Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

6.  системы линейных неравенств  с одной переменной
53
6.49.
*
 При каких значениях a один из корней уравнения 
3x
2
 – (2a + 5) x + 2 + a – a
2
 = 0 
меньше –2, а другой — больше 3?
Упражнения Для пОвтОрения
6.50. Решите уравнение:
1) 
x
x
x
x
2
2
2
16
3
4
16
−
+
−
=
;  
2) 
5
3
8
3
x
x
−
− = .
6.51. Упростите выражение:
1)  0 5 24 4 40
150
54
1000
,
;
−
−
+
+
2)  8
0 3 50
3 2
b
b
b
+
−
,
;
3) 1 5 72
216 0 6 450 0 5 96
,
,
,
.
−
−
+
6.52. Выразите из данного равенства переменную x через другие 
переменные:
1)  2
2
x
m
n
−
= ; 
2) 
1
1
1
m
x
n
− = .
6.53. Известно, что a — четное число, b — нечетное, a > b. Значение 
какого из данных выражений может быть целым числом:
1) 
a
b
b
a
+ ;  
2) 
a
b
b
a
− ; 
3) 
a
b
;  
4) 
b
a
?

 6.54. Сколько килограммов соли содержится в 40 кг 9-процент-
ного раствора?

 6.55. Руда содержит 8 % олова. Сколько надо взять килограммов 
руды, чтобы получить 72 кг олова?

 6.56. Каково процентное содержание соли в растворе, если в 350 г 
раствора содержится 21 г соли?

§ 1.  НераВеНстВа
54
заДание № 1 «прОверьте себя» в тестОвОй фОрме
1. Сравните числа a и b, если a – b = –3,6.
А) a > b; 
Б) a < b; 
В) a = b;
Г) сравнить невозможно.
2. Известно, что m > n. Какое из данных утверждений ошибочно?
А) m – 2 > n – 2; 
Б) 2m > 2n; 
В) m + 2 > n + 2;
Г) –2m > –2n.
3. Оцените периметр P равностороннего треугольника со стороной 
a см, если 0,8 < a < 1,2.
А) 1,6 см < P < 2,4 см; 
Б) 2,4 см < P < 3,6 см; 
В) 3,2 см < P < 4,8 см;
Г) 1,2 см < P < 1,8 см.
4. Известно, что 2 < x < 3  и   1 < y < 4. Оцените значение выраже-
ния xy.
А) 4 < xy < 8; 
Б) 3 < xy < 7; 
В) 2 < xy < 12;
Г) 6 < xy < 14.
5. Известно, что –18 < y < 12. Оцените значение выражения 
1
6
2
y
+ .
А) 
− <
+ <
3
2 4
1
6
y
;  
Б) 
− <
+ <
1
2 4
1
6
y
;  
В) 
− <
+ <
1
2 2
1
6
y
;
Г) 
− <
+ <
3
2 2
1
6
y
.
6. Дано: a > 0, b < 0. Какое из данных неравенств может быть пра-
вильным?
А) a
2
 < b
2
; 
Б) 
a
b
> 1;  
В) a – b < 0; 
Г) a
2
b
3
 > 0.

55
Задание № 1 «Проверьте себя» в тестовой форме
7.  Множеством  решений  какого  из  данных  неравенств  является 
множество действительных чисел?
А) 2x > –2; 
В) 0x > –2;
Б) 2x > 0; 
Г) 0x > 0.
8.  Множеством  решений  какого  из  данных  неравенств  является 
промежуток  ( ;
)?
3
+
×
А)  x l 3;  
В) x > 3;
Б)  x m3;  
Г) x < 3.
9. Найдите решения неравенства 
x
4
1
5
m .
А)  x l
4
5
;  
В)  x m
4
5
;
Б)  x l
1
20
;  
Г)  x m
1
20
.
10. Решите неравенство 
−
+
3
8 5
x
l .
А)  x m1;  
В)  x m
−1;
Б)  x l1;  
Г)  x l
−1.
11. Найдите наименее целое решение неравенства 
3
5
2
8
3
x
x
−
−
>
.
А) 2; 
В) 4;
Б) 3; 
Г) определить невозможно.
12. Чему равно произведение натуральных чисел, принадлежащих 
области определения выражения  14 3
− x?
А) 4; 
В) 18;
Б) 10; 
Г) 24.
13. Какая из данных систем неравенств не имеет решений?
А) 
x
x
l
m
−
−



3
2
,
;
 
В) 
x
x
l
m
−
−



3
3
,
;
Б) 
x
x
> −
> −



3
2
,
;
 
Г) 
x
x
l
m
−
−



2
3
,
.
14. Найдите множество решений системы неравенств 
x
x
x
x
− >
−
+ > +



1 2
3
4
5
17
,
.
А) ∅; 
В)  (
; );
−
×
4
Б)  ( ;
);
2
+
×
 
Г) (2; 4).

§ 1.  НераВеНстВа
56
15.
 Какой из изображенных числовых промежутков соответствует 
множеству решений системы неравенств 
8 7
3
2
2 3
2 6
2
2 6
−
>
−
−
−
−
−



x
x
x
,
(
, )
( , )?
m
æ
А)
1
0
В)
1
Б)
0
Г)
1
0
16. Сколько целых решений имеет система неравенств
 
x
x x
x
x
x
−
−
−
> −




−
−
−
2
3
3
4
1
2
1 0 5
4
l
,
,
?
А) 3; 
В) 5;
Б) 4; 
Г) 6.
17. Решите неравенство 
− <
− <
−
3
2 1
1 2
5
x
.
А) (–3; 7); 
В) (–7; –3);
Б) (–7; 3); 
Г) (3; 7).
18. При каких значениях a уравнение 2x
2
 + 6x + a = 0 не имеет корней?
А) a < 4,5; 
В) a > –4,5;
Б) a > 4,5; 
Г) a < –4,5.

57
Главное в параграфе 1
!
   
главнОе в параграфе 1
Сравнение чисел
Считают, что число a больше числа b, если разность a – b явля-
ется положительным числом.
Считают, что число a меньше числа b, если разность a – b явля-
ется отрицательным числом.
Основные свойства числовых неравенств
Если a > b  и  b > c, то a > c.
Если a > b  и  c — любое число,  то a + c > b + c.
Если a > b  и  c — положительное число,  то ac > bc.
Если a > b  и  c — отрицательное число,  то ac < bc.
Если a > b  и  ab > 0, то 
1
1
a
b
< .
Сложение и умножение числовых неравенств
Если a > b  и  c > d, то a + c > b + d.
Если a > b, c > d  и  a, b, c, d — положительные числа, то ac > bd.
Решение неравенства с одной переменной
Решением неравенства с одной переменной называют значение 
переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.
Равносильные неравенства
Неравенства  называют  равносильными,  если  они  имеют  одно 
и то же множество решений.
Правила решения неравенств с одной переменной
•  Если какое-либо слагаемое перенести из одной части неравен-
ства в другую, изменив при этом его знак на противополож-
ный, то получим неравенство, равносильное данному.
•  Если  обе  части  неравенства  умножить  (разделить)  на  одно 
и то же положительное число, то получим неравенство, равно-
сильное данному.
•  Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то 
же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства 
на противоположный, то получим неравенство, равносильное 
данному.

§ 1.  НераВеНстВа
58
Решение системы неравенств с одной переменной
Решением  системы  неравенств  с  одной  переменной  называют 
значение  переменной,  которое  обращает  каждое  неравенство 
системы в верное числовое неравенство.
Решить систему неравенств означает найти все ее решения или 
доказать, что решений нет, то есть найти множество ее решений.
Числовые промежутки
Неравенство
Промежуток
Изображение
x > a
(a; +∞)
a
x < a
(–∞; a)
a
x a
l
[a; +∞)
a
x a
m
(–∞; a]
a
a x b
m m
[a; b]
b
a
a < x < b
(a; b)
b
a
a x b
< m
(a; b]
b
a
a x b
m
<
[a; b)
b
a

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: