2. Основные свойства
числовых неравенств
13
Аналогично можно доказать такое свойство:
если a < b и c — лю-
бое число, то a +
c < b +
c.
Поскольку вычитание можно заменить сложением (
a –
c =
a + (–
c)),
то теорему 2.2 можно сформулировать так:
если к обеим частям верного неравенства прибавить или из
обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число,
то получим верное неравенство.
С л е д с т в и е .
Если любое слагаемое перенести из одной ча-
сти верного неравенства в другую, изменив знак слагаемого на
противоположный, то получим верное неравенство.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть неравенство
a >
b +
c верно. Вычтем
из обеих его частей число
c. Получим:
a –
c >
b +
c –
c, то есть
a –
с >
b.
◄
Т е о р е м а 2.3.
Если a > b и c — положительное число, то
ac > bc. Если a > b и c — отрицательное число, то ac < bc.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим разность ac –
bc. Имеем:
ac –
bc =
c (
a –
b).
По условию
a >
b, следовательно, разность
a –
b является поло-
жительным числом.
Если
c > 0, то произведение
c (
a –
b) является положительным
числом, следовательно, разность
ac –
bc является положительной,
то есть
ac >
bc.
Если
c < 0, то произведение
c (
a –
b) является отрицательным
числом, следовательно, разность
ac –
bc является отрицательной,
то есть
ac <
bc.
◄
Аналогично можно доказать такое свойство:
если a < b и c — по-
ложительное число, то ac < bc. Если a < b и c — отрицательное
число, то ac > bc.
Поскольку деление можно заменить умножением
a
c
c
a
=
æ
1
, то
теорему 2.3 можно сформулировать так:
если обе части верного неравенства умножить или разделить
на одно и то же положительное число, то получим верное не-
равенство;
если части верного неравенства умножить или разделить
на одно и то же отрицательное число и изменить знак
неравенства на противоположный, то получим верное нера-
венство.
