Я. П. Сысак, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Института математики нан украины

145
 
14.  система уравнений как математическая модель прикладной задачи
14.34. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1) 
4
5
a
a
;  
2) 
3
1
b
−
;  
3) 
5
6 1
−
;  
4) 
2
2 7 3 2
−
.
14.35. Решите неравенство:
1) 1 1 5
4
0 2 10
13
, (
)
, (
);
x
x
−
+
m
 
2) 
0 6 5
4
0 5 5
6
,
,
.
−
−
<
y
y
14.36. Найдите наибольшее целое решение неравенства 
(2x + 1) (x + 4) – 3x (x + 2) > 0.
14.37. При каких значениях переменной имеет смысл выражение 
12 5
2
1
−
+
+
x
x
?
14.38. Найдите промежуток убывания функции:
1) y = 2x
2
 + 10x – 9; 
2) y = 5x – 3x
2
.
14.39. 14 декабря 1840 года в Париже комиссия в составе акаде-
миков-математиков  собралась  для  изучения  математических 
способностей мальчика Анри Монде, который феноменально вы-
полнял вычисления. Решите одну из предложенных Монде задач, 
которую мальчик решил устно: «Какие два натуральных числа 
надо взять, чтобы разность их квадратов была равной 133?»

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
146
заДание № 3 «прОверьте себя» в тестОвОй фОрме
1. При каких значениях x выполняется неравенство x
2
 > 4?
А) x > 2; 
В) x < –2 или x > 2;
Б) x > 2 или x > –2; 
Г) –2 < x < 2.
2. Каково множество решений неравенства  x
x
2
8
9 0
+
− l ?
А)  (
;
) ( ;
);
−
−
+
×
×
Ÿ
9
1
 
В)  (
;
) ( ;
);
−
−
+
×
×
Ÿ
1
9
Б)  (
;
] [ ;
);
−
−
+
×
×
Ÿ
9
1
 
Г)  (
;
] [ ;
).
−
−
+
×
×
Ÿ
1
9
3. Сколько целых решений имеет неравенство 3x
2
 + 5x – 8 < 0?
А) 3; 
Б) 4; 
В) 5; 
Г) 6.
4. Какое из данных неравенств выполняется при всех действитель-
ных значениях переменной?
А) x
2
 – 14x + 49 > 0; 
В) x
2
 – 3x + 4 > 0;
Б) 
−
+ +
3
2 0
2
x
x
m ;  
Г) –x
2
 + 7x – 10 < 0.
5. Какова область определения функции  f x
x
x
( )
?
=
−
5
8
4
2
А)  (
; ] [ ;
);
−
+
×
×
Ÿ
0
2
 
В) [0; 2];
Б)  (
; ) ( ;
);
−
+
×
×
Ÿ
0
2
 
Г) (0; 2).
6. Укажите неравенство, не имеющее решений.
А) x
2
 – 6x + 10 < 0; 
В) –3x
2
 + 8x + 3 < 0;
Б) –5x
2
 + 3x + 2 > 0; 
Г) –x
2
 – 10x > 0.
7. Пары чисел (x
1
; y
1
) и (x
2
; y
2
) являются решениями системы урав-
нений 
y x
xy y
− =
− =



2
10
,
.
 Чему равно значение выражения x
1
y
1
 + x
2
y
2
?
А) 23; 
Б) 7; 
В) 35; 
Г) –26.
8. Какие фигуры являются графиками уравнений системы
 
x
y
xy
2
2
5
3
+
=
= −



,
?
А) Прямая и парабола; 
В) окружность и гипербола;
Б) окружность и парабола; 
Г) парабола и гипербола.
9. Сколько решений имеет система уравнений 
x
y
x y
2
4
1
− =
+ =



,
?
А) Ни одного решения; 
В) два решения;
Б) одно решение; 
Г) четыре решения.

147
Задание № 3 «Проверьте себя» в тестовой форме
10. Какое наибольшее значение принимает выражение x + y, если 
пара чисел (x; y) является решением системы уравнений
 
x y
x
xy y
− =
+
−
= −



5
2
7
2
2
,
?
А) 1; 
Б) 6;  
В) 0; 
Г) –5.
11.  Пара  чисел  (a;  b)  является  решением  системы  уравнений 
2
1
1
3
4
9
x
y
x
y
+ =
− =






,
.
 Найдите значение выражения a – b.
А) 5; 
Б) 1; 
В) 
1
6
;  
Г) 
5
6
.
12. Пары чисел (x
1
; y
1
) и (x
2
; y
2
) являются решениями системы урав-
нений 
2
5
6
x xy
y xy
−
=
+
=



,
.
 Найдите значение выражения | x
1
y
1
 – x
2
y
2
 |.
А) 1; 
Б) 11; 
В) 70; 
Г) 10.
13. Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ — 13 см.
Пусть стороны прямоугольника равны x см и y см. Какая из при-
веденных систем уравнений является математической моделью 
ситуации, описанной в условии?
А) 
x y
x
y
+ =
+
=



34
13
2
2
,
;
 
В) 
x y
x
y
+ =
+
=



34
169
2
2
,
;
Б) 
2
34
13
2
2
(
)
,
;
x y
x
y
+
=
+
=



 
Г) 
2
34
169
2
2
(
)
,
.
x y
x
y
+
=
+
=



14. Расстояние между двумя городами, равное 120 км, легковой 
автомобиль  проезжает  на  30  мин  быстрее,  чем  грузовик.  Из-
вестно,  что  за  2  ч  грузовик  проезжает  на  40  км  больше,  чем 
легковой автомобиль за 1 ч.
Пусть скорость грузовика равна x км/ч, а легкового автомоби-
ля — y км/ч. Какая из приведенных систем уравнений является 
математической моделью ситуации, описанной в условии?
А) 
120
120
30
2
40
x
y
x y
−
=
− =




,
;
 
В) 
120
120
1
2
2
40
x
y
x y
−
=
− =




,
;
Б) 
120
120
30
2
40
y
x
x y
−
=
− =




,
;
 
Г) 
120
120
1
2
2
40
y
x
x y
−
=
− =




,
.

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
148
15.
 Две наборщицы могут выполнить компьютерный набор текста 
учебника по алгебре за 8 дней. Если первая наборщица наберет 
2
3
 текста, а потом вторая завершит набор, то весь текст учебни-
ка будет набран за 16 дней.
Пусть первая наборщица может набрать текст учебника за x дней, 
а  вторая — за  y  дней.  Какая  из  приведенных  систем  уравне-
ний  является  математической  моделью  ситуации,  описанной 
в условии?
А) 
x y
x
y
+ =
+
=




8
16
2
3
1
3
,
;
 
В) 
x y
x
y
+ =
+
=




8
16
1
3
2
3
,
;
Б) 
1
1
1
8
2
3
1
3
1
16
x
y
x
y
+ =
+
=






,
;
 
Г) 
1
1
1
8
2
3
1
3
16
x
y
x
y
+ =
+
=






,
.
16. При каких значениях b уравнение 3x
2
 – bx + 3 = 0 не имеет корней?
А) –6 < b < 6; 
В) b > 6;
Б) b < 6; 
Г) b < –6  или b > 6.
17. При каком значении a система уравнений 
x
y
x y
a
2
2
25
+
=
− =



,
 имеет 
единственное решение?
А) a = 5; 
В) a = – 5 или a = 5;
Б) 
a
= 5 2;  
Г)  a
= −5 2  или  a = 5 2.
18.  При  каких  значениях  a  неравенство  ax
2
 – 2x + a < 0  не  имеет 
решений?
А) a < –1 или a > 1; 
В) –1 < a < 1;
Б)  a l1;  
Г) таких значений не существует.

149
Главное в параграфе 2
!
   
главнОе в параграфе 2
Функция
Пусть  X — множество  значений  независимой  переменной, 
Y — множество значений зависимой переменной. Функция — 
это правило, с помощью которого по каждому значению неза-
висимой переменной из множества X можно найти единственное 
значение зависимой переменной из множества Y.
Нуль функции
Значение аргумента, при котором значение функции равно нулю, 
называют нулем функции.
Промежуток знакопостоянства функции
Промежуток, на котором функция принимает значения одинако-
вого знака, называют промежутком знакопостоянства функции.
Возрастание и убывание функции
Функцию  называют  возрастающей  на  некотором  промежут-
ке, если для любых значений аргумента из этого промежутка 
большему значению аргумента соответствует большее значение 
функции.
Функцию называют убывающей на некотором промежутке, если 
для любых значений аргумента из этого промежутка большему 
значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Построение графика функции 
y = kf (x) 
График функции y = kf (x) можно получить из графика функции 
y = f (x)  в  результате  растяжения  в  k  раз  от  оси  абсцисс,  если 
k > 1,  или  в  результате  сжатия  в 
1
k
  раз  к  оси  абсцисс,  если 
0 < k < 1.

§ 2.  КВадратиЧНая фУНКция
150
Построение графика функции 
y = f (x) + b
График функции y = f (x) + b можно получить в результате парал-
лельного переноса графика функции y = f (x) вдоль оси ординат 
на b единиц вверх, если b > 0, и на –b единиц вниз, если b < 0.
Построение графика функции 
y = f (x + a)
График функции y = f (x + a) можно получить в результате парал-
лельного переноса графика функции y = f (x) вдоль оси абсцисс на 
a единиц влево, если a > 0, и на  –a единиц вправо, если a < 0.
Квадратичная функция
Функцию, которую можно задать формулой вида y = ax
2
 + bx + c, 
где x — независимая переменная, a, b и c — некоторые числа, 
причем a ≠ 0, называют квадратичной.
Квадратные неравенства
Неравенства  вида  ax
2
 + bx + c > 0,  ax
2
 + bx + c < 0,  ax
bx c
2
0
+
+ l ,  
ax
bx c
2
0
+
+ m ,  где x — переменная, a, b и c — некоторые чис-
ла, причем a ≠ 0, называют квадратными.
Схематическое расположение параболы 
y = ax
2
 + 
bx + c относительно 
оси абсцисс
D > 0
D = 0
D < 0
a > 0
x
1
x
2
x
x
0
x
x
a < 0
 
x
1
x
2
x
x
0
x
x

жүктеу/скачать 4,65 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: