Сабақтың ортасы
|
Интегралдың қателігін төмендету үшін интеграл астындағы функция анықталған [a,b] аралығы h қадаммен бірнеше аралыққа бөлу керек: xi+1-xi=h, i=1,2,…,n-1. Қадам тұрақты болған жағдайды қарастырайық.
(1)
түрдегі интеграл берілсін. Дәл әдістерге Ньютон-Котес квадратуралық формулалары жататыны жоғарыда айтылған.
Трапеция әдісі.
Егер n=1 болса квадратуралық формула трапеция әдісі деп аталады. Әдіс бойынша; интегралдық қисық пен ох өсі аралығындағы фигура ауданын табу үшін сол фигураны трапециямен толықтырып, ауданын табуға болады:
(2)
Қателікті азайту үшін аралықты бірнеше бөлікке бөліп әр трапецияның ауданын тауып барлығының қосындысы берілген интегралдың мәні деуге болады:
(3)
Мұндағы
, (4)
.
(4)-формула әдістің қателігін бағалау формуласы деп аталады. Геометриялық мағынасы трапециямен толықтырылған уақытта осы облысқа кірмей қалған аймақтардың қосындысы, кейде оны қиылу қателігі де дейді. Оның мәні өте аз шама болуы керек.
2. Симпсон әдісі.
N=2 болса Ньютон – Котес формуласы Симпсон әдісін аныќтайды. [a,b] аралығын екі симметриялы бөлікке бөледі: нүктелері болса, аралыќ жұп болады, есептеу формуласы:
(5)
Онда есептеу ќателігі 16-ға азаяды. Ал бөлу аралығы таќ болса, онда [a,b] аралыќтың алғашќы үш бөлігінен үшінші дәрежелі парабола жүргізнміз, бұл жағдайда Симпсоннның үштен сегіздік формуласы ќолданылады:
3.Тіктөртбұрыштар әдісі.
[a,b] аралығынан х0 бір түйін алатын болсақ, чғни f(x)=const болады, онда қарастырып отырған аралықта деуге болады. Х0 нүктесін аралықтың тура ортаңғы нүктесі деп алсақ формуласы шығады, оны тіктөртбұрыштар формуласы дейді, әдістің қателігін азайту мақсатында аралықты бірнеше бөлікке бөліп, әр аралықты тіктөртбұрышпен толтырып, ауданын тауып, барлық аудандарды бір біріне қосады:
(6)
Гаусстың квадратуралыќ формулалары
Бұл әдісте х айнымалысын өрнекпен алмастырады: . Сонда Гаусс формуласы былай жазылады:
(5.11)
мұндағы , ал ,
Бұл әдістің ыңғайсыздығы, абсциссадағы мәндер мен коэффициенттер иррационал сандар. Біраќ соған ќарамай интегралдау түйіндерінің саны аз болса да, дәлдігі жоғары.
Абсциссадағы мәндер мен коэффиценттер мүмкін, жоғары дәрежелі көпмүшеліктердің барлығы үшін (5.11)-формула дұрыс болатындай етіп таңдалынып алуы керек. сандары N=2n-1 болғанда бірмәнді болатыны дәлелденген.
мәндерін аныќтау үшін Лежандр көпмүшелігі ќолданылады:
Ал -лерді табу үшін төмендегі жүйе шешіледі:
(5.11.1’)
Бұл жүйені шешу барысында коэффициенттерді төмендегі 14-кесте көмегімен де аныќтауға болады.
14-кесте . (5.11.1’)-жүйені шешу барысында анықталған
коэффициенттер.
n
|
I
|
ti
|
Ai
|
1
|
1
|
0
|
2
|
2
|
1;2
|
|
1
|
3
|
1;3
2
|
0
|
|
4
|
1;4
2;3
|
|
0.34785484
0.65214516
|
5
|
1;5
2;4
3
|
|
0.23692688
0.47862868
0.56888889
|
Мысалы:
N=5 болғанда интегралын Гаусс формуласымен есептеу керек болсын. Айнымалыны ауыстырамыз: . Сонда интеграл мына түрге келеді:
; (5.12)
;
x=0 болғанда t=-1;
x=1 болғанда t=1;
Интеграл астындағы функцияның мәндер кесте сын ќұрамыз:
Алынған мәндерді (4)-ќою арќылы интегралды есептейміз:
.
Канторовичтің интеграл астындағы функцияның ерекшелігін айшыќтау әдісі
Бұл әдістің негізгі идеясы f(x) функциясынан әлдебір g(x) функциясын бөліп алады да f(x)-g(x) айырымынан интеграл алады, мұндағы f(x)-элементарлы интегралданатын болуы керек, ал g(x) – сандыќ әдістердің біреуімен интегралданатын болуы керек:
(5.7)
Бұл әдіс интеграл астындағы функция келесі түрде берілген жағдайда ќолданылады:
Мұндағы функциясы [a,b] аралығында үзіліссіз дифференциалданатын функция болсын. Онда бұл функцияны Тейлор ќатарына жіктеуге болады. Тейлор ќатарына жіктелген функция түрін деп белгілесек:
болады. Сонда айырманы деп ќарастыруға болады.
Мысалы: ;
Интеграл астындағы функияны келесі түрде жазып алуға болады:
. Онда болады. Бұл функцияны Тейлор ќатарына жіктеуге болады:
. Онда: , болады.
Дәрежелік ќатарлар көмегімен интегралдау әдісі
Интеграл астындағы функция [a,b] аралығы жатќан (-R,+R) интервалында жинаќталатын дәрежелік ќатарға жіктелетін болсын:
(5.8)
Дәрежелік ќатарды мүшелеп интегралдауға болады, сонда:
(5.9)
Егер (5.9)-ќатар жинаќты болса, онда (5.10)
Әдіс ќателігі ќатар ќалдығы мен дөңгелектеу ќателігінен тұрады.
Егер ќатардың таңбасы ауыспалы және абсолютті шамасы бойынша монотонды кемімелі болса, онда ќатар ќалдығы тасталатын (отбрасываемый) ќатар мүшелерінің ең біріншісінің абсолют ќателігінен аспайды.
Басќа жағдайларда ќатар ќалдығын бағалау үшін ќатарлары жеңіл бағаланатын сандыќ ќатарлармен мажорлайды.
Мысал:
Интеграл астындағы функция дәрежелік ќатарға жіктеледі және кез келген х үшін жинаќталады:
Ќатардың үшінші мүшесінен бастап ќалған мүшелерін тастап кетуге болады, себебі олар нөлге өте жуыќ.
Интегралдау ќадамдарын таңдау.
Берілген интегралды сандыќ әдістердің ќайсысымен болса да шешу уаќытында берілген дәлдікті ќамтамасыз ететін ќадам таңдау керек. Кейде интегралдау аралығын бірнеше бөлікке бөлу барысында дөңгелектеу, есептеу ќателіктері өсуі мүмкін. Мұндай ыңғайсыздыќќа ұшырамас үшін интегралдау ќадамын дұрыс таңдау керек. Практикада интегралдау ќадамын 2 тәсілмен таңдайды:
Ќалдыќ мүшені бағалау арќылы
Екілік есептеу арќылы.
1-тәсілде берілген интегралды шешуге тиімді бір сандыќ әдісті таңдап алып, сол әдістің ќалдыќ мүшесінің формуласын
(5.13)
бағалау арќылы h –ты аныќтайды.
Мысалы:
Трапеция әдісін таңдайыќ. Ол әдістің ќалдыќ мүшесінің формуласы:
.
;
Табылған мәндерді формуласына ќойып (5.13)-бағалауды баќылаймыз, сонда екендігі табылады. Енді ќадамды табуға болады: . Трапеция формуласына ќойсаќ: .
2-тәсілде берілген интеграл h ќадаммен аралыќты n рет бөледі және ќадаммен аралыќты 2n рет бөледі де екі рет есептеледі. алынған интегралдарды сәйкесінше және деп белгілесек, шарты орындалса, онда деп есептеуге болады, мұндағы I – интегралдың дәл мәні. Егер бұл шарт орындалмаса, онда ќадамды тағы да 2-ге кішірейтеді.
Интегралдау ќадамы берілмеген есептерде, алғашќы ќадамды санына жуыќ сан ретінде алуға болады, мұндағы m=2 трапеция формуласы үшін, m=4 – Симпсон формуласы үшін. Бұл тәсіл есепті ЭЕМ көмегімен шешу кезінде ќадамды автоматты түрде компьютер таңдайтындай жағдай тудырады және бірмезгілде есептеу ќадамдары да баќыланып отырады.
|
Оқулық
|
