Сплайндармен Интерполяция Егер сызбада белгілі y
жүктеу/скачать 30,73 Kb.
|
лекция 13 (4)
|
Сплайндармен Интерполяция Егер сызбада белгілі yi(xi) , i=0÷n нүктелері бойынша сызық салу қажет болса, онда олар әдетте үлгіні пайдаланады. Көптеген нүктелерден бірден өтетін үлгіні алу оңай емес. Тәжірибелі инженер-дизайнерлер мұндай жағдайларда металл сызғышты (икемді үлгіні) пайдаланады, оны шетіне қояды және оның жиегі бірден көптеген нүктелерден өтетіндей етіп бүгеді. Интерполяцияның бұл әдісін математикалық сипаттауға болады. Сызғыш-серпімді жолақ. Сопроматтан оның еркін тепе-теңдік теңдеуі белгілі φIV(x) =0 . Демек, көршілес нүктелердің әр жұбы арасындағы кеңістікте интерполяция функциясы үшінші дәрежелі көпмүше болып табылады. φ(x)=ai + bi (x-xi-1) + ci (x-xi-1)2 + di (x-xi-1)3 , (c1) xi-1 ≤ x ≤ xi Түрінде жазайық Әр интервалдағы көпмүшенің коэффициенттері түйіндердегі шарттардан анықталады: yi-1 =φ(xi-1) = ai , (c2) yi =φ(xi) = ai + bihi + cihi2 + dihi3 , hi = xi- xi-1 , (c3) i = 1 ÷ n Бұл теңдеулер белгісіз коэффициенттер санынан 2-ші аз (2n<4n). Қосымша шарттар ретінде біз φ(x)көпмүшесінің бірінші және екінші туындыларын қолданамыз: φ'(x) = bi + 2 ci (x-xi-1) + 3 di (x-xi-1)2 φ''(x) = 2 ci + 6 di (x-xi-1) при xi-1 ≤ x ≤ xi Сызғыштың тегістігі жағдайынан функция барлық нүктелерде, соның ішінде түйіндерде үздіксіз болады. Математикалық тұрғыдан бұл кез-келген ішкі түйін үшін оң және сол туындылар тең болатындығын білдіреді: bi+1 = bi + 2 ci hi + 3 di hi2 , (c4) ci+1 = ci + 3 di hi , i = 1 ÷ (n-1) (c5) 2 (n-1) шарт алынды. Барлығы =2n + 2n -2 шарттар. Жетіспейтін екі шарт сызғыштың ұштарындағы нөлдік қисықтық туралы болжамнан туындайды – сызғыштың ұштары бос-бос. (Бұл табиғи текше сплайн) Математикалық тұрғыдан бұл ½φ''(x0) = c1 = 0 , ½φ''(xn) = cn + 3 dnhn = 0 (c6) Теңдеулер (c 2=с6) 4n белгісіз коэффициенттерді анықтау үшін сызықтық теңдеулер жүйесін құрайды. Бұл жүйені Гауссты жою арқылы шешуге болады. Бірақ жүйені арнайы түрге келтіру тиімдірек. (с2) теңдеуі бірден коэффициенттердің барлық мәндерін береді aiai = yi-1 , i=1÷n (с5) теңдеуінен мыналар шығады: di = (ci+1 - ci)/3hi , i=1÷n-1 (c7) (с6) теңдеуінен мыналар шығады: dn = - cn /3hn Біз (с7) - ді (c3) ауыстырамыз, аламыз bi = (yi – yi-1)/hi - 1/3 hi (ci+1 -2 ci) , i=1÷n-1 (c8) bn = (yn – yn-1)/hn – 2/3 hncn (c4) bi және Bi+1 мәндерінен (с8) (индексі ↑ 1-ге); және di, (с7). ci коэффициенттеріне қатысты сызықтық теңдеулер жүйесі қалады , ол түрге әкеледі: c1= 0 (c9) hi-1ci-1+2(hi-1+hi)ci +hici+1=3[(yi-yi-1)/hi – (yi-1-yi-2)/hi-1], i=2÷n cn= 0 Бұл жүйенің матрицасы үшбұрышты және диагональды басым, сонымен қатар симметриялы және оң анықталған 2(h1+ h2) h2 0 0 … 0 h2 2(h2+ h3) h3 0 … 0 H= 0 h3 2(h3+ h4) h4 … 0 ………………………………………………… 0 …… hn-2 2(hn-2 + hn-1) H матрицасы бар теңдеулер жүйесі (с9) әдетте жүгіру әдісімен шешіледі-бұл Гаусс әдісінің ерекше жағдайы. ci (с 7) және (с 8) арқылы білу bi және di арқылы анықталады Математикада егер H матрицасында (жолдар бойынша) диагональды элементтердің басым болу шарты орындалса, онда тікелей инсульт түрлендірулерінде нөлге бөлу болмайды, осылайша теңдеулердің бастапқы жүйесі жалғыз шешімге ие болады. Біз табиғи сплайнды қарастырдық (текше-3 дәрежелі) Шекараларда басқа сплайндар, басқа дәрежелер және басқа шарттар бар. Кейде шекараларда көлбеу орнатылады: φ'(x0) және φ'(xn ) Сплайндық интерполяция интерполяция мәселесін жеткілікті егжей-тегжейлі деректер торымен шешуде де, тегіс коэффициенттері бар жартылай туындылардағы эллиптикалық теңдеулердің шеткі есептерін шешуде де жиі қолданылады. Табиғи текше сплайн-бұл нүктелер жиынтығын интерполяциялайтын және квадраттық интегралданатын 2-ші туындысы бар барлық функциялардың ішінде минималды қисықтық қасиетіне ие жалғыз функция. Бұл мағынада табиғи текше сплайн-берілген нүктелер жиынтығын интерполяциялайтын функциялардың ішіндегі ең тегістігі бар. жүктеу/скачать 30,73 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|