Закон для функционала. Например, 40) Где -дифференцируемая при функция. Например, 41) Тогда 42) Для обычной функции под приращением функции понимается
жүктеу/скачать 104,92 Kb.
|
| Доказательство. Пусть в eдостигается минимум. Рассмотрим разность
(4.34) Эта разница должна быть неотрицательной, так как функционал имеет минимальное значение. Приращение функционала равно нулю, значит, и его основная часть неотрицательна (4.35) Однако, можно показать, что на самом деле (4.36) (от противного). Принцип наименьшего действия. Механическая система между фиксированными точками и движется таким образом, чтобы действие было минимальным. При это сравниваются все пути, проходящие через данные фиксированные точки (рис. 4.1). Это означает, что мы сравниваем кривую, на которой достигается минимум действия, со всеми остальными возможными кривыми, проходящими через указанные фиксированные точки. Вариация действия равна (4.37) В соответствии с указанной теоремой, должно выполняться равенство (4.38) Это возможно тогда и только тогда, когда (4.39) Это и есть уравнения Лагранжа. Итак, мы показали, что 1. принцип наименьшего действия можно положить в основу получения закона движения системы 2. принцип наименьшего действия – интегральный принцип, который в некоторых задачах может быть более удобен в сравнении с остальными 3. принцип наименьшего действия показывает, что уравнения Лагранжа верны в любой системе координат 4. если к функции Лагранжа прибавить полную производную по времени от произвольной функции, зависящую от обобщенных координат и времени (4.40) то уравнения Лагранжа не изменятся. То есть, функция Лагранжа определена неоднозначно. Отметим, что под функцией мы понимаем (4.41) Докажем это свойство. Рассмотрим действие вида (4.42) Его вариация (4.43) Соответственно, в таком случае нет никакой поправки к функции Лагранжа. Пример 8. Ранее мы рассмотрели задачу про математический маятник, точка подвеса которого движется по закону (рис. 4.2). Функция Лагранжа в этом случае имеет вид (4.44) Этот вид функции Лагранжа неудобен. Отметим, что мы можем выкинуть из (4.44) слагаемые и , так как они не зависят от обобщенной координаты. Рассмотрим производную (4.45) жүктеу/скачать 104,92 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|