Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

• МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ
• НАД НИМИ

• Матрицей размера m x n называется
• прямоугольная таблица чисел,
• содержащая m строк и n столбцов.

• Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Обозначение:

• Обозначение:

• - матрица размерности m x n

• - элемент матрицы i –ой строки и j -го столбца i=1,2…m j=1,2…n

• Две матрицы называются равными, если
• у них одинаковая размерность и
• совпадают строки и столбцы.

• Если число строк матрицы равно числу ее
• столбцов, то такая матрица называется
• квадратной.

• Пример:

• - квадратная матрица размерности 3х3

• Элементы матрицы aij , у которых номер
• столбца совпадает с номером строки,
• называются диагональными.

• Если в квадратной матрице все
• диагональные элементы равны 1, а
• остальные элементы равны 0, то
• она называется единичной.

• единичная матрица

• Матрица любого размера называется
• нулевой, если все ее элементы равны 0.

• нулевая матрица

• Матрица, состоящая из одной строки,
• называется матрицей-строкой или
• вектором-строкой.

• матрица-строка

• Матрица, состоящая из одного столбца,
• называется матрицей-столбцом или
• вектором-столбцом.

• матрица-столбец

Распределение ресурсов по отраслям экономики:

• Распределение ресурсов по отраслям экономики:

• С помощью матриц удобно описывать различного рода зависимости.
• Например:

Эту зависимость можно представить в виде матрицы:

• Эту зависимость можно представить в виде матрицы:

• Где элемент aij показывает сколько i – го ресурса потребляет j – отрасль.
• Например, a32 показывает, сколько воды потребляет сельское хозяйство.

Полученные произведения образуют итоговую матрицу.

• ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

• 1. Умножение матрицы на число

• Чтобы умножить матрицу на число, надо
• каждый элемент матрицы умножить на
• это число.

• Полученные произведения образуют итоговую матрицу.

Пусть дана матрица

• Пусть дана матрица

• Умножаем ее на число λ:

• Где каждый элемент матрицы В:

• Где:

• Например:
• Умножая матрицу

• на число 2, получим:

• 2. Сложение матриц

• Складываются матрицы одинаковой
• размерности. Получается матрица той же
• размерности, каждый элемент которой
• равен сумме соответствующих
• элементов исходных матриц.

Пусть даны матрицы

• Пусть даны матрицы

• Складываем их:

• Где каждый элемент матрицы С:

• Аналогично проводится вычитание матриц.

• Пример.

• Найти сумму и разность матриц:

• Решение:

• 3. Умножение матриц

• Умножение матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.
• Тогда каждый элемент полученной матрицы равен сумме произведений элементов i – ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй.

Пусть даны матрицы

• Пусть даны матрицы

• Умножаем их:

• Где каждый элемент матрицы С:

• Пример.

• Найти произведение матриц:

• Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, следовательно их произведение существует:

• Решение:

Теперь перемножим матрицы в обратном порядке:

• Теперь перемножим матрицы в обратном порядке:

• Умножение матриц в общем случае некоммутативно:

Перечисленные операции над матрицами обладают следующими свойствами:

• Перечисленные операции над матрицами обладают следующими свойствами:

• А+В=В+А

• (А+В)+С=А+(В+С)

• 1

• 2

• λ(А+В)= λА+λВ

• А(В+С)=АВ+АС

• А(ВС)=(АВ)С

• 3

• 4

• 5

• 4. Транспонирование матриц

• Матрица АТ называется
• транспонированной к матрице А, если
• в ней поменяли местами строки
• и столбцы.

• (АТ)Т=А

• (А+В)Т=АТ+ВТ

• свойства операции
• траспонирования:

• 1

• 2

• (λА)Т= λАТ

• (АВ)Т=ВТАТ

• 3

• 4

• Пример.

• Транспонировать матрицу:

• Решение:

• ОБРАТНАЯ МАТРИЦА

• Матрица A-1 называется обратной к
• матрице А, если
• АA-1=A-1А=Е
• где Е – единичная матрица

• Алгоритм нахождения
• обратной матрицы

• 1

• Определяем, квадратная ли
• матрица. Если нет, то
• обратной матрицы для
• нее не существует.

• 2

• Находим определитель матрицы.
• Если он равен нулю, то обратной
• матрицы не существует.

• 3

• Заменяем каждый элемент матрицы
• его алгебраическим дополнением.

• 4

• Полученную матрицу транспонируем.

• 5

• Каждый элемент полученной
• матрицы делим на определитель
• исходной матрицы. Получаем
• матрицу, обратную к данной.

• 6

• Делаем проверку. Для этого
• перемножаем полученную и исходную
• матрицы. Должна получиться
• единичная матрица.

• Пример.

• Найти матрицу, обратную к матрице

Применяем алгоритм нахождения обратной матрицы.

• Применяем алгоритм нахождения обратной матрицы.

• Решение:

• Находим определитель:

• Матрица квадратная, следовательно обратная матрица для нее существует.

• 1

• 2

• Находим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы:

• 3

• Составляем из полученных значений матрицу:

• Транспонируем ее:

• Каждый элемент матрицы делим на определитель Δ=1 и получаем обратную матрицу:

• 4

• 5

• Проверяем:

• 6