Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

 Ответы и указания к упражнениям
255
7 < x < 8  и  x > 8.  5.44.  1)  9;  2)  –3;  3)  13;  2,2;  4)  корней  нет. 
5.45. 1) 
2
3
;  2) –2; 12. 5.48. 3) При a > –1 и a ≠ 1. 5.49. 2) При m < 7 
и m ≠ 0. 5.50. 1) При a > –1 и a ≠ 0; 2) при  a
<
9
16
 и a ≠ –1; 3) при 
a
<
19
5
  и  a  ≠  3.  5.51.  При  a
< −
1
12
.   5.52.  1)  3;  2)  –1.  5.53.  1)  –7; 
2) –4. 5.54. 1) Если a > 0, то x > 0; если a < 0, то x < 0; если a = 0, то 
решений нет; 2) если a > 0, то x
a
<
1
;  если a < 0, то x
a
>
1
;  если a = 0, 
то x — любое число; 3) если a > 0, то x l1;  если a < 0, то x m1;  если 
a = 0,  то  x — любое  число;  4)  если  a < 2,  то  x < –2;  если  a > 2,  то 
x > –2;  если  a = 2,  то  решений  нет;  5)  если  a > 2,  то  x > a + 2;  если 
a < 2,  то  x < a + 2;  если  a = 2,  то  решений  нет;  6)  если  a > –3,  то 
x a
m
− 3; если a < –3, то  x a
l
− 3; если a = –3, то x — любое число. 
5.55. 1) Если a ≠ 0, то x m 0;  если a = 0, то x — любое число; 2) если 
a > –1, то  x
a
a
<
−
+
2
1
;  если a < –1, то  x
a
a
>
−
+
2
1
;  если a = –1, то x — лю-
бое число; 3) если a > –4, то  x
a
>
+
1
4
;  если a < –4, то  x
a
<
+
1
4
;  если 
a = –4, то решений нет. 5.59. 15 ч, 10 ч.
6. Системы линейных неравенств с одной переменной
6.23. 1) 
1
7
13
10
;
;



  2)  (
;
, );
−
−
×
4 2  3) [–2; 3]; 4)  [ , ;
);
−
+
0 8
×
 5) 
5
7
;  
6)  (
;
];
−
−
×
4   7)  ∅;  8)  ∅.  6.24.  1) 
− −




1
2
3
8
;
;   2)  [
;
);
−
+
10
×
  3)  ∅; 
4)  (
;
).
−
+
× ×
 6.25. 1) –3; –2; –1; 0; 2) 7; 8; 9; 10; 11. 6.26. 1) 4 ре-
шения; 2) 6 решений. 6.27. 1) [ , ;
);
2 5
+
×
 2) 
−




5
3
3
;
; 3) ∅; 4) (
; ).
−
×
4  
6.28.  1)  (0;  8];      2)  ( ;
).
5
+
×
      6.29.  1)  (–0,5;  6,5);      2)  [14;  17]. 
6.30. 1) [–1,5; 2,5); 2)  0
1
3
;
.



  6.31. 2) (1,5; 7); 3) (
;
).
−
−
×
2  6.32. 1) ∅; 
2) (1; 3). 6.33. 3 см, 5 см или 4 см, 4 см. 6.34. 1) [–4; 3]; 2) x < –1 
или x > 3,5; 3) x < 1 или x > 8; 4) (–2; 9); 5) (–2; 0,5]; 6) x m
−0 8
,  или 
x > 6.  6.35.  1)  (–3;  2);  2)  x < 4  или  x > 8;  3)  x < –9  или  x l1 2
, ;  
4) 
−




1
4
10
;
.   6.36.  1)  [–1,6;  5,6];  2)  (–4;  1);  3)  x < –12  или  x > 6; 

 Ответы и указания к упражнениям
256
4)  x m2  или  x l
8
3
;  5)  [ ;
);
1
+
×
 6) 
−
+




11
7
;
.
×
 6.37. 1)  x m3 6
,  или 
x l 8 4
, ;   2)  [–2;  –1,2];  3) 
−




×
;
;
1
2
  4)  (
; ].
−
×
2   6.38.  1)  При  a > 3; 
2) при  a m3.  6.39. 1) При  a m 4;  2) при a > 1. 6.40. 1) При  a m
−1; 
2) при a = 1. 6.41. Если a < 2, то x a
m ; если a l 2,  то x < 2. 6.42. Если 
a < –3,  то  a < x < –3;  если  a l
−3,   то  решений  нет.  6.43.  При 
10
11
< a m .   6.44.  При  1
2
< b m .   6.45.  При  8
9
m a
< .   6.46.  При 
−
< −
6
5
m b
.  6.47. При a < 3. 6.48. При 
−
1
3
3
m m
a
.  6.49. При a < –7 
или  a > 8.  6.50.  1)  –1;  2)  –2;  4.  6.51.  1)  2 10
6
−
;   2)  0 5 2
,
;
b  
3) 
−4 6. 
§ 2. квадратичная функция
7. Повторение и расширение сведений о функции
7.17. 2) Все числа, кроме 7 и –7; 4) все числа, не меньшие 4, 
кроме числа 6. 7.27. 60 км/ч. 
8. Свойства функции
8.17.  a
<
1
8
.   8.18.  a > 9.  8.19.  2.  8.20.  m < –2.  8.26.  a = 1,  a = 2 
и a = 1,5. 8.27. Если a < –2, то наибольшее значение f
наиб
 = f (a) = a
2
, 
наименьшее значение f
наим
 = f (0) = 0; если a = –2, то f
наиб
 = f (–2) = f (2) = 4, 
f
наим
 = f (0) = 0;  если 
− <
2
0
a m ,   то  f
наиб
 = f (2) = 4,  f
наим
 = f (0) = 0;  если 
0 < a < 2, то f
наиб
 = f (2) = 4, f
наим
 = f (a) = a
2
. 8.30. 10 ч, 40 ч. 8.31. 20 %.
9. Как построить график функции 
y = k f (x), если известен 
график функции 
y = f (x).
9.21. 3 т.
10. Как построить графики функций 
y = f (x) + b и y = f (x + a), 
если известен график функции 
y = f (x)
10.17. а) y = x
2
 + 3; б) y = –2x
2
 – 1. 10.18. а) y = 2x
2
 – 6; б) y = 4 – x
2
. 
10.19.  a)  y = (x – 2)
2
;  б)  y = –3 (x + 3)
2
.  10.20.  a)  y
x
=
+
1
2
4
2
(
) ;   б)  y =
= –2 (x – 1)
2
. 10.21. a) y = (x + 2)
2
 – 4; б) y = –(x – 2)
2
 + 5; в) y
x
=
−
+
1
3
3
1
2
(
)
.  

 Ответы и указания к упражнениям
257
10.22.  a)  y = (x – 4)
2
 – 5;  б)  y = –2 (x + 6)
2
 + 7.  10.25.  Оба  утверждения 
верны. 10.28. 3) Указание.  y
x
x
x
=
= − −
−
+ −
−
−
2
2 2
1
2
1
2
.  10.32. 
3
4
.
11. Квадратичная функция, ее график и свойства
11.12.  –1;  1;  3.      11.13.  4.      11.14.  1)  2  корня;  2)  1  корень. 
11.15.  3  корня.      11.16.  1)  (–1;  –1),  (9;  9);    2)  (2;  23),  (8;  17). 
11.17. (3; 15), (–1; 11). 11.23. 1) –25; 2) –13; 3) –22. 11.24. 1) 26; 
2) 17; 3) –10. 11.25. p = 1, q = 4. 11.26.  a
= −
7
6
,   b
=
7
6
.  11.27. a = 3, 
b = 5. 11.30. b = –16. 11.31. b = 18. 11.32. a = 1 или a = 4. 11.33.   a l
9
2
.  
11.34. a < –16. 11.35. c = –8. 11.36. c = 14. 11.37. а) a > 0, b < 0, c < 0; 
б) a < 0, b < 0, c > 0.   11.39. p = –4, q = 9.   11.40. a = 1, b = –8, c = 6. 
11.41. а) –4; б) 4. 11.42. –1. 11.43. 1) 25. Указание. Пусть одно из 
чисел равно x, тогда другое число равно 10 – x. Рассмотрите функ-
цию  f (x) = x (10 – x) = 10x – x
2
;  2)  50.  11.44.  Через  1 ч  30 мин. 
11.45. 1600 м
2
. 11.50. 1) a > –4; 2) a = –4; 3) a < –4. 11.52.  a
>
13
8
. 
11.53. a l –0,5. 11.57. 1)  8a a;  2) 56; 3)  6 2 5
− .  11.58. 4 км/ч. 
11.59. 20 мин, 30 мин.
12. Решение квадратных неравенств
12.10. 1) (–2; 1); 2)  (
;
] [ ;
);
−
−
+
×
×
Ÿ
5
2
 3) 
− −




3
1
3
;
;  4)  (
;
)
−
−
×
Ÿ
21
  
Ÿ
×
( ;
);
1
+
 5) (
;
) ( ;
);
−
−
+
×
×
Ÿ
3
4
 6) 
−




13
3
1
; .  12.11. 1) (
; ] [ ;
);
−
+
×
×
Ÿ
1
4
 
2) (–5; –3); 3) 
1
6
1
2
;
;



  4) (
;
) ( ;
).
−
−
+
×
×
Ÿ
10
1
 12.12. 1) При 
− < <
1
3
7
3
x
;  
2)  при  x m
−0 2
,   или  x l 2 4
, .   12.13.  1)  При 
− < <
5
2
9
2
x
;   2)  при 
−
2
3
10
3
m m
x
.  12.14. При –5 < x < 4. 12.15. При 1 < x < 2,5. 12.16. 1) –5, 
–4, –3, –2, –1, 0; 2) –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3; 3) 0; 4) –1, 0, 1, 2, 3,  
4,  5.  12.17.  1)  11;  2)  4.    12.18.  1)  –6;  2)  –2.    12.19.  1)  1;  2)  –3. 
12.24. 1) –4 < a < 4; 2) –8 < a < 12; 3) 
3
8
3
2
< <
a
.  12.25. 1)  b
< −
1
16
 или 
b > 1;  2)  b < 4  или  b > 10.  12.26.  1)  (0;  3];  2)  [ ;
, ] [ ;
);
− −
+
4 0 5
6
Ÿ
×
 

 Ответы и указания к упражнениям
258
3)  [ ; ) ( ;
];
−1 0
6 10
Ÿ
 4) (–5; –3]. 12.27. 1) 
−








×
Ÿ
;
;
;
1
2
5
3
3  2)  ( ; ]
−2 0 Ÿ 
Ÿ[ ; ).
5 9  12.28. 1) –4, –3, –2, –1, 0, 1; 2) –3, –2, 1, 2. 12.29. 1) ( ;
);
6
+
×
 
2)  ( ; ) ( ; );
−3 5
5 6
Ÿ
  3)  (
;
) ( ;
] [ ; ) ( ;
);
−
−
− −
+
×
×
Ÿ
Ÿ
Ÿ
9
9 2
7 9
9
  4) 
−




1
2
3
;
. 
12.30. 1) [–2; 2); 2)  ( ; ) ( ; ).
−5 6
6 7
Ÿ
 12.31. 1) (–11; 11); 2) 
−
−




×
Ÿ
;
1
8
 
Ÿ
×
1
8
;
.
+



      12.32. 1)  (
;
] [ , ; , ] [ ;
);
−
−
−
+
×
×
Ÿ
Ÿ
1
0 4 0 4
1
    2) [–2; 2]. 
12.33.  1)  ( ; ) ( ; );
−5 0
0 2
Ÿ
  2)  [0;  2];  3)  ( ; ) ( ; );
−1 2
2 9
Ÿ
  4)  (
;
)
−
−
×
Ÿ
5
 
Ÿ
Ÿ
×
( ;
) ( ;
);
− −
+
5 3
5
 5)  (
;
] [ ; ) ( ;
);
−
−
+
×
×
Ÿ
Ÿ
8
1 4
4
 6)  [
;
) ( ; ].
−
−
−
11 3
3 1
Ÿ
 
12.34. 1)  (
; ) ( ; ) ( ;
);
−
+
×
×
Ÿ
Ÿ
0
0 2
3
 2)  ( ;
);
4
+
×
 3)  (
;
) ( ;
)
−
−
− −
×
Ÿ
Ÿ
3
3 2
 
Ÿ
×
( ;
);
3
+
 4) 
−




1
3
1
1 3
;
( ; ].
Ÿ
 12.35. 1)  ( ;
) ( ;
);
− −
+
4 3
5
Ÿ
×
 2)  [ ;
]
− −
4 3 Ÿ 
Ÿ
×
[ ;
);
5
+
 3) (
;
);
−
−
×
4  4) (
;
] { , }.
−
−
−
×
Ÿ
4
3 5  12.36. 1) (3; 7); 2) [ ; ]
3 7 Ÿ 
Ÿ{ };
−2  3) (–2; 3); 4) [ ; ] { }.
−2 3
7
Ÿ
 12.37. 1) При a > 4; 2) при 
−1
3
5
m m
a
;  
3) при  0
1
2
< <
a
;  4) при  a
>
5
3
.  12.38. 1) При  a l 9;  2) при 3
7
m m
a
;  
3) при a l1.  12.39. 1) Если a < 1, то a < x < 1 или x > 4; если 1
4
m m
a
,  
то x > 4; если a > 4, то x > a; 2) если  a m
−
1
4
,  то решений нет; если 
− <
1
4
1
a m , то 
−
<
1
4
m x a; если  a > 1,  то 
−
1
4
1
m m
x
. 12.40.  1)  Если 
a m
−8,  то –8 < x < 9; если –8 < a < 9, то a < x < 9; если a l 9,  то реше-
ний нет; 2) если a < 1, то x < a; если 1
8
m m
a
,  то x < 1; если a > 8, то 
x < 1 или 8 < x < a. 12.43. 3 дня. 12.44. 40 л. 
13. Системы уравнений с двумя переменными
13.3. 1) (5; 8), (–3; 0); 2) (4; 1), (1; 4); 3) (–1; 1), (–3; –1); 4) (6; 1), 
(–6; –2); 5) (5; 3), (–1,5; –10); 6) (2; –2). 13.4. 1) (–4; –7), (7; 4); 
2) (2; 4),  (–5; –3);  3) (–1; 4),  (–0,5; 2,5);  4)  (4; 2),  (20; –14).  
13.5.  1)  2  решения;  2)  3  решения;  3)  1  решение;  4)  2  решения; 
5) решений нет; 6) 3 решения. 13.6. 1) 2 решения; 2) решений нет; 
3) 2 решения; 4) 4 решения. 13.7. 1) (4; 3); 2) (0; 0), (–2,4; 4,8); 
3) (4; –3), (17; 10); 4) (9; –4), (4; 1); 5) (2; 2,5), (–4,4; –2,3); 6) (4; –1), 

 Ответы и указания к упражнениям
259
(0; 3). 13.8. 1) (6; 9), (–9; –6); 2) (1; 0), (–0,5; 0,75); 3) (2; 4), (3; 3); 
4) (1; 1), 
17
3
38
3
;
.



     13.9. 1) 
1
3
0
;



 ,  (–2; –7);   2) (2; 2),  (–1; –4); 
3) (1; 0), (5; –4); 4) (2; 3), 
2
3
43
9
;
.



  13.10. (–4; –1). 13.11. 2) (0,5; 5,5); 
3) (–4; 52), (3; 3). 13.12. 1) (3; 4), (4; 6); 2) (–2; 1), 
−




6
9
5
;
. 13.13. 1) (2; 1), 
1
3
2
3
;
;
−



  2) (1; 5), 
10
3
2
;
.
−



  13.14. 1) (–5; 1), (1; –5), (4; 1), (1; 4); 
2)  (5;  –2), 
6
7
15
7
;
;



   3)  (3;  1),  (–3;  –1),  2 2 2
;
,
(
)
 
−
−
(
)
2 2
2
;
;  
4) (2; 3); 5) (–3; 3), (3; –3); 6) (2; 1), 
− −




1
2
4
;
;  7) (1; 0), 
−
−




19
21
8
21
;
.  
13.15. 1) (6; 3), 
− −




3
4
3
2
;
;  2) (2; –1), 
21
53
15
53
;
;



  3)  −




1
4
1
2
;
;  4) (9; 3), 
(–9; –3); 5) (–2; 1), 
29
28
3
14
;
;
−



  6) (–3; 4), (–5; 2), (1; –4), (3; –2). 
13.16. 1) (1; 0), (0; 1); 2) (3; –1), (1; –3); 3) (4; 3), (–4; –3); 4) (–3; 2), 
(3; –2). 13.17. 1) (4; 2), (–2; –4); 2) (1; 3), (–1; –3). 13.18. 1) (1; 2), 
7
1
2
6
;
;
−




1
  2) (–7; –5),  (4; 6);  3) (–4; –3),  (–4; 2),  (3; –3),  (3; 2); 
4) (3; 1), 
2
3
4
3
;
.
−



  13.19. 1) (4; 1), (1; 4); 2) (1; –2), 
2
3
8
3
;
;
−



  3) (6; 5), 
(–4; –5); 4) (5; 4), (–5; –4), (5; –4), (–5; 4). 13.20. 1)  7
1
6
;
,



   1
7
6
;
;



  
2) (–2; 4), (2; –4), 
94
7
8
7
;
,
−



   −




94
7
8
7
;
;  3) (4; 3), (3; 4), (–4; –3), (–3; –4); 
4) (1; –1),  
−




1
3
3
;
,   (–1; 1), 
1
3
3
;
.
−



    13.21. 1)  (2; 1),  (–5; –0,4); 
2) (4; 0); 3) (1; 3), (3; 1), (–3; –1), (–1; –3); 4) (–2; 2), 
−




10
2
5
;
,  (2; –2), 
10
2
5
;
.
−



     13.22. 1)  a = 3 2   или   a = −3 2;    2)  −
< <
3 2
3 2
a
;  
3) a
< −3 2  или a > 3 2. 13.23. 1) k = 2 или k = –2; 2) k < –2 или k > 2; 
3) –2 < k < 2. 13.24. 1) Если a > 0, то 2 решения; если a = 0, то 1 ре-
шение; если a < 0, то решений нет; 2) если –4 < a < 4, то решений 

 Ответы и указания к упражнениям
260
нет; если a = –4 или a = 4, то 2 решения; если a < –4 или a > 4, то 
4 решения; 3) если  a
> −
1
4
,  то 2 решения; если  a
= −
1
4
,  то 1 реше-
ние;  если 
a
< −
1
4
,   то  решений  нет;  4)  если  a
< −
17
4
  или  a > 2,  то 
решений  нет;  если  a
= −
17
4
  или  –2 < a < 2,  то  2  решения;  если 
−
< < −
17
4
2
a
,  то 4 решения; если a = –2, то 3 решения; если a = 2, то 
1  решение.  13.25.  1)  Если  a < 1,  то  решений  нет;  если  a = 1,  то 
2 решения; если a > 1, то 4 решения; 2) если  a
> 3 2  или a < –3, 
то решений нет; если  a
= 3 2  или –3 < a < 3, то 2 решения; если 
3
3 2
< <
a
,  то 4 решения; если a = 3, то 3 решения; если a = –3, то 
1 решение; 3) если 
−
< <
2 2
2 2
a
,  то решений нет; если a
= −2 2  
или  a
= 2 2,  то 2 решения; если  a < −2 2  или  a > 2 2,  то 4 ре-
шения. 13.26. a = –2. Указание. Очевидно, что  a
≠ 0.  Рассмотрите 
систему, состоящую из двух уравнений ax
2
 + x + 1 = 0 и ax
2
 + a
2
x + a = 0. 
13.28. 5. 13.29.  0
6
17
;
.




 13.30. 40. 13.33.  7
2
17
 динария,  9
14
17
 дина-
рия. 13.34. 72 км/ч, 10 км/ч. 
14. Система двух уравнений с двумя переменными  
как математическая модель прикладной задачи
14.1.
 9 и 12. 14.2. 6 и 4. 14.3. 80 м, 30 м. 14.4. 7 см, 9 см. 14.5. 36. 
14.6. 62. 14.7. 84. 14.8. 12 и 24. 14.9. 6 и 9. 14.10. 5 см, 12 см. 
14.11.  15  см,  17  см.  14.12.  15  см  и  12  см  или  18  см  и  10  см. 
14.13.
 15 см, 6 см. 14.14. 18 см, 12 см. 14.15. 80 км/ч, 60 км/ч. 
14.16. 90 км/ч, 45 км/ч. 14.17. 80 км/ч, 60 км/ч. 14.18. 500 м/мин, 
400 м/мин. 14.19. 12 дней, 24 дня или 40 дней, 10 дней. 14.20. 10 ч, 
15 ч  или  12 ч,  12 ч.   14.21. 16 ч,  48 ч.   14.22. 10 ч,  15 ч. 
14.23.
  60  Ом,  90  Ом.  14.24.  4  Ом,  6  Ом  или  3,6  Ом,  7,2  Ом. 
14.25.
 2 км/ч. 14.26. 27 км/ч, 3 км/ч. 14.27. 24 км/ч, 16 км/ч. 
14.28. 12 км/ч. 14.29. 2 км/ч, 12 км/ч. 14.30. 8,4 г/см
3
, 6,4 г/см
3
. 
14.31. 15 Н,  20 Н.    14.32. 60 м,  80 м.    14.33. 1) 
−
1
a
;    2) 
1
2
− b
.  
14.35.  1)  (
; ];
−
×
2   2)  ( , ;
).
0 16
+
×
  14.36.  3.  14.37. 
−0 5
2 4
,
, .
m m
x
 
14.38. 1)  (
;
, ];
−
−
×
2 5  2) 
5
6
;
.
+




×
 14.39. 13 и 6 или 67 и 66.

 Ответы и указания к упражнениям
261

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: