Математика дамуындағы жүз жылдықтың қорытындысы
жүктеу/скачать 326,76 Kb.
|
1 2
| Математика дамуындағы жүз жылдықтың қорытындысы XVII ғасырда математиканың даму жолына шолу жасай отырып біз 30-жылдары бой көрсете бастаған революцияның ғасырдың аяғына таман толық жеңіске жеткенінің куəсі боламыз. Негізгі зерттеу объектісі жаңа математикалық жаратылыстанудың қажеттігінен пайда болған аналитикалық өрнектер түріндегі функция ұғымы,ал негізгі зерттеу құралы шексіз аздарды есептеу алгоритмдері болды. Математикалық революцияның бірінші кезеңінде пайда болған аналитикалық геометрияның принциптік мəн-мағынасымен бағасы осы математикалық анализдің қалыптасуына жасаған жағдайы мен ықпалына қарай өлшенеді. Осы тараудың басында айтқанымыздай, математиканың басқа салалары да революциялық өзгерістерге ұшырады. Алгебра бұл ғасырда геометриялық элементтерден едəуір арылып, онда əріптік символикалық аппарат орнығады. Негізгі ғылыми проблематиканың – теңдеулердің жалпы теориясының басы ашылады. Бұл салада қол жеткен табыстар мыналар: алгебралық теңдеулердің келтірімдігі проблемасы, яғни бүгін рационал функцияларды осы тектес екі немесе одан көп функциялар көбейтіндісі түрінде кескіндеу проблемасы қойылып, оны шешуде біраз ілгерілеушілік байқалады. Ньютон өзінің «Жалпы арифметикасында келтірлетін функциялардың иррационал коэффиценттер болған жағдайын қарастырады. Лейбниц бүкіл сызықтық алгебраға ашқан сызықтық теңдеулер жүйесі анықтаушы ұғымының анықтамасын енгізеді.ол мұнда өзінше қос индексацияны пайдаланады. Лейбниц белгісізі бар теңдеудің шешімділігін (үйлесімділігін) қарастырып қазіргі Кратер есімімен аталып жүрген ережені береді; «Детерминант» термині мен символы кейін енгізілген. Алгебраны дамытуға осы қажетті сандар ұғымын кеңейтуін біршама аяқтап, Ньютон нақты сандардың жалпы анықтамасын береді: «Сан деп біз тек бірліктер жиыны ғана емес кез келген шаманың соған тектес бірлік өлшем ретінде алынған басқа шамаға дерексіз қатынасын түсінеміз. Сан үш түрлі болады: бүтін, бөлшек жəне иррационал. Бүтін сан бірлік пен бөлшек бірлігіне еселі үлесімен өлшенеді; иррационал сан бірлікпен өлшенетін болады». Теріс жорамал сандар барған сайын математикада басқа түрдегі сандармен қатарласа қолданыла бастайды. Алайда, олардың əсіресе, жорамал сандардың геометриялық жəне арифметикалық табиғатында анықталмаған жəйттер əлі көп болатын. Үшінші жəне төртінші дəрежелі теңдеулерді радикал арқылы шешу формулалары табылғаннан кейін одан жоғары дəрежелі теңдеулерді осылай шешу əдістері іздестіріледі Лейбниц жəне оның досы сақсондық ақ сүйек Эренфрил Вальтер фон Чирингауз (1651-1708) жəне басқалар бұл мəселемен көп айналысады. 1883 жылы Чинингауз өз атымен аталған алгебралық теңдеуге түрлендіру əдісін ұсынады. Бұл түрлендіру кейіннен бесінші жəне одан жоғары теңдеулерді зерттеуде үлкен қызмет атқарады. XVII ғасырда алгебралық теңдеудің түбірлерінің саны туралы алгебраның негізгі теоремасын дəлелдеуге бастапқы əрекеттер жасалады. Бұл ғасырда геометрияның құрамы да едəуір кеңейеді. Оған геометрияны алгебрамен байланыстыра қарастыратын жоғарыда келтірілген аналитикалық геометирия қосылды. Шексіз аздар анализін геометрияға қолдану мұқтаждығынан біртіндеп математиканың болашақ дербес саласы- дифференциялдықгеометиря қалыптаса бастайды, Проективті геометиряның негізі қаланды. 1636ж француз инженері жəне сəулеткері Ж.Дезарт 1593-1662 перективалар теориясын жасады. Проективтік идеяларды енгізушілер қатарында Дезарттан басқа Б.Паскаль (1640), Ф.Лагир(1685)жемісті еңбек етті. XVII ғасырда нақты ықылас ауған кезде ежелгі сандар теориясы жаңа қарқынмен қайта жандана бастады. Бұл бағыт əсіресе, 1621 жылы Диофанттың «Арифметикасы» грек жəне латын тілінде басылып шыққаннан кейін күшті дамиды. Францияда Ферма бастаған сандар теориясымен айналысатын оқымыстылар тобы ұйымдасады. Декарттың геометриясынан өзгеше аналитикалық геометрияның бір вариантын жасаған Ферма туралы жəне оның шексіз аздар анализінің жетістіктері жайлы біз жоғарыда тоқталғанбыз. Пьер Ферма өмрінің көбін Францияның Тулуда қаласында өткізген.Ол əуелі заң ғылымдары мамандығын алады. Ескі грек, латын, испан т.б. тілдерін жетік меңгереді, осы тілдерде өлең шығарады. Евклид, Архимед, Аполлоний, Папп жəне Диофант еңбектернің түп нұсқаларын өз бетінше оқып, оларды ой елегінен сұрыптай өткізіп, жаңа математикамен ұштастырады. Осы бағытта ерінбей еңбектеніп ұлы математик дəрежесіне жетеді. Ферма математиканың көп салалары бойынша өшпес із қалдырған. Ферманың аса ден қойып айналысқан саласы - сандар теориясы. Ол қысқаша тұжырымды, проблема түрінде жазуға машықтанған ғалым. Əдетте ол теоремалардың дəлелін келтірмейді. Ол көзінің тірісінде бірде-бір еңбектерін жарияламаған, олар тек қолжазба түрінде ғанғ таралған. Сандар теориясы туралы арнайы шығарма жазу ниеті əйтеуір бір себептерден жүзеге аспаған. Ферманың бұл жөніндегі жаңалықтары бізге оның хаттарынан Диофанттың «Арифметикасы» беттеріндегі ескертпелер түрінде жеткен. Тек 1670 жылы Ферма өлгеннен кейін оның үлкен ұлы Самюэль əкесінің бір сыпыра еңбектерінің басын біріктіріп басып шығарады. Біз енді Ферма проблемаларына қысқаша тоқталайық: 1.Ферма жай сандар сырына терең үңіліп, n-нің барлық бүтін мəні үшін тек қана жай сандар беретіндей F(n) өрнегін іздестіреді. Ақырында ол осындай өрнекболуға тиіс деген қорытындыға келеді. Шынында жəне 4 болғанда F(n) жай сандар болатын 3,5,17,257,65 537 мəндерін табады. Алайда, кейіннен Эйлер жай сан емес екенін көрсетеді. Ол ғана емес Гольдбах пен Эйлер де бүтін болғанда барылқ мəндерə жай сандар қазір Ферманың сандары деп аталады. Мұндай сандар шекті ме əлде шексіз бе бұл күнге дейін шешілмеген мəселе. Осыдан комбинаторлық қатынастар Бернуллидің ықтималдық теориясының ғылыми іргетасын қалаған атақты еңбегі «Болжалдау өнерінде» (1685) келтірілген. XVII ғасырдың ортасына дейін ықтималдық бойынша бүтін математикалық теория түгел, есеп, шешуге қолданылатын ешқандай жалпы əдісі болған жоқ. Тек жеке-дара есептерді ғана шешу жолдары белгілі болған, алайда адам практикасының сан-салалары бойынша аса бай материал жинақталады. XVII ғ ортасында ықтималдық теориясын жасауға Паскаль, Ферма жəне Гюйгенс сияқты аса көрнекті оөымыстылар ат салысады.Мəселен, Гюйгенс (1629-1695) «Құмар ойынындағы есеп-қисаптар» атты еңбегінде математикалық ұғымын енгізеді. Ықтималдық теориясының математиканың дербес бір саласы болып қалыптасуында шешуші маңызы болған Я.Бернуллидің «Болжамдар өнері» болды. Мұнда негізгі ықтималдық теориясының басты теоремаларының бірінің- үлкен сандар заңының қарапайым түрі беріледі. Оны Я.Бернулли былай тұжырымдайды: «Қолайлы жағжайлар санының қолайсыз жағдайлар санына қатынасы дəл немесе жуықтап r–дің s–ға немесе барлық жағдайлар санына, r-дің r+s немесе r–дің t–ға қатынасындай болсын. Сонда саны қалауымызша алынған тəжірибелер жасағанда қолайлы бақылаулар санының осы шектерден тыс емес, олардың аралығында жатуы ықтималырақ болатынын, яғни қолайлы жағдайлар санының барлығының санына қатынасы (r+1)/t–ден көп, ал (r-1)/t–ден аз болатынын дəлелдеу керек». Академик А.Н.Колмогоровтың классификациясы бойынша ықтималдылықтар теориясы тарихының бірінші кезеңі Я.Бернуллидің осы жаңалықтарымен анықталады. Басқа салалардағы елеулі жетістерге қарамастан бұл XVII ғ математикасындағы сан жағынан да, сапа жөнінен де айрықша орын алатын шексіз аздар анализі бағытындағы зерттеулер болды. Ньютон, Лейбниц жəне олардың маңына топтасқан оқымыстылар осы зерттеулеріне сүйеніп анализдің жаңа бөлімдері мен өолдану облыстарын ашады. XVII жəне XVIII ғасырлар шекаралығында математикалық анализдің тағы да екі жаңа саласы бойынша зерттеулер қолға алына бастайды.Бұл Лейбниц пен И.Бернуллидің рационал бөлшектерді интегралдауға байланысты жүргізілген комплексайнымалы функциялар теориясының нышаны жəне 1696-97 ж ағайынды Бернуллилер қойған брахистрон, геодезиялық сызықтар, изопериметрлік есептер төңірегіндегі вариациялық есептеудің бастамасы еді. XVIII ғ математиканың дамуы өзінің барлық басты ерекшеліктері тұрғысынан алғанда XVII ғасырдағы ғылыми революцияның тікелей жалғасы болды. 2.XVIII ғасырдағы математиканың негізгі бөлігінің дамуы Анализ жаратылыстану ғылымдарының қарқынды дамуына себеп бола отырып өзіде дамыды. Осындай алмасудың идеялары нәтижесінде математикалық физика дүниеге келді. Жаңа тәсілдің триумфальді жетістіктерінің арқасында шексіз аздар әдісінің нашар негізделгеніне сын айтатындар азайды. Ғылымда Ньютон арқасында , механика патшалық етіп тұрды- барлық қалған өзара байланыстар екінші кезекке шығарылды,оларды механикалық процестердің салдары деп есептеледі. Анализ және механиканың дамуы тығыз байланыста іске асырылып отырылды. Бұл бірігуді бірінші болып Эйлер іске асырды, ал Ньютондық механикадан архаийлық конструкцияны алып тастады және динамикаға аналитикалық фундамент 1736 жүргізді. Осы моменттен бастап механика анализдің қолданбалы тарауына айналды.Бұл процесті Логранж аяқтады, оның Аналитикалық механика деген еңбегінде бірде бір сызба кездеспейді. Осы кезеңде анализ алгебраны және геометрия мен механикадан түпкілікті бөлінді. Бұл кезеңдерде сызықты алгебра қарқынды дамыды. Сызықты жүйелердің жалпы шешімінің алғашқы толық сипаттамасын 1750 жылы Габриел Крамер берді, қазіргі заманғы символикаға жақын белгілеуді және анықтауыштардың терең талдауын Александр Вандермонд көрсетті. Лаплас 1772 жылы анықтауыштың минорлар бойынша жіктелуін көрсетті.Анықтауыштар теориясы тез арада астронмияда және механикада , алгебраның жүйелерді шешуде және формаларды зерттеуде т.б. көптеген қолданыстар тапты. 3.XVIII ғасырдағы математиканың жалпы сипаттамасы XVIII ғасырдағы математиктердің бүкіл Іс-әрекеттері анализ және оның механикаға қолданылысы төңірегінде шоғырланады. Ұлы математиктер Л.Эйлер мен Ж.Лагранж ерекше еңбек сіңірді. Осы ғалымдар мен француз математигі А.Лагранж еңбектерінде сандар теориясы алғаш рет жүйелі ғылым санатына қосылды. Алгебрада швейцар математигі Г. Крамер (1750) сызықтық теңдеулер жүйесін шешу үшін анықтауыштарды енгізді. Егер біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасының анықтауышы нөлге тең болмаса, онда ол анықталған жүйе. Бұл жүйенің шешімі Крамер формуласымен анықталады: Ағылшын математигі А.Муавр мен Л.Эйлердің көрсеткіштік және тригонометриялық функциялардың байланысын көрсететін формулалары комплекс сандардың математикадағы қолдану өрісін кеңейте түсті. И. Ньютон, шотланд математигі Дж. Стирлинг, Л. Эйлер және П. Лаплас шектеулі айырымдарды есептеудің негізін қалады. К. Гаусс 1799 жылы алгебраның негізгі теоремасының бірінші дәлелін жариялады. Математикалық анализ әсіресе дифференциалдық теңдеулер әдістері механика мен физиканың, сондай-ақ техникалық процестердің заңдарын, математикалық өрнектеудің негізін қалады. К. Гаусс 1799 жылы алгебраның негізгі теоремасының бірінші дәлелін жариялады. Математикалық анализ әсіресе дифференциалдық теңдеулер әдістері механика мен физиканың, сондай-ақ техникалық процестердің заңдарын, математикалық өрнектеудің негізін қалады; жаратылыстану мен техниканың ілгерілеуі осы әдістерге тікелей байланысты болды. Л.Эйлер, Ж.Лагранж бірінші ретті, ал Л. Эйлер, Г. Монж, П.Лаплас екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің жалпы теориясының негізін қалады. Бір немесе бірнеше айнымалы функцияны, тәуелсіз айнымалыларды жəне функцияның туындыларын байланыстыратын теңдеу жүктеу/скачать 326,76 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|
1 2