Екінші ретті дифференциалды теңдеулері ii-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер
жүктеу/скачать 58,69 Kb.
|
2 Екінші ретті дифференциалды теңдеулері
- Бұл бет үшін навигация:
- 5.2 теорема
- Дәлелдеуі. 1)
|
Екінші ретті дифференциалды теңдеулері II-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулер II-ші ретті сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеулерді қарастырамыз , (5.4) . (5.1) 5.2 теорема (5.4) сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі осы теңдеудің кез келген дербес шешімі мен (5.4)-ке сәйкес (5.1) біртекті теңдеудің жалпы шешімінің қосындысы болады (5.5) – (5.4)-тің шешімі, – (5.1)-дің шешімі, – (5.4)-тің шешімі кейбір дербес шешімі. Дәлелдеуі. функциясын алайық. Осы функция (5.4)-тің шешімі болатынын көрсетейік. Ол үшін туындыларын есептейміз , . Туындыларды (5.4)-ке орнына қойып , яғни тепе-теңдікке келдік: . функциясы (5.4)-тің жалпы шешімі болатынын көрсетейік. (5.4)-тің кез келген шешімін алайық, онда біртекті теңдеудің жалпы шешімі болады, себебі төмендегі теңдік орындалады . функциясы сызықтық біртекті теңдеудің шешімі болғандықтан, оны түрінде жазуға болады, яғни , демек, (5.5)-тен кейбір дербес шешімді ажыратып алдық. Олай болса, (5.5) – сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі. Теорема дәлелденді. Еркін тұрақтыларды вариациялау көмегімен табу жолын көрсетейік. – (5.1) сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімі болсын. Дербес шешімін табамыз. Жалпы шешімі (5.6) түрінде жазылсын. туындысын есептейміз: . және функцияларын (5.7) теңдігі орындалатындай етіп таңдаймыз. Онда . -ті есептейміз:, оны (7.1)-ге қойсақ, мынаны аламыз: , яғни . (5.8) Сонымен, егер де мен функциялары (5.7) мен (5.8)-ге, дәлірек айтқанда (5.9) жүйесіне қанағаттандырса, онда (5.6) берілген теңдеудің шешімі болады мен сызықтық тәуелсіз функциялар болған соң, жүйенің анықтауы-шы болады, сондықтан (5.9)-дың жалғыз , шешімі табылады. Осыдан , екенін таба-мыз. Табылған мен функцияларын (5.6)-ға қойсақ, (5.4) сызықтық біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін анықтаймыз. Тұрақты коэффициентті II-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулер II-ші ретті сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеулерді қарастыра-мыз , (5.10) мұндағы мен – тұрақты шамалар. (5.11) теңдеуі (5.10)-ға сәйкес келетін сипаттауыш теңдеу болады. 5.3 теорема 1) Егер (5.11) теңдеуінің нақты түбірі бар болса, онда функциясы (5.10) теңдеуіне қанағаттандырады. 2) Егер (5.11)-дің комплекс түбірлері бар болса, онда және функциялары (5.10)-ға қанағаттандырады. Дәлелдеуі. 1) – (5.11) теңдеуінің түбірі болсын. функциясын жазып алып, оның туындыларын есептеп, (5.10)-ға орындарына қоямыз. Онда , , , , яғни функциясы (5.10) теңдеуіне қанағаттандырады. 2) Дәлелдеуі теореманың бірінші бөлімінің дәлелдеуіне ұқсас. 5.4 теорема Егер (5.11) сипаттауыш теңдеудің түбірлері: а) нақты () және әртүрлі () болса, онда (5.10)-ның жалпы шешімі болады; б) нақты () және өзара тең () болса, онда (5.10)-ның жалпы шешімі функциясы болады; в) комплексті түйіндес (, ) болса, онда (5.10)-ның жалпы шешімі . Дәлелдеуі. а) болсын, онда , – (5.10)-ның дербес шешімдері болады. Оларды сызықтық тәуелділікке зерттейміз: себебі , яғни мен сызықтық тәуелсіз, сондықтан . б) болсын, онда – (5.10) теңдеуінің кейбір дербес шешімі болады. Остроградский-Лиувилль формуласы бойынша -ні есептейміз: , демек, . в) , болсын, онда 5.3 теормасы бойынша , – дербес шешімдері болады. , функцияларын сызықтық тәуелділікке зерттейміз: , осы қатынастан мен сызықтық тәуелсіз екені көрінеді, онда . теңдеуінің шешімін табу алгоритмі 1. (5.4)-ке сәйкес біртекті дифференциалдық теңдеуді жазамыз: ; 2. оның сипаттауыш теңдеуін шешеміз; 3. жалпы шешімін жазып аламыз; 4. еркін тұрақтыларды вариациялау әдісі көмегімен -ді табамыз, ол үшін (5.9) жүйесінен функцияларын анықтап аламыз; 5. теңдеудің шешімін жазамыз. жүктеу/скачать 58,69 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|