Арифметикалық амалдар (Сагидуллаева Мехрибан)

1.Арифметикалық амалдар жəне олардың қасиеттері мен заңдары

Математиканың бастауыш курсында қарастырылатын өзекті мəселенің бірі –

арифметикалық амалдар.Əрбір арифметикалық амал, басқа да математикалық ұғымдар

сияқты жиындарға қолданылатын амалдарды орындау процесінде нақтылы негізге

сүйеніп айқындалады. Сонда:

- қосу – ортақ элементтері жоқ жиындарды біріктіру;

- азайту – жиынның бір бөлігін (ішкі жиынды) айырып алу;

- көбейту – элементтерінің саны бірдей жиындарды біріктіру;

- бөлу – жиынды саны бірдей қиылыспайтын жиындарға айыру ретінде анықталуы

мүмкін.

Бұл балалардың тəжірибесі негізінде қалыптасқан білімнің көрнекі негізін салуға

мүмкіндік береді. Сондықтан да қосу амалын оқып – үйрену заттардың əр түрлері

топтарын біріктірумен, ал азайту – заттардың тобынан қандай да бір белгісіне қарай

біраз заттарды алып тастаумен байланысты орындалатын практикалық жұмыс болып

табылады. Сонда заттардың тобымен жүргізілетін нақты іс - əрекеттермен санау қатар

жүргізіледі. Мұндай жаттығуларды орындау қосу жəне азайту амалдарын оқып –

үйренуге дайындайды, яғни олардың мəн – мағынасын ашуға негіз қалайды да, əрі

қарай мəтінді жай есептерді шығару барысында жалғасады.

Бұл балалардың тəжірибесі негізінде қалыптасқан білімнің көрнекі негізін салуға

мүмкіндік береді.Сондықтан да қосу амалын оқып үйрену заттардың əр түрлі

топтпарын біріктірумен,ал азайту заттардың тобынан қандай да бір белгісіне қарай

біраз заттарды алып тастаумен байланысты орындалатын практикалықжұмыс болып

табылады.Сонда заттардың тобымен жүргізілетін нақты іс əрекеттермен санау қатар

жүргізіледі.Мұндай жаттығуларды орындау оқушыларды қосу жəне азайтуамалдарын

оқып үйренуге дайындайды,яғни олардың мəн мағынасын ашуға негіз қалайды да,əрі

қарай мəтінді жай есептерді шығару барысында жалғасады.

Бастауыш сыныптарда көбейту қосу арқылы,ал бөлу азайту арқылы анықталады жəне

олардың да мəн мағынасына қарапайым мəтінді жай есептер арқылы ащылады,

Сонда көбейту амалы элементтері бірдей топтарды біріктіру ,яғни қосу амалы арқылы

жүзеге асырылады.Ал бөлу жайындағы түсінік заттардың тобымен жүргізілетін

практикалық екі іс əрекетке :тең бөліктерге бөлуге сүйеніп

қалыптастырылады.Арифметикалық амалдардың мəн мағынасын ашу ,олардың

таңбаларын жəне сəйкес терминдерді енгізумен жалғасады.

Көрнекі құралдар,оқулықтағы суреттер мен үлгі жазулар жəне нақты мысалдарарқылы

түсіндіріліп ,ілгеріде енгізілетін есептеу тəсілінің негізінде алынады.

Арифметикалық амалдардың компоненттері мен нəтижелері арсындағы байланыстар

,арифметикалық амалджардың дұрыс орындалғанын тексеру жəне белгісіз

компоненттерін табу үшін пайдаланылады.Сондықтан əрбір арифметикалық амалдың

нақтылығы мағынасын айқындаумен бірге ,олардың белгіленуі,яғни амал таңбасы жəне

терминалогия ,амалдардың ,амалдардың компоненттері мен нəтижелерінің атаулары

енгізіледі.

Матеметиканың бастауыш курсында арифметикалық амалдарды орындауреті туралы

ережелерлің маңызы зор . Ол ережелердің өзі математикалық заңдылық емес ,тек солай

қолданып ,қалыптасып кеткен келісім екнін ескерген жөн.

Заңдылықты оқытуда алдымен нақты мысалдарды қарастырып сонан кейін байқау

жəне бақылау ,салыстыру мен салғастыру арқылы жекелеген жағдайлардан біртіндеп

жалпы қорытындыға келуге болады, ең соңында мысалдар арқылы тиянақтала түседі .

Мұндағы түсіндірме «Жеке жалпы жеке » тізбегі мен жүргізілуі мүмкін.

Егер келісілген мəселе оқытылса ,онда алдымен неге келісілгені жалпы түрде

хабарланады да ,ол əрі қарай мысалдармен қорытылады ,ал 2-сыныпта құрамында екі

амал кездесетін өрнектер оқытылы,жақшаның ішінде жазылған амал бірінші

орындалады»деген ереже беріледі ,қосу жəне азайтуамалдары (екі амал) алмасып

келетін өрнектерде ,олардың орындалу тəртібі осы ереережеге сүйеніп анықталады.Əрі

қарай бұл ережелерден еш жержерде ешқандайауытқу болмайды.Ереже айтылысымен

оны қолдануға байланысты мысалдар қарастырылады.

Келесі кезеңде мынадай екі ереже енгізіледі:

1.Жақшасыз өрнекте алдымен солдан оңға қарай көбейту жəне бөлу,ал сонан кейін қосу

жəне азайту орындалады.

2.Егер өрнекте жақша болса ,онда алдымен жақша ішіндегі амалдар орындалады.

Бұл ережелерді қолдануға машықтандыруда арнайы мысалдар жүйесін қарастыру

көзделеді ,сондай –ақ есептеулер жүргізумен байланысты берілетін «өрнектің мəнін

есепте»,»амалдарды орында» сияқты тапсырмаларды жəне «өрнек құру,оны оқу жəне

жазу»кезінде қажет жағдайлардың бəрінде де амалдардың орындалу ретін анықтап

алуды сəйкес жаттығулардың қосымша жүктемесі деп түсіну керек.

2.Ауызша есептеу тəсілдері

Математиканы оқытудың негізгі мақсаттарының бірі-бастауыш сыныпта мұғалімнен

балаларда ауызша жəне жазбаша есептеулердің берік дағдысын қалыптастыру,

оқушыларды натурал сандар мен амалдар орындай білуге жəне сол амалдарды

қарапайым шамаларға қолдануға үйрету. Оқушылардың бастауыш буынды бітіруіне

қарай бірдей дəрежедегі математикалық дайындықтан өтуін қамтамасыз ететін

есептеулер жүргізу іскерліктері мен дағдыларының минимум деңгейі бағдарламада

анықталған.

Есептеулер жүргізу дегеніміз – оқып үйренген нысандар мен ауызша немесе жазбаша

амалдар орындау. Ауызша есептеулерде қосу (азайту) мен көбейту (бөлу) кестелері,

амалдардың «ерекше» жəне кестеден тыс жағдайлары жайындағы білімдер, ал жазбаша

орындалғанда амал алгаритомдері қолданылады. Бұлардың бəрі–есептеуге

машықтандырудың құрамды бөліктері. Есептеудің орындалу сапасы оқыту

нəтежелерінің нақты деңгейіне байланысты. Оны бағдарлама талаптарына сай

қалыптастыру үшін мыналар қажет:

1) əр түрлі көрнекі құралдарды тиімді пайдалану жəне есептеулер жүргізу теориясы

мен практикасының ара қатынасын дұрыс сақтау арқылы олардың қатесіз орындалуына

негіз жасау;

2) есептеулер саналы жəне дұрыс жүргізіліп қана қоймай, оны сенімді де шапшаң

орындау дағдыларын орнықтыра, жетілдіре түсетін жұмыстарды дəйекті жəне жүйелі,

əрі уақыт жағынан үйлесімді ұйымдастыру;

3) бүкіл сыныптың жəне жекелеген оқушының есептеулер жүргізуге бейімділігін

əрдайым тексеріп, анықталған кемшілік пен ол қылықтардың дер кезінде жойылуына

үнемі қамқорлық жасап отыру. (əр оқушының өзіне тəн жеке ерекшеліктерді де

айрықша ескерту);

4) есептеулер жүргізуге үйретудің қай кезеңінде болмасын, оқушының өзін-өзі тексеру

мен бақылауына басшылық ету.

Математика теоремасын оқып үйренгенде кейбір дəлелдеулерді логикалық түрде

байымдау білуді талап етумен қатар, осы дəлелдеулерді ауызша есептеу əдістерін

негіздеу үшін пайдалана білуді талап етеді. Бастауыш сынып оқушылары ауызша

есептеу əдістерінің барлығын да арифметикалық амалдардың заңдарымен,

қасиеттерімен негіздей алуы керек.

Есептеу қабілетін қалыптастыру, жетілдіру жəне дамыта түсумен байланысты қазіргі

əдістеменің принциптік жəне мəнді белгілері болып табылатын бұл талаптар

математиканы оқыту мазмұнын анықтауда маңызды роль атқарады. Өйткені,

оқытылатын материалдар осы тұрғыдан іріктеліп алынады, олардың құрылымы мен

қарастылу кезеңдері анықталады, ауызша жəне жазбаша есептеу тəсілдерінің белгілі

бір ара қатынасы тағайындылады. Жалпы алғанда, ауызша жəне жазбаша есептеу

тəсілдерінің түрлерін іріктеп алу өте оңай шешілетін мəселе емес, өйткені қай тəсілдің

басымырақ болуын ғылыми - техникалық жетістіктер мен өмір талабы анықтайды.

Мысалы, қазіргі кезде жоғарғы сыныпта микрокалькуляторлармен жұмыс жасауға

оқушыларды үйрету есептеулерді қатесіз, шапшаң жүргізуде барынша тиімді екенін

тəжірибе көрсетіп отыр. Қарапайым микрокалькуляторларды бастауыш буында да

қолдану мүмкіндігі ғылыми зерттеулер мен озық тəжірибелер нəтижесінде дəлелденіп,

оның тиімділігі анықталған уақытта ауызша жəне жазбаша есептеу тəсілдерінің қазіргі

арақатынасы белгілі бір өзгерістерге ұшырауы ықтимал.

Жалпы алғанда, ауызша жəне жазбаша есептеу тəсілдерінің түрлерін іріктеп алу өте

оңай шешілетін мəселе емес. Өйткені қай тəсілдің басымырақ болуын

ғылыми-техникалық жетістіктер мен өмір талабы анықтайды. Шараушылықтың əр

түрлі салаларына электрондық есептегіш машиналардың батыл енгізілуі ұзақ жылдар

бойы практикада қалыптасқан ауызша жəне жазбаша есептеулер жүргізу тəсілдерінің

арақатынасын түбегейлі қайта қарауды талап етеді. Төрт жылдық бастауыш мектептің

алғашқы екі класында есептеудің ауызша тəсілдері басымырақ та, арифметикалық

амалдар көбінесе үшінші, төртінші ғана жазбаша орындалады, яғни амал

алгоритмдерін жүйелі оқып үйрену бір ғана кластың үлгісіне тиеді. Бұл - оқушыларға

артық жүктеме туғызып, қиындық келтіреді. Төрт жылдық бастауыш мектепте ауызша

жəне жазбаша есептеулер жүргізудің арақатынасын жаңаша жолға қою талабының тағы

бір себебі осыдан деп білуіміз керек. Мұның өзі ұзақ жылдар бойы бастауыш буын

математикасын оқыту процесін бақылау мен арнайы зерттеулер қорытынды-сында

негізделген. Ал, бұл – есептеу бейімділігі мен оған машықтану деңгейін жоғары сатыға

көтеруге мүмкіндік беретін озық тəжірибе нəтижелері дəлелдейді.

3. Көбейту мен бөлу. Ауызша жəне  жазбаша көбейту мен бөлу

Жазбаша көбейту мен бөлу

Жазбаша көбейту мен бөлу алгоритмі 3-сыныптың төртінші тоқсанында

қарастырылады. Жаңа жəне күрделі, сондай-ақ, жан-жақты қарастырылатын мəселе үш

таңбалы санды бір таңбалы санға көбейту мен бөлудің алгоритмдері, яғни сəйкес

амалдарды жазбаша орындаудың тағайындалған рет-тəртібі.

Көбейту мен бөлу əр сабақта негізінен қатар қарастырылады жəне алгоритмнің негізгі

кезеңдерін бөліп көрсетуге ерекше көңіл бөлінеді, сондай-ақ сəйкес жазу үлгісінің

толық жəне  біршама ықшамдалған түрлері көрсетеледі, сол алгоритмді қолдана

отрырып, есептеулер жүргізудің мүмкіндіктері ескеріледі.

43 * 2 жəне 86 : 2. Мұнда ондықтарды  қөбейтіп, бірінші толымсыз көбейтіндіні, яғни

ондықтардың санын, ал бірліктерді көбейтіп, екінші толымсыз көбейтіндіні, яғни

бірліктердішығарып алатынымызға, оларды қосқанда толық көбейтінді шығатынына

назар аударылады жəне «баған түрінде» жазудың үлгісі көрсетіледі. Ал бөлу кезінде

бірінші толымсыз бөлінгіш 8 онд., ал екінші толымсыз бөлінгіш 6 бірл. екеніне назар

аударылады. Оларды біртіндеп 2-ге бөліп, бөліндінің мəнін табамыз, бөлуді

«бұрыштап» орындаудың үлгісі көрсетіледі.

76 : 6 – бұл жағдайда  қалдық шығады, яғни қалдық туралы  білетінімізді осы жерде

қолданамыз.

134 * 2 – үш толымсыз  көбейтінді, ал 268 : 2- де үш толымсыз  бөлінгіш болатыны

(бөліндінің мəні үш таңбалы сан) ескерілуі тиіс.

103 * 2 – үш толымсыз  көбейтінді болады, оның екіншісінің  мəні 0-ге тең, ал 206 :

2-де үш толымсыз  бөлінгіш құрастырылады, оның екіншісі  нөлге тең. Екінші

толымсыз бөлінгіш 0 < 2, демек, кіші санды үлкен  санға бөлсек, бөліндінің мəні  нөлге

тең болады, олай болса  бөлінді мəнінің екінші цифры, яғни ондықтары нөлге тең.

430 * 2 – үш толымсыз  көбейтінді болады, оның біріншісінің  мəні нөлге тең, ал 860 :

2- үш толымсыз  бөлінгіш қарастырылады, оның  үшіншісі  нөлге тең. Яғни 0 < 2,

демек, кіші  санды үлкен санға бөлсек, бөліндінің  мəні нөлге тең болады, бөлінді

мəнінің үшінші цифры, яғни бірліктері  нөлге тең.

247 : 2 – алдыңғы жағдайлардың  жалғасы, тек қана мұнда қалдық шығады, яғни

үйреншікті білім біршама өзгерген жағдайда қолданыс тауып отыр.

104 * 6 – үш толымсыз  көбейтінді  болады, 624 : 6-де үш  толымсыз бөлінгіш

құрастырылады. Екінші толымсыз бөлінгіш 2 < 6, демек, бөліндінің мəнң нөлге тең

болады, бөлінді мəнінің екінші цифры, яғни ондықтары нөлге тең.

Жоғарыда қарасытырылған жазбаша көбейту мен бөлудің əр түрлі жағдайларының

өзіндік ерекшеліктері бар. Олардың бəрі көбейтуді «баған түрінде», ал бөлуді

«бұрыштап» қысқаша жазғанда айқын көрінеді. Олар мысалы, разрядтан бірліктерді

көбейткенде ғана аттау, ондықтарды көбейткенде ғана аттау, бірліктерді жəне

ондықтарды көбейткенде аттау; ортасында немесе соңында нөл болатын санды көбейту

сияқты болып келеді. Ал бөлуде: толымсыз бөлінгіштердің əрқайсысы санға қалдықсыз

бөлінуі, ондықтарды бөлгенде қалдық қалуы, ортасында немесе соңында нөл болатын

санды бөлу, толымсыз бөлінгіш бөлгіштен кем болу, бөлінді мəнінің соңғы немесе

ортаңғы цифры нөл болуы сияқты болып келеді. Қалай болғанда да жазбаша көбейту

төменгі разрядтан басталып, жоғары разрядқа қарай біртіндеп орындалады. Сондай-ақ

неше толымсыз бөлінгіш құрастыру мүмкін болса, бөліндінің мəні сонша таңбалы сан

болады, яғни сонша цифр арқылы жазылатын сан болады.

Жаопы алғанда, бөлу алгоритмінің негізгі кезеңі – толымсыз бөлінгіштердің

əрқайсысын біртіндеп бөлгішке бөлу. Əрине, бұл бөлу кезінде кейде қалдық нөлге тең

болуы, кейде нөлге тең болмауы мүмкін. Егер аралық нəтижелерде, яғни жүздіктерді

жəне ондықтарды бөлгенде қалдық нөлден басқа сан болса, бөлу процесі

жалғастырылады, ал қалдық қашанда бөлгіштен кем болуы тиіс. Соңғы толымсыз

бөлінгішті, яңни бірліктерді бөлгенде қалдық шықса, бөлу процесі аяқталады.

"Мыңдар" тақырыбын  үйрену барысында "үш таңбалы  санды бір таңбалы санға бөлу"

сияқты мəселелерді оқып үйрену  жəне соның негізінде көбейту  мен бөлудің жазбаша

алгоритмдерін  енгізуге болады.

Мысалы: 24 * 3= (20 + 4) * 3=20 * 3 + 4 * 3=60 + 12=72

48 : 4= (40 + 8) : 4=40 : 4 + 8 : 4=10 + 2=12

Осыған ұқсас мысалдар:

134 * 2=(100 + 30 + 4) * 2=100 * 2 + 30 * 2 + 4 * 2= 200 + 60 + 8=268

639 : 3=(600 + 30 + 9) : 3=600 : 3 + 30 : 3 + 9 : 3= 200 + 10 + 3=213

Соның негізінде сəйкес қорытынды шығарылады, яғни үш таңбалы санды бір таңбалы

санға көбейту мен бөлуді де разрядтар бойынша орындауға болады, алайда осылайша

толық жазуға өте көп уақыт жұмсалады жəне оны толық түсіндірме келтіріп айтып

шығу да біраз уақыт алады.

Сондықтан қысқа жəне ықшам түрде былай жазып көрсетуге болады:

134

639  3

х

2

- 6 213

268

3

-  3

9

- 9

Көбейту мен бөлуді осы жағдайларда орындағанда алдымен сандардың разрядтық

Қосылғыштарына жіктелгеніне, ал сонан кейін қосынды санға көбейту мен бөлу

жайындағы қорытындылардың қолданылғанына назар аударылуы керек.

Қосылғыштардың орындарын ауыстыру: 2+2+4+4. Бірдей қосылғыштардың

қосындысын көбейтіндімен алмастыру: 2 * 2+4 * 2=12.

Қосылғыштарды топта: бірінші үшіншімен, екіншімен төртіншімен; (2+4)+(2+4) –

бірдей қосылғыштардың қосындысын көбейтіндімен алмастыр: (2+4) * 2=12.

Өрнектер мен олардың мəндерін салыстыр: (2+4)*2=2*2+4*2.

Қорытынды: қосындыны санға көбейту үшін əр қосылғышты жеке-жеке сол санға

көбейтіп, шыққан нəтижені қосу қажет. Бұл – көбейтудің үлестірімділік қасиеті.

Есептеуді тиімді тəсілмен орындауда қолданылады:

46 * 2=(40+6) * 2=40 * 2+6 * 2=80+12=92.

Кестелік көбейту мен бөлу

Көбейту – бірнеше бірдей қосылғыштарды қосу.

Бөлу – көбейтуге кері амал.

2-ге көбейту кестесі  бірдей қосылғыштарды қосу негізі  екі сабақта құралады.

2 * 2=2+2 ⇒ 2 *2=4

3 * 2=3+2 ⇒ 3 * 2=6 т.с.с.

3-ке көбейту кестесі 2-ге  көбейту кестесіне сүйеніп, екі  сабақта құралады жəне

бірнеше  сабақтар бойында жатады.

3 * 3= 3 * 2+3 ⇒ 3 * 3=9

4 * 3= 4 * 2+4 ⇒ 4 * 3=12

5 * 3= 5 * 2+5 ⇒ 5 * 3=15

Бөлудің сəйкес жағдайларының кестесі көбейту мен бөлудің өзара кері амалдар білімі

негізінде көбейту кестесімен қатар құрылады:

6 * 2=12 ⇒ 2 * 6=12 ⇒ 12:2=6 жəне 12:6=2.

ауыстырымдылық қасиеті көбейту мен бөлудің өзара

байланысы

шаманы санға көбейту мен бөлу есептеудің ұқсас тəсілдері ретінде білімнің

дидактикалық бірлігін ірілендіруді жүзеге асыру негізінде енгізіледі.

4 * 2      6 : 2

4 см * 2     6 см : 2

40 см * 2     60 см : 2

400 см * 2      600 см :2

Ауызша көбейту мен бөлу тəсілдері

Ауызша көбейту мен бөлу тəсілдерінің теориялық негізі – қосындыны санға көбейту

мен бөлу.

Қосындыны санға көбейту тəсілдерін əр түсті екі бөліктен құрастырылған ABCD тік

төртбұрыштың ауданын табу арқылы түсіндіруге болады. Кестелік жағдайларға келтіру

мүмкін болса, қосындыны санға көбейтуді екі тəсілмен:

1. қосындының мəнін санға көбейту арқылы;

2. қосылғыштарды санға жеке-жеке көбейтіп, көбейтінділер мəндерінің

қосындысын табу арқылы жүзгізуге болады.

Ал қосындының мəнін санға көбейту қиындық келтіретін жағдайларда қосылғыштарды

жеке-жеке санға көбейтіп, көбейтінділердің мəндерін қосумен шектелу керек. Екі

таңбалы жəне үш таңбалы сандарды бір таңбалы санға ауызша көбейту үшін, алдымен

екі таңбалы санды ондықтар мен бірліктердің, ал үш таңбалы санды жүздіктердің,

ондықтардың жəне бірліктердің қосындысына келтіріп алады да, оларды біртіндеп бір

таңбалы санға көбейтеді, сонда шыққан көбейтінділердің мəндерін қосады.

Қосындыны санға бөлу тəсілдерінде əр түрсі екі тең бөліктен тұратын EKDM тік

төртбұрышын пайдаланып түсіндіруге болады.

Кестелік жағдайларға келтіру мүмкін болса, қосындыны санға бөлуді екі тəсілмен:

1. қосыныдының мəнін санға бөлу арқылы;

2. қосылғыштарды жеке-жеке санға бөліп, бөлінділер мəндерінің

қосындысын табу арқылы жүргізуге болады.

Ал қосындының мəнін санға бөлу қиындық келтіретін жағдайларда қосылғыштарды

жеке-жеке санға бөліп, бөлінділер мəндерінің қосындысын табумен шектелу керек. Ал

қосылғыштар санға жеке-жеке бөлінбеген жағдайларда олардың қосындыларының

мəнін санға бөлуге тура келеді.

Қосындыны құрайтын қосылғыштар əр түрлі болуы мүмкін:

1. ондықтар мен бірліктердің əрқайсысы, сондай-ақ жүздіктер, ондықтар мен

бірліктердің əрқайсысы, яғни разрядтық қосылғыштары санға бөлінеді;

2. қосылғыштар кез келген сандар (ондықтар жəне тағы екі таңбалы сан, жүздіктер

мен ондықтар жəне екі таңбалы сан жəне т.б.) жəне олардың əрқайсысы, яғни

ыңғайлы қосылғыштар санға бөлінеді.

Санды разрядтық қосылғыштардың қосындысын (егер олардың əрқайсысы санға

бөлінсе) келтіреді немесе санды ыңғайлы қосылғыштардың қосындысына (егер

разрядтық қосылғыштар санға бөлінсе) келтіреді.

Қосындыны санға көбейту мен бөлу тəсілдеріне негізделген ауызша есептеулер

біртіндеп күрделене түсетін ретпен қарастырылады.

34 * 2 жəне 68 : 2 – бірліктерді көбейткенде қосымша ондық шықпайды, бөлінгіш  -

разрядтық қосылғыштардың қосындысына келтіріледі;

16 * 5 жəне 80 : 5 – бірліктерді  көбейткенде қосымша ондық шығады жəне бірлік нөлге

тең болады, бөлінгіш ыңғайлы қосылғыштардың қосындысына келтіріледі;

26 * 3 жəне 78 : 3 – бірліктерді көбейткенде қосымша ондық шығады жəне бірлік

нөлден өзгеше, бөлінгіш ыңғайлы қосылғыштардың қосындысына келтіріледі;

32 * 5 жəне 160 : 5 – бірліктерді  көбейткенде қосымша ондық шығады  жəне бірлік

нөлге тең жəне  ондықтарды көбейткенде қосымша  жүздік шығады, бөлінгіш ыңғайлы

қосылғыштардың қосындысына келтіріледі.

Жоғарыда айтылғандай, əр жағдайдың өзіндік ерекшелігі бар. Дегенмен ауызша

көбейту де, бөлу де жоғары разрядтан бастап орындалады. Егер екі таңбалы санды бір

таңбалы санға көбейту керек болса, онда алдымен оның ондықтарын, содан кейін

бірліктерін санға көбейтіп, шыққан нəтижелерді қосу керек. Егер үш таңбалы санды

бір таңбалы санға көбейту керек болса, онда оның жүздіктерін, ондықтарын жəне

бірліктерін жеке-жеке санға көбейтіп алып, шыққан нəтижелерді қосу керек.

Ал екі таңбалы санды бір таңбалы санға бөлу үшін, оның ондықтары жəне бірліктері

бөлінсе, біртіндеп бөліп, шыққан нəтижелерді қосу керек, ал егер оның ондықтары

бөлінбесе, онда алдымен одан аспайтын жəне осы санға бөлінетін ең үлкен

ондықтарды, содан соң қалған ондықтардан жəне бірліктерден құралатын санды

біртіндеп бөліп, шыққан нəтижелерді қосу керек.

Ал үш таңбалы санды бір таңбалы санға бөлу үшін оның жүздіктері, ондықтары жəне

бірліктері бөлінсе, біртіндеп бөліп, шыққан нəтижелерді қосу керек. Егер оның

жүздіктері бөлінбесе, онда алдымен одан аспайтын жəне осы санға бөлінетін ең үлкен

жүздіктерді, содан соң қалған жүздіктерден жүздіктерден жəне ондықтардан құралатын

барлық ондықтарды (егер бөлінсе, ал егер бөлінбесе, одан аспайтын жəне осы санға

бөлінетін ең үлкен ондықтарды жəне ең соңында қалған ондықтар мен бірліктерден

құралатын санды), бірліктерді санға біртіндеп бөліп, шыққан нəтижелерді қосу керек.

Екі таңбалы санды екі таңбалы санға бөлуді ауызша орындау «сынап көру» тəсілімен

жүзеге асырылады. Мұнда бір таңбалы сандарды кішісінен бастап біртіндеп сынап

көреді, яғни екі таңбалы бөлгішті бір таңбалы санға ауызша көбейтіп, бөлінгіштің

шығатынына көз жеткізеді. «Сынап көру» дұрыс жауап табылғанша жалғастырылады.

Көбейту амалы қатесіз орындалып, бөлгішті бір таңбалы санға көбейткенде бөлінгіш

шықса, соол сан бөліндінің мəні болып табылады.

Қалдықпен бөлу жаңа ұғым қатарына жатпайды. Екі таңбалы санды бір таңбалы санға

қалдықпен бөлу, бөлінгіштен кем бөлгішке бөлінетін кестелік сандарының ішінен

үлкенін анықтау қажет. Осы үлкен санды берілген екі таңбалы саннан азайтқанда

шығатын айырма бөлінгіштен аспайды. Мəселен, 39 : 7 , 39-дан кем жəне 7-ге бөлінетін

кестелік сандар: 14, 21, 28, 35. Осы сандардың ең үлкені 35 жəне 35 : 7= 5,  39 – 35 =4.

Демек, 39 : 7 – 5 (қалд. 4). Тексеру: 7 * 5+4=39.

Қалдықпен бөлу  - ілгеріде қарастырылатын бөлу алгоритмінің (жазбаша бөлудің) ең

негізгі кезеңдерінің бірі. Ендеше, оған машықтандыру – бөлудің дұрыс жəне шапшаң

орындаудың алғы шарттарының бірі. Осыны ескерген жөн. Өйткені, осы арқылы үш

таңбалы санды бір таңбалы санға жазбаша бөлуді оқытып – үйретуге дайындық

жасалады. Қалдықтың бөлгіштен кем болуы ескеруі қажет.

Ауызша көбейту мен бөлудің тəсілдері амалдарды орындаудың кестелік жағдайларына,

нөл мен бірдің қасиеттеріне жəне  қосындыны  санға көбейту мен бөлу ережелеріне

негізделе енгізіледі.

1. 0, 1, 10, 100 сандарын көбейту мен бөлудің ерекше жағдайлары.

1. Теңдіктерді салыстыру негізі:

3 * 1=3,

5 * 1=5,

10 * 1=10,   100 * 1=100,  999 * 1=999

қорытынды жасалады: кез келген санды 1-ге көбейткенде сол санның өзі шығады.

3 * 0=0,

5 * 0 =0,   10 * 0=0,   100 * 0=0,

999 * 0=0

қорытынды жасалады: кез келген санды 0-ге көбейткенде нөл шығады.

2. Бірдей қосылғыштарды қосу ретіндегі көбейтудің анықтамасы.

1 * 3=3, 1 * 9=9, 1 * 99=99, 1 * 999=999, 1 * 3=1+1+1=3; 1 * 9=1+1+1+1+1+1+1+1+1=9

жəне т.б. қорытынды: 1-ді кез келген санға көбейткенде, сол санның өзі шығады.

3. Көбейту мен бөлудің байланысы негізіндегі тəсілдер:

3:3=1 өйткені,  3 * 1=3 9:9=1 өйткені, 9 * 1=9

3:1=3 өйткені,  1 * 3=3 9:1=9 өйткені, 1 * 9=9

0:3=0 өйткені,  3 * 0=0 0:9=0 өйткені,  9 * 0=0

0-ге бөлуге  болмайды.

4. 10-ға, 100-ге, … көбейту мен бөлу тəсілдері:

Көбейту мен бөлудің байланысы негізіне 10 санына көбейту тəсілдері түсіндіріледі:

10 * 3 нені білдіреді? 10+10+10=30 (немесе 1 онд. * 3=3 онд. ⇒ 10 * 3=30), яғни 10-ды

3 рет алғанда, 30 шығады.

3 * 10 қалай табылады? ⇒ 3 * 10=10 * 3=30, яғни көбейтудің ауыстырымдылық қасиеті

қолданылады.

30 : 3 нені білдіреді? 3 онд. : 3=1 онд. ⇒ 30 : 3=10 немесе 30 : 10=3, өйткені  3 * 10=30,

яғни көбейту мен бөлудің өзара байланысы қолданылады.

2. Толық ондықтарды (жүздіктерді, мыңдықтарды, …) көбейту мен бөлу тəсілдері.

Сандар қатарының кеңеюіне орай кестелік көбейту мен бөлу туралы білімді

тасымалдау негізінде көбейту мен бөлудің кестесін оқыту негізінде енгізіледі жəне

білімнің дидактикалық бірлігін ірілендіру идеясы жүзеге асырылады:

4 * 2  2 * 3  10 : 3   8 : 3

400 * 2  2 * 300 1000 : 3  800 : 3

Қорытынды: көбейту мен бөлудің кестесін қолдана отырып, кез келген толық

(разрядтық) санды көбейтуге жəне бөлуге болады.

Санның дəрежесі.

Өрнектерді салыстыру:   3+3 жəне 3 * 3

3+3+3 жəне 3 * 3 * 3

Қорытынды: сол жақта – бірдей қосылғыштарды қосу, оң жақта – бірдей

көбейткіштерді көбейту.

Бірнеше бірдей қосылғыштарды қосуды көбейтумен алмастыру:

3+3=6 ⇒ 3 * 2=6  3+3+3=9 ⇒ 3 * 3=9

Көбейтіндіде 3 саны неше рет көбейткіш ретінде алынған:

3 * 3 ⇒ 3-тен екі рет,  3 * 3 * 3 ⇒ 3-тен үш рет;

Екі көбейткіштің көбейтіндісін көбейткіштердің квадратымен, 3 * 3=32 = 27

алмастыруға болады.