Кафедра отырысында қарастырылды 20 ж

 

1

Қазақстан Республикасы Білім және Ғылым Министрлігі 

Қ. Жұбанов атындағы Ақтөбе өңірлік мемлекеттік университеті 

Физика-математика факультеті 

Математика және математиканы оқыту әдістемесі кафедрасы 

 

 

«Бекітемін» 

 Оқу және оқу-әдістемелік   

 жөніндегі проректор              

 __________Р. А. Бекназаров 

«____»____________20__ ж. 

 

 

 

 

ПӘННІҢ ОҚУ-ӘДІСТЕМЕЛІК КЕШЕНІ 

 

АG 2203 «Аналитикалық геометрия» пәні бойынша 

5В010900 «Математика» мамандығына арналған  

 

Семестр: 3, 4 

Кредит саны: 4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ақтөбе  

2014 жыл 

 

2

«Аналитикалық  геометрия»  пәнінен  оқу-әдістемелік 

кешен  ҚР  МЖМБС  6.08.065-2010  және  оқу  бағдарламасы  

негізінде құрастырды. 

 

Құрастырған: Сұлтанғалиева Лида Серікбайқызы, аға оқытушы 

 

 

Кафедра  отырысында  қарастырылды  «___»  __________  20__  ж. 

Хаттама №____  

 

Кафедра меңгерушісі _________________Алданов Е. С. 

 

 

 

 

Факультеттің 

оқу-әдістемелік 

Кеңесінде 

талқыланды 

«___»________ 20___ж.   Хаттама №____  

 

Факультет деканы ____________________ Мұхамбетова А. А. 

 

 

 

Университеттің оқу-әдістемелік кеңесінде мақұллданды  

«___» _________________ 20___ ж.  Хаттама №____ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

АЛҒЫСӨЗ 

 

ПОӘК  негізгі  білім  беру  бағдарламасының  бөлігі  болып 

табылады  және  келесі  мақсаттар  мен  міндеттерге  жетуге 

мүмкіндік  беретін  АG  2203  «Аналитикалық    геометрия»  оқу 

пәнінен  сапалы  білім  беру  мен  үйрету  үшін  қажетті  және 

жеткілікті  оқу-әдістемелік құжаттар жиынтығын ұсынады: 

  дайындық  бағытына  сәйкес  мамандарды  дайындау 

тиімділігі мен сапасын арттыру; 

  ғылымның,  техника  мен  өндірістің  жетістіктерін  ескере 

отырып,  оқу  пәнін  үйрету  мазмұны  мен  ұйымдастырылуын 

жүйелеу; 

  білім 

беру 

процесінің 

әдістемелік 

жабдықталуын 

жақсарту; 

  студенттердің  өз  бетінше  оқу  жұмыстары  мен  білімін 

бақылауды тиімді жоспарлау және ұйымдастыру; 

  оқу  материалын  меңгеруде  студенттерге  әдістемелік 

көмек көрсету; 

педагогикалық  шеберлігін  арттыруда  оқытушыларға  көмек 

көрсету. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

ПӘНДІ ӘДЕБИЕТПЕН ЖАБДЫҚТАУ КАРТАСЫ 

 

Шифр 

(кітапх.) 

Автор, аталуы, 

баспа жылы  

Студ. 

саны 

Бары  

 

кітапх. 

(саны) 

каф. 

(саны) 

элект.  

түрі 

студ. 

қамт. 

ету 

(%) 

 

Негізгі әдебиеттер 

 

 

 

 

 

 

Атанасян Л.С. 

Аналит. геом. М.: 

П., 1967 

 

8 

 

 

 

 

Атанасян Л.С., 

Базылев В.Т. 

Геометрия. 

Учебное пособие. 

М.: П., 1987 

 

6 

 

 

 

 

М. Исқақов., М. 

Құлқашева. 

Аналит. геом. 

жаттығу. мен 

есепт. 

 

15 

 

 

 

 

Қ. 

Қабдықайырұлы. 

Жоғ. матем. курсы 

 

20 

 

 

 

 

Цубербиллер О.Н. 

Задачи и упраж-я 

по аналит. геом. 

М., 1980 

 

12 

 

 

 

 

Қосымша 

әдебиеттер 

 

 

 

 

 

 

Беклемишев 

Д.В   

Курс  аналит.  геом. 

и 

лин. 

алг. 

М;Наука 1988. 

 

10 

 

 

 

 

Беклемишев 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

А.А.,Петрович 

А.Ю.,Чубаров  И.Я. 

Сб. 

задач 

по 

аналит.            

геом.  и  лин.  алг. 

М;Наука 1987. 

 

Дадаян 

А.А.,Масалова Е.С. 

Аналит.  геом. и 

элементы лин.  алг. 

 

 

 

 

 

 

Задачник 

–

практикум 

по 

аналит.  геом.    и 

высш. 

алг. 

Под 

общей    редакцией 

В.А.Волкова. 

 

6 

 

 

 

 

Ж.  Қайдасов  және 

т.б.  Аналит.  геом. 

және 

сызық. 

алгебра 

элем-рі. 

Ақтөбе, 2002. 

 

 

 

 

 

 

Буров Я.С., 

Никольский С.М. 

Элементы лин. алг. 

и аналит. 

геометры. 

 

 

 

 

 

 

Ефимов 

Н.В.Краткий  курс 

аналит. 

геом. 

М;Наука 1975 

 

 

 

 

 

 

Погорелов 

А.В.Аналитическая 

геометрия М;Наука 

1978. 

 

 

 

 

 

 

6

ПӘН БОЙЫНША ТАПСЫРМАЛАРДЫ ОРЫНДАУ ЖӘНЕ 

ТАПСЫРУ КЕСТЕСІ 

 

№ 

р/с 

СӨЖ атауы 

Тапсырма 

беру 

мерзімі 

СӨЖ 

қабылдау 

мерзімі 

Сағат 

саны 

СӨЖ 

№1 

Аффиндік  координаталар 

системасы.  

1 апта 

3 апта  

(3 семестр) 

10 

СӨЖ 

№2 

Екі 

вектордың 

арасындағы 

бұрыш. 

Ортонормаланған 

координаталар жүйесі. 

1 апта 

6 апта 

(3 семестр) 

10 

СӨЖ 

№3 

n-өлшемді 

евклидтік 

геометрияның 

аксиомалары. 

1 апта

 

3 апта  

(4 семестр) 

10 

СӨЖ 

№4 

Үш  өлешмді  евклидтік 

кеңістіктің қозғалыстары. 

1 апта

 

6 апта 

(4 семестр) 

10 

СӨЖ 

№5 

Аналитикалық геометрия 

курсына шолу. 

1 апта

 

10 апта 

(3, 4 

семестр) 

24 

СӨЖ 

№6 

Аналитикалық  геометрия 

курсында 

өткен 

тақырыптарды қайталау. 

1 апта

 

14 апта 

(3, 4 

семестр) 

24 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

ДӘРІС САБАҚТАРЫНЫҢ КЕШЕНІ 

 

БІРІНШІ МОДУЛЬ.  ЖАЗЫҚТЫҚ 

 

1.1 дәріс. Кіріспе. 

 

1.2 дәріс. Координаталар әдісі. 

 

Дәріс 

мазмұны: 

Түзудің 

бойындағы 

нүктенің 

координаталары. 

Бағытталған 

кесінділерді 

қосу, 

оның 

ұзындығы.  Түзудің  бойындағы  кесіндіні  берілген  қатынаста 

бөлу. 

А{хх,ух,іх) және в(х2,у2,і2) нүктелеріберілсін (21-сурет). Сонда 

(4) - формуладағы ов және 

ОА 

мәндерін (3) — формулаға 

қойып, вектошан вектооды алү амалын ооындасак. онда 

 

пв-\х2-лх,    у2-уь    і2-Ч) 

яғни, ~Хв векторының координаталарын табу  үшін, оның соңғы 

нүктесінің  координаталарынан  бастапқы  нүктесінің  сәйкес 

координаталарын алып тастау керек. 

Мысал. Декарттық координаталар жүйесінде 

параллелопзамнын бірінен кейін бірі келетін үш төбесі 

А(-2,\\ В(

І

,3),

 

С(4,0) берілген. Оның төртінші 

о(х,у) 

төбесін 

табу 

керек. 

АВСВ 

параллелограмм болғандықтан 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

2. Екі нүктенің ара қашықтығы (кесіндінің үзындығы). Түзу 

сызықтағы  координата  өсінің  А  және  А  нүктелерінің  ара 

қашықтығы  (оны    г(А,В)  арқылы  белгілейміз)  олардың  сәйкес 

координаталары  хА  жөне  хв  арқылы  мына  формула  бойынша 

анықталады: 

Енді  А  (хх,ух)  және  В  (х2,у2)  жазықтықтың  кез  келген  екі 

нүктесі  дейік.  Олардың  ара  қашықтығын  табайық.  Ол  үшін 

А 

және  в  нүктелері  арқылы  тікбүрышты  координаталар  өстеріне 

олармен  қиылысатындай  етіп  параллель  түзулер  жүргіземіз 

(22-сурет).  АВС  үшбүрышына  Пифагор  теоремасын  қолданып 

мынаны табамыз: 

Сонымен,  жазьщтықтағы  екі  нүктенің  ара  қаіішқтығьш  (7) 

формула  бойынша  табамыз.  Осы  сияқты,  қырлары  координата 

өстеріне  параллель,  диагоналі 

АВ 

болатын  параллелепипедке 

Пифагор  теоремасын  қолданып  кеңістіктің  А^х^у^і^)  жөне 

в(х2,у2,г2)  нүктелерінің  ара  қашықтығын  табу  үшін  мына 

формуланы аламыз. 

 

3.  Кесіндіні  берілген  қатынасқа  бөлу.  А^у^гЛ  және 

в(х2,у2,г2)  кеңістіктің  бір-бірінен  өзге  екі  нүктесі  де,  м(х,у,і) 

нүктесі АВ түзуінің кез келген нүктесі болсын. 

Коллинеар  дм  және  м#  векторлары  үшін  мына  екі  жағдай 

орындалуы мүмкін: 

АМПШ   немесе   ш ТІЖ > *™ АМ =ХМВ       (9) Егер М 

нүктесі АВ кесіндісінің ішкі нүктесі болса, онда X > 0, ал М 

 

 

 

9

нүктесі АВ кесіндісінің сыртқы нүктесі болса, онда X < 0 

болады. 

 

Мынадай  есеп  қойылсын: 

А 

және  в  нүктелерінің 

координаталары  және  Х^-і  саны  берілген  (белгілі)  деп  санап, 

м(х,у,г) нүктесінің координаталарын табу керек дейік. 

Координаталарымен берілген векторды санға  

 

 

 

көбейту ережесі мен екі 

вектор  теңдігінің  анықтамасын  еске  алсақ  (9)  тендік  мынадай 

үш теняікке мәнлес болып табылады. 

Бүл  тендіктер 

АВ 

кесіндісін  берілген  X  қатынасына  бөлетін 

((9)-орыңдалатьш  мағнада)  м  нүктенің  координаталарьш 

анықтайды.  Егер  М  нүктесі  АВ  кесіндісін  қақ  бөлетін  болса, 

(бүл  жағдайда  Х  =  \),  онда  (10)  формулалар  мына  түрде 

жазылады: 

 

Бүл  формулалар  бізге  геометрияның  мектептегі  курсынан 

белгілі  кесшдінің  қақ  ортасьшьщ  координаталарын  табу 

формулалары.  Мысалы,  АВС  үшбүрыш  төбелерінің  гх,г2,гъ 

радиус-векторлары 

берілсін. 

Үшбүрыш 

медианаларының 

қиылысу  нүктесінің  радиус-векторын  табу  керек  және  оны 

декарттық  координаталар  арқылы  жазу  керек  (мүндағы  Л-

=(х\>У\іЗі)>     Г2^(х2,у2,і2),   ?ъ={хъ,уъ,іъ). 

 

Негізгі әдебиет: [1]. 

Қосымша әдебиет: [1]. 

 

1.3 дәріс. Жазықтықтағы нүктелер. 

 

Дәріс 

мазмұны: 

Жазықтықтағы 

нүктелердің 

координаталары.  Жазықтықтағы  екі  нүктенің  ара  қашықтығы. 

Жазықтықтағы кесіндіні берілген қатынаста бөлу. Үшбұрыштың 

Бүдан X 

Ф 

-1 болғандықтан, мынадай үш тендікті аламыз: 

 

 

 

10

ауданын 

төбелерінің 

координаталары 

бойынша 

табу. 

Координаталарды  түрлендіру.  Полярлық  координаталар  және 

олардың декарттық координаталармен байланысы. 

Жазықтықта  о  нүктесі  және  осы  нүкте  бастапқы  нүктесі 

болатын  /  сәулесін  аламыз.  /  сәулесінің  бағыты  }х  бірлік 

векторының  бағытымен  анықталсын.  о  нүктесін  полярлық 

полюс, ал / сәулесін полярлық өс деп атайды. Жазықтықтағы м 

нүктесінің  орны  екі  нақты  санмен,  атап  айтқанда,  р  =  |<9М| 

санымен  және  сағат  тілінің  айналу  бағытына  қарсы  бағытпен 

өлшенетін  полярлық  /  өсі  мен  ом  векторының  арасындағы  Ф 

бүрышымен толықтай анықталады (24-сурет). 

р > 0 саны полярлық радиус, ал Ф саны полярлық бүрыш 

деп  аталады. Бүл  сандар  Мнүктесінің  полярлық  координаталары 

деп  аталып  М  әріпінен  кейін  ретпен  жақша  ішінде  жазьшады, 

яғни м(р,ф). Полярлық полюс нүктесінде р = 0 болады да, ал Ф 

бүрышы  бір  мәнді  анықталмай,  \0;2к)  аралығының  кез  келген 

мәнін  қабылдайды.  Жазықтықтың  барлық  басқа  нүктелері  үшін 

р  >  0  болады  да,  ал  фе[0;2л).  р>0  болатынжәне  0<ф<2я 

теңсіздігіқанағаттанатынкез  келген  (р,  ф)  сандар  полярлық 

координаталары болатын жазықтықта жалғыз ғана нүкте бар. 

    Кеңістікте  о  нүктесін  белгілеп  алып  және  осы  нүкте 

арқылы  (а)  жазықтығын  жүргізейік.  (а)  жазықтығында  жатқан 

басы о нүктесінде орналасып, үстінде белгілі бағыт көрсетілген 

сәулені 

полярлық 

өс 

деп 

аламыз. 

(а) 

жазықтығына 

перпендикуляр  %  векторын  алып,  £  векторының  соңғы 

нүктесінен  қарағанда  (а)  жазықтығы  о  нүктесін  айнала  сағат 

тілінің бағытына қарсы бағытта бүрылады деп санаймыз. 

Кеңістікте  м  нүктесі  берілсін.  Осы  нүктеде  (а) 

жазықтығына ММХ перпендикулярын жүргізейік. 

М  нүктесінің  кеңістіктегі  цилиндрлік  координаталарын 

(р,ф,г) арқьшы белгілейік. Мүндағы р, Ф сандары жазықтықтағы 

о  полюсі  мен  /  полярлық  өсіндегі  Мх  нүктесінің  полярлық 

координаталары,  ал  і  саны  һ  векторына  коллинеар  ММХ 

векторының координатасы (26а-сурет). 

Егер  абсцисса  өсінің  оң  жартысы  полярлық  /  өсімен  дәл 

келіп, ал  һ векторы аппликата  өсінің  орты болатын болса, онда 

 

11

кеңістікте  декарттық  тік  бүрышты  координаталар  жүйесін 

енгізсек,  м  нүктесінің  декарттық  (х,у,і)  координаталары,  оның 

цилиндрлік координаталары арқылы былай өрнектеледі.  

 

Негізгі әдебиет: [1]. 

Қосымша әдебиет: [1]. 

 

1.4 дәріс. Түзу сызық. 

 

Дәріс  мазмұны:  Түзудің  бұрыштық  коэффициентпен 

берілген теңдеуі. Түзудің кесінділік теңдеуі. Түзудің нормальдік 

теңдеуі,  жалпы  теңдеуі.  Түзудің  жалпы  теңдеуін  нормальдік 

теңдеуге  келтіру.  Белгілі  бағытпен  берілген  нүктеден  өтетін 

түзудің  теңдеуі.  Екі  нүктеден  өтетені  түзудің  теңдеуі.  Берілген 

нүктеден  берілген  түзуге  дейінгі  қашықтық.  Екі  түзудің 

арасындағы бұрыш. Екі түзудің параллеьдік, перпендикулярлық 

шарттары. 

1-аныктама. (80) тендеу түзудің жалпы тендеуі деп 

аталады. 

1-теорема.  Жалпы  тендеуі  арқылы  анықталған  й  түзуі, 

сол  түзудің  і  к  >рмальдық  векторы  деп  аталатын  п  =  (

А

,

 

в) 

векторына перпендикуляр бодады. 

(80)  тендеу  кем  дегенде  бір  (х0,у0)  шешімі  бар 

болатынын тексеру і иі.ін емес. 

Шынында  да,  А  және  В  коэффициенттері  бір  уақытта 

нөлге ішіллмайтын болғандьгқтан, д 

Ф 

0 деп алайьгқ. Егер у = 

у0 десек, онда (НО) і ендеуден мына мәнді шығарып аламыз: 

Демек,

 

Ах0 + Ву0 + С = 0 

(89) 

теңбе-тендігі орындалатындай М0(х0,у0) нүктесі табылады. Егер 

(80)  теңдеуден  (89)  теңбе-тендігін  мүшелеп  альш  тастасақ,  онда 

(80) тендеуге мәндес мына тендеуді аламыз: 

 

12

(90)  (90)  шарт  (і  түзуінде  жатқан  кез  келген  м0М  =(х-

х0,у-у0) 

векторы 

мен 

п 

= 

(А,в) 

векторларының 

перпендикулярлық 

(ортогональдық) 

шартын 

(белгісін) 

көрсетеді. 

2-аныктама.  (90)  тендеу  М0(х0,у0)  нүктесі  арқылы 

өтетін,  п  =  (А,В)  векторына  перпендикуляр  түзу  тендеуі  деп 

аталады.  Мүндағы  п  =  (

А

,

 

В)  векторы  (90)  тендеу  арқылы 

берілген түзудің нормальдық векторы деп аталады. 

 

Жалпы  жағдайда  (80)  тендеудің  барлық  А,  В,  С  үш 

коэффициенттері  де  нөлге  тең  емес  деп  санаймыз.  Мынадай 

мүмкін болатын дербес жағдайларды қарастырайық: 

1) с  =  0  дейік,  сонда  (80)  тендеу  Ах  +  Ву  =  0  түрінде 

жазылады да, бүған сәйкес түзу координаталардың бас нүктесін 

басып  өтеді,  себебі  О(0,0)  нүктесінің  координаталары  бүл 

тендеуді қанағаттандырады. 

2) в  =  0  дейік,  сонда  (80)  тендеу  Ах  +  С  =  0  түрінде 

жазылады да,  Оу өсіне параллель түзуді  анықтайды, себебі  п  = 

(А,0\іОу • 

3) А  =  0  дейік,  сонда  (80)  тендеу  Ву  +  С  =  0  түрінде 

жазылады да,  Ох өсіне параллель түзуді  анықтайды, себебі  п = 

(0, в)±Ох ■ 

4) в  =  0,  С  =  0  дейік,  сонда  А 

Ф 

0  болғандықтан  (80) 

тендеу х = 0 түрінде жазылады да, Оу өсін анықтайды (яғни түзу 

координаталардың бас нүктесі арқылы өтіп, Оу өсіне параллель 

орналасқан). 

5) А = 0, С = 0 дейік, сонда 

ВФ

О

 

болғандықтан (80) тендеу 

у=0 түрінде жазьшады да, Ох өсін анықтайды. 

2-теорема. Нөлдік емес 8 = (і,т) векторы (80) тендеумен 

берілген сі түзуінің бағыттауыш векторы болуы үшін 

 

13

А1 + Вт = 0 

(91) 

шартының орындалуы қажетті және жеткілікті. 

 

Негізгі әдебиет: [1]. 

Қосымша әдебиет: [1]. 

 

1.5 дәріс. Екінші ретті қисықтар және олардың жабайы 

теңдеулері. 

 

Дәріс мазмұны: Эллипстің жабайы теңдеуі және теңдеуі 

бойынша  зерттеу.  Радиус,  вектор  және  эксцентриситет. 

Эллипске  жүргізілген  жанама  мен  нормальдік  теңдеулері. 

Түйіндес  диаметрлері,  директриссалары.  Эллипстің  түзумен 

қиылысуы.  Гиперболаның  жабайы  теңдеуі  және  теңдеуі 

бойынша  зерттеу.  Радиус,  вектор  және  эксцентриситет. 

Гиперболаның 

асимптоталары, 

жанама 

мен 

нормалдық 

теңдеулері. 

Түйіндес 

диеаметрлері,директриссалары. 

Гиперболаның  түзумен  қиылысуы.  Параболаның  жабайы 

теңдеуі  және  теңдеуі  бойынша  зерттеу.  Параболаға  жүргізілген 

жанама  мен  нормалдық  теңдеулері,  параболаның  диаметрлері. 

Параболаның түзумен қиылысуы. 

Аныктама.  Фокусы  деп  аталатын,  берілген  Ғ  нүктесінен 

және  директрисасы  деп  аталатьш,  берілген  й?түзуінен  тең 

қаіиықтықта жатқан жазықтық  нүктелері  жиынын  парабола  деп 

атайды. (Ғёсі нүктесі 

мен 4 түзуі қарастырылып отырған жазықтықта орналасқан). 

Параболаның  теңдеуін  арнайы  тандап  алынған  декарттық  тік 

бүрышты координаталар жүйесінде табайық. 

Ғнүктесі 

арқылы 

<ідиректрисасына 

перпендикуляр 

түзу 

жүргіземіз:  Б  нүктесі  осы  түзулердің  қиылысу  нүктесі,  ал  о 

нүктесі Ш^кесіндісінің ортасы дейік (56-сурет). 

 

14

ОҒ  түзуін  Ох  өсі  деп,  ал  о  нүктесі  арқылы  Ох  өсіне 

перпендикуляр  бағыты  төменнен 

  жоғары 

қарай  бағытталған  түзуді  Оу  өсі  деп  алайық.  Сонда  о 

координаталардың 

бас 

нүктесі 

болады. 

Сонымен, 

координаталар жүйесін таңдап алдық.  р(ғ,сі)=р деп 

белгілейік. Сонда 

0 

болады, ал ғ фокусының координаталары

болады, яғни 

1

параболаның кез келген айнымалы нүктесі дейік. 

Бүл нүктенің фокус пен директрисадан қашықтьщтарьш сәйкес 

р(м, ғ) және р(м,сі) арқылы белгілейік. Сонда анықтама 

бойынша 

 (131) 

мүндағы

 Бүл мәндерді (131) 

тендікке апарып қоямыз да былай жазамыз: 

 

немесе радикалдан қүтылып және түрлендіріп 

 (132) 

гендеуін шығарып аламыз. 

Сонымен, 

параболаның 

кез 

келген 

айнымалы 

м(х,у) 

нүктесінің  координаталары  (132)  тендеуді  қанағаттандырады. 

Енді,  координаталары  (132)  теңдеуді  қанағаттандыратын  нүктені 

М* [х*,у* )арқылы белгілейік, яғни 

 (133) 

 

15

Бүдан,  р  >  0  болғандықтан,  х*  >  0  болады.  Сондықтан 

М*нүктесінің  сі  директрисасына  дейінгі  қашықтығы  р{М*,сі) 

болады. (ІЗЗ)тендігін ескеріп, М* нүктесінің Ғ -тен қашықтығын 

табамыз. 

еойтіп,

 

 

(134) 

Демек,

яғни М*нүктесі параболаға тән нүкте 

болып шықты.