7.  3 6 5
æ æ
.   21.8.  1)  4 2
æ
;  
2)  4 4
æ
.  21.9. 1) 6; 2) 2. 21.10. 100. 21.11. 20. 21.12. 25. 21.13. 8. 
21.14.  6
3
.  21.15.  16.  21.16.  32 24
æ
.   21.17.  9 10 10 10 5
æ æ æ æ
.   21.18. 
9 10 10 10
æ æ æ
.  23.19. 11 9 8 7
æ
æ
+
.  21.20.  5
4 5
5
4
+
æ
.
23. Классическое определение вероятности
23.20. 1) 
1
25
;  2) 
1
20
.  23.23. 10 шаров. 23.24. 1) 
1
2
;  2) 
1
10
;  3) 
1
9
.  
23.25. 
2
3
.  23.26. 
2
3
.  23.27. 8 карандашей. 23.28. 19 карандашей. 
23.30. 1) 
1
6
;  2) 
5
12
;  3) 
1
9
.  Указание. Благоприятные события от-
мечены на рисунке зеленым цветом.
2-
й раз
1-
й раз
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
2-
й раз
1-
й раз
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
2-
й раз
1-
й раз
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
1)
2)
3)
К задаче 23.30

 Ответы и указания к упражнениям
265
23.31.
 1) 
2
9
;  2) 
5
36
;  3) 
5
12
.  Указание. Бросить кубик дважды — то 
же самое, что независимо друг от друга бросить два кубика. Далее 
воспользуйтесь рисунком 23.2. 23.32. У Петра. 23.33. 1) 
1
4
;  2) 
1
2
.  
23.34. 
1
5
.  23.35. 1) 
1
8
;  2) 
3
8
;  3) 
3
8
;  4) 
7
8
. Указание. Бросить монету 
трижды — то же самое, что независимо друг от друга бросить три 
монеты. Если пронумеровать монеты, то имеем 8 равновозможных 
результатов, как показано на рисунке.
Первая 
монета
Вторая 
монета
Третья 
монета
Г
Г
Г
Г
Г
Ч
Г
Ч
Г
Г
Ч
Ч
Ч
Г
Г
Ч
Г
Ч
Ч
Ч
Г
Ч
Ч
Ч
К задаче 23.35 
23.36. 
2
1
n
−
.  Указание. Если один из знакомых сидит, то второй 
может с одинаковой вероятностью сесть на одно из остальных n – 1 
мест. 23.37. 
1
2
.  Указание. Каждому варианту расстановки, в кото-
ром A стоит перед B, соответствует вариант, где их поменяли ме-
стами и A стоит после B. Поэтому количество благоприятных ва-
риантов составляет половину всех вариантов.

266
 
Ответы и указания к упражнениям рассказа «суммирование» 
 рубрики «когда сделаны уроки»
1. 
n n
n
(
)
.
+
− +
1
2
1
4
1
4 5
æ
 2.  n n
n
(
)
.
+
+ −
1
2
1
2
1
2 3
æ
 3. 1) 
10 10
1
9
(
)
;
n
n
−
−
 
2) 
50 10
1
81
5
9
(
)
.
n
n
−
−
 5. 1) 
n
n
−
−
1
4
3
;  2) 
n n
n
(
)
;
+
+
2
1
 3) 1
1
1
−
+
(
)!
.
n
 Указание. 
n
n
n
n
(
)!
!
(
)!
;
+
+
=
−
1
1
1
1
 4) 1
1
1
2
−
+
(
)
.
n
 Указание. 
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
n
n n
n
n
+
+
+
=
−
(
)
(
)
.
6. 1) 
n
n
2 5
2
(
)
;
+
 2) 
n n
n
n
(
)
(
)
.
2
2
3
2
1
+
+
+
 Указание. 
n
n
n n
n
n
n
3
2
1
1
1
1
1
+
+
+
+
= −
+
(
)
.  
7. 
1
2
1
2
1
1
1
2
1
+ −
−




+
+
n
n
.       Указание.     
1
1
1
1
2
1
1
2
2
(
)
.
n
n
n
+
−
+
=
−



  
8. 
n n
n
n
(
)
(
) (
)
.
+
+
+
3
4
1
2
    Указание.     
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
n n
n
n
n
n
(
) (
)
+
+
+
+
=
−



 =
æ
 
=
−




+
+
+
1
2
1
1
1
1
2
n n
n
n
(
)
(
) (
)
.   9.  S
n
n
n
na
a
a
a
=
−
−
−
−
1
1
1
2
(
)
.   Указание.  Рас-
смотрите равенство  aS
a
a
a
a
n a
n
n
= +
+
+
+
+
2
3
4
2
3
4
...
.
æ
Ответы к заданиям «проверьте себя» 
в тестовой форме 
Номер  
задания
Номер задачи
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
1
Б
Г
Б
В
Б
А
В
В
В
А
Б
Г
Г
А
Г
В
Б
Б
2
Г
В
Б
В
А
Г
Г
В
В
В
В
Г
Б
Г
Б
В
В
А
3
В
Б
А
В
Г
А А
В
В
А
Г
Б
Г
В
Г
А
Г
Б
4
Б
В
Б
Г
Г
В
А
Б
Б
В
Б
А А
Г
В
Б
А
В

267
преДметный Указатель
А
ргумент функции 59
Г
раницы значения величи-
ны 19
Графический метод решения 
неравенств 118
Д
оказательство неравенств  7
З
наки неравенства  6
Знаменатель геометрической 
прогрессии 173
Значение функции 60
М
атематическая модель 138
Математическое моделирова-
ние 138
Метод замены переменных  130
— подстановки 128
— сложения 129
Множество решений неравен-
ства 28
— — системы неравенств 42
Н
ачальные условия 154
Неравенство линейное с одной 
переменной 35
— нестрогое 6
— строгое 6
Неравенства квадратные 118
— одного знака 18
— противоположных знаков 18
— равносильные 29
— числовые 5
Нуль функции 69
О
бласть значений функции 60
— определения выражения 42
— — функции 59
Объединение промежутков 118
Оценивание значения выраже-
ния 19
П
арабола 77
Пересечение промежутков 43
Последовательность 151
— бесконечная 152
— конечная 152
— числовая 151
Прикладная задача 138
Прогрессия арифметиче-
ская 160
— геометрическая 173
Промежуток возрастания функ-
ции 70
— знакопостоянства функ-
ции 69
— убывания функции 70
Процентные пункты 184
Пустое множество 28
Р
азность арифметической про-
грессии 160
Решение неравенства с одной 
переменной 28
— системы неравенств с одной 
переменной 42
С
войства числовых нера-
венств 12

 ПредМетНыЙ УКаЗатель
268
Система неравенств 42
Способ задания последователь-
ности описательный 152
— — — рекуррентный 154
— — функции аналитиче-
ский 60
Сравнение чисел 5
Среднее геометрическое 7
Ф
ормула рекуррентная 154
— сложных процентов 178
— суммы n первых членов 
арифметической прогрес-
сии 167
— — — — — геометрической 
прогрессии 186
— n-го члена арифметической 
прогрессии 161
— — — геометрической про-
грессии 175
— — — последовательно-
сти 153
Функция 59
— возрастающая 70
— — на промежутке 70
— квадратичная 98
— убывающая 70
— — на промежутке 70
Ч
исловая прямая 34
Числовой промежуток 32
Член последовательности 151

269
содержание
От авторов ........................................................................ 3
Условные обозначения .......................................................... 4
§ 1. неравенства
 ................................................................ 5
1. Числовые неравенства .............................................. 5
2. Основные свойства числовых неравенств ...................12
3. Сложение и умножение числовых неравенств.  
Оценивание значения выражения ........................... 17
• О некоторых способах доказательства неравенств
 .......24
4. Неравенства с одной переменной ..............................28
5. Решение линейных неравенств с одной переменной.  
Числовые промежутки .......................................... 31
6. Системы линейных неравенств с одной переменной ....42
Задание № 1 «Проверьте себя» в тестовой форме ................54
Главное в параграфе 1 ....................................................... 57
§ 2. квадратичная функция ................................................ 59
7. Повторение и расширение сведений о функции ......... 59
• Из истории развития понятия функции
 .................... 65
8. Свойства функции ..................................................68
9. Как построить график функции y = k f(x), 
если известен график функции y = f (x) .................... 77
10. Как построить графики функций  
y = f (x) + b и y = f (x + a), если известен 
график функции y = f (x) ..........................................85

 содержание
270
 содержание
11. Квадратичная функция, ее график и свойства......... 98
• О некоторых преобразованиях графиков функций
 ....109
• Как построить график функции y = f (–x), 
если известен график функции y = f (x)
 ...................109
• Как построить график функции y = f (|x|), 
если известен график функции y = f (x)
 ...................110
• Как построить график функции y = | f (x) |, 
 если известен график функции y = f (x)
 ..................111
Задание № 2 «Проверьте себя» в тестовой форме ..............115
12. Решение квадратных неравенств ..........................118
13. Системы уравнений с двумя переменными .............127
• Первая Всеукраинская олимпиада 
юных математиков
 ...............................................136
14. Система двух уравнений с двумя переменными  
как математическая модель прикладной задачи ......138
Задание № 3 «Проверьте себя» в тестовой форме ..............146
Главное в параграфе 2 ......................................................149
§ 3. Числовые последовательности .....................................151
15. Числовые последовательности ..............................151
• О кроликах, подсолнухах, сосновых шишках 
и «золотом сечении»
 ............................................157
16. Арифметическая прогрессия ................................159
17. Сумма n первых членов арифметической 
прогрессии ..........................................................166
18. Геометрическая прогрессия ..................................173
• Как избежать неоднозначности в задачах 
на процентные расчеты
 .........................................184

 содержание
271
19. Сумма n первых членов 
геометрической прогрессии ...................................185
• Суммирование
 .......................................................190
Задание № 4 «Проверьте себя» в тестовой форме ..............194
Главное в параграфе 3 ......................................................196
20. Упражнения для повторения курса  
алгебры 9 класса ..................................................198
Для тех, кто хочет знать больше
21. Основные правила комбинаторики ........................212
22. Частота и вероятность случайного события ............216
23. Классическое определение вероятности .................224
• Сначала была игра
 ................................................233
24. Начальные сведения о статистике .........................236
Дружим с компьютером ....................................................249
Ответы и указания к упражнениям ..................................254
Ответы и указания к упражнениям рассказа  
«Суммирование» рубрики «Когда сделаны уроки» ................266
Ответы к заданиям «Проверьте себя» в тестовой форме ......266
Предметный указатель ....................................................267

Видано за рахунок державних коштів.  
Продаж заборонено
 Навчальне видання
МЕРЗЛЯК Аркадій Григорович
ПОЛОНСьКИй Віталій Борисович
ЯКІР Михайло Семенович
 
АЛГЕБРА  
підручник для 9 класу  
загальноосвітніх навчальних закладів 
з навчанням російською мовою
(Російською мовою)
Рекомендовано 
Міністерством освіти і науки України
Головний редактор Г. Ф. Висоцька
Відповідальний за випуск Д. В. Москаленко
Літературний редактор Т. Є. Цента
Художнє оформлення та дизайн Д. В. Висоцький
Технічний редактор О. В. Гулькевич
Коректор Т. Є. Цента
Комп’ютерне верстання C. І. Северин
Формат 60 90/16. Папір офсетний. Гарнітура шкільна.
Друк офсетний. Ум. друк. арк. 17,00. Обл.-вид. арк. 13,95. 
Тираж 35 034 прим. Замовлення №
ТОВ ТО «Гімназія», 
вул. Восьмого Березня, 31, м. Харків 61052
Тел.: (057) 719-17-26, (057) 719-46-80, факс: (057) 758-83-93
E-mail: contаct@gymnasia.com.ua
www.gymnasia.com.ua
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ДК № 644 від 25.10.2001
Надруковано з діапозитивів, виготовлених ТОВ ТО «Гімназія», 
у друкарні ПП «Модем»,
вул. Восьмого Березня, 31, м. Харків 61052
Тел. (057) 758-15-80
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи ХК № 91 від 25.12.2003