15. Числовые последовательности
153
В таких случаях говорят, что последовательность задана с по-
мощью формулы
n-го члена последовательности.
Рассмотрим несколько примеров.
Формула a
n
= 2n – 1 задает последовательность натуральных не-
четных чисел:
1, 3, 5, 7, 9, ... .
Формула y
n
= (–1)
n
задает последовательность (y
n
), в которой все
члены с нечетными номерами равны –1, а с четными номерами
равны 1:
–1, 1, –1, 1, –1, ... .
Формула c
n
= 7 задает последовательность (c
n
), все члены которой
равны числу 7:
7, 7, 7, 7, 7, ... .
Приведенные способы задания последовательностей помогают
проследить связь между понятиями «функция» и «последователь-
ность».
Рассмотрим функцию y = f (x), областью определения которой
является множество натуральных чисел или множество n первых
натуральных чисел. Тогда функция f задает бесконечную последо-
вательность f (1), f (2), ..., f (n), ... или конечную последовательность
f (1), f (2), ..., f (n).
Например, если функция f, областью определения которой явля-
ется множество натуральных чисел, задана формулой f (x) = x
2
, то эта
функция задает последовательность квадратов натуральных чисел:
1, 4, 9, 16, 25, ... .
Нередко последовательность задают правилом, которое позволяет
найти следующий член, зная предыдущий.
Рассмотрим последовательность (a
n
), первый член которой равен
1, а каждый следующий член последовательности в 3 раза больше
предыдущего. Имеем:
1, 3, 9, 27, 81, ... .
Эту же последовательность также можно определить такими
условиями:
a
1
= 1, a
n + 1
= 3a
n
.
Эти равенства указывают первый член последовательности и пра-
вило, с помощью которого по каждому члену последовательности
можно найти следующий за ним член:
a
1
= 1,
a
2
= 3a
1
= 3,
a
3
= 3a
2
= 9,
a
4
= 3a
3
= 27,
и т. д.
|
