Тақырыбы : Кеңістіктегі векторлар әдісі

Тақырыбы

:                                 Кеңістіктегі векторлар әдісі. 

 

Мақсаты:    Білімділік

:  Кеңістікте  тік  бұрышты  координаттар  жүйесінің  берілуі,  вектордың 

және  нүктенің  координаталарын  анықтау,  координатамен  берілген  векторларға  амалдар 

қолдану, векторларға берілген жай есептер түрін талдау және шығару. 

Дамытушылық  :

           Оқушылардың  ойлау  ,  есте  сақтау    қабілеттерін  дамыту,  негізгі 

формулаларды  қолдана  отырып,  есеп  шығару  дағдыларын  қалыптастыру,  ауызша  есептеуге 

дағдыландыру, математикалық терминдерді дұрыс қолданып, айтуды меңгерту. 

Тәрбиелік:

  Оқушылардың  математикалық  қызығушылықтарын  арттыруға,  сабақ  барысында 

нақтылыққа, іздемпаздыққа, жолдастық көмекке, іздемпаздыққа тәрбиелеу. 

Сабақ түрі:

 Білімді жүйелеу, аралас. 

Сабақ әдісі:

 ұжымдық жұмыс 

Көрнекілігі:

 Интербелсенді тақта 

Құрал

- жабдықтар: карточкалар, тест  

Сабақ жоспары:

 1. Ұйымдастыру. 

                               2. Үй тапсырмасын тексеру. Теорияны қайталау. 

                               3. Білімді жүйелеу, тақтамен жұмыс:1) Tеориялық тапсырмалар  

                                                                                              2) Ауызша есептер 

                               4. Білімді бекіту: 1) Есептер шығару.Деңгейлік тапсырмалар. 

                                                             2) Шығармашылық жұмыс. 

                              5. Білімді тексеру: тест тапсырмасы. 

                              6. Үйге тапсырма. 

                              7. Қорытындылау. 

                              8. Бағалау. 

Сабақ  барысы

:    1.  Ұйымдастыру.  Сабақ  интербелсенді  тақтамен  өтеді.  Сабаққа  керекті 

қосымша материалдар таратылды. 

2.  Үй  тапсырмасын  тексеру.  Тақтада  «Векторлар»  тарауы  бойынша  сұрақтардың  басы 

жазылған, сөйлемді аяқтау керек. 

1. Кеңістіктегі вектор дегеніміз...  (кеңістікте кез келген бағытталған кесінді) 

2.Векторларды  қалай  белгілейді?    (векторларды  басынан  ұшына  қарай  стрелкамен  бағыттап 

көрсетіп жазады. Векторды латын алфавитінің кіші әріптерімен  не басы мен ұшы көрсетілген  

бас әріптермен белгілейді.  Мысалы:(

B

A

a





,

) 

3. Басы мен ұшы беттесетін векторлар... деп аталады.  (нөлдік) 

4.  Коллинеар    векторлар  деп...      (параллель  түзулердің  бойында  немесе  бір  түзудің  бойында 

жататын векторларды коллинеар векторлар дейді) 

5.Бағыттас векторлар деп... ( коллинеар векторлардың бағыттары бірдей болса) 

6.Қарама-  қарсы  бағытталған  векторлар  деп...  (егер  коллинеар  векторлардың  бағыттары  әр 

түрлі болса)  

7. Вектордың модулі деп... ( АВ кесіндісінің ұзындығын АВ векторының модулі дейді) 

8. Векторларға қандай амалдар қолдануға болады?  ( векторларды қосу, азайту, санға көбейту). 

3.  Білімді  жүйелеу,  тақтамен  жұмыс

  1.  Tеориялық  тапсырмаларды  оқушылар  интер 

белсенді тақтада  қарындашты қолданып түсіндіреді. 

 

1)

 

Кеңістіктегі  декарттық  координаттар  жүйесі.Нүктенің  және  вектордың  координалары 

арасындағы байланыс. 

 

Кеңістікте ОХ,ОУ,ОZ осьтері перпендикуляр орналасқан болса, онда бұрыштар координаттық 

жүйесін  құрайды.  О-  координатаның  басы.Оларды  абсцисса,  ордината,  апликата  осьтері  деп 

атайды.Осы осьтер арқылы өтетін  жазықтықтар координаттық жазықтық деп аталады. Мұнда 

нүктенің  координаталарын  салуға  болады,  оны  А  (х,у,z)  деп  белгілейді.  Кеңістікте 

k

j

i







;

;

 

үштік  векторды  тікбұрышты  базис  дейді.  Олардың  ұзындығын  осьтердегі  өлшем  бірлігі 

ретінде  алады. Тік бұрышты базисте 

k

j

i







;

;

 векторына (х,у, z) сандары сәйкес келеді. Оларды 

координаттық  векторлар  бойынша  жіктеуге  болады.   

k

z

j

y

i

x

a















.  Нөлдік  вектордың 

барлық координаттары нөлге тең. 

 

2) Координаталары берілген векторларға амалдар қолдану.  

а) Екі не одан да көп векторлардың қосынды векторының әрбір координаты осы векторлардың 

сәйкес координаттарының қосындысына тең. 

)

;

;

(

1

1

1

z

y

x

a 



)

;

;

(

2

2

2

z

y

x

b 



 

)

;

;

(

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x

b

a















 

ә)  Екі 

 

вектордың  айырмасының 

әрбір 

координаты 

осы 

векторлардың  сәйкес 

координаттарының 

айырмасына 

те

ң. 

)

;

;

(

1

1

1

z

y

x

a 



)

;

;

(

2

2

2

z

y

x

b 



  

)

;

;

(

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x

b

a















 

б)  Вектордың  санға  көбейтіндісінің  әрбір  координаты  вектордың  сәйкес  координатының  сол 

санға көбейтіндісіне тең. 

)

;

;

(

z

y

x

a 



  

)

;

;

(

pz

py

px

a

p 



 

3)  Радиус  вектор.  Вектордың  координаталарын  оның  бастапқы  және  соңғы  нүктелерінің 

координаталары арқылы өрнектеу. 

Бастапқы  нүктесі  координаталар  басы,  ал  соңғы  нүктесі  берілген  нүкте 

болатын  векторды  осы  нүктенің  радиус  –  векторы  дейді.  Кеңістікте  кез  келген  радиус 

векторының координаталары осы нүктенің сәйкес координаталарына тең болады.  

k

j

i







;

;

 тік бұрышты базисте А( х

1,

у

1,

z

1

) және В( х

2,

у

2,

z

2

) берілсін. 

 

)

;

;

(

1

2

1

2

1

2

z

z

y

y

x

x

B

A









-    Вектордың  координаталары    оның  соңғы  және  бастапқы 

нүктелерінің сәйкес координаталарының айырымына тең болады. 

 

4)  Координаттарға  берілген  жай  есептер.-  оқушылар  интербелсенді  тақтада    формула  мен 

оның атауын  дұрыс стрелкамен  көрсету керек. 

1) Вектордың ұзындығын  оның координаттары бойынша есептеу.

2

2

2

z

y

x

a







 

2) Екі нүктенің арақашықтығы. 

2

1

2

2

1

2

2

1

2

)

(

)

(

)

(

z

z

y

y

x

x

AB













 

3)Кесінді ортасының координаттары.

;

2

2

1

x

x

x





  

;

2

2

1

y

y

y





  

2

2

1

z

z

z





 

Кесінді 

ортасының 

әрбір 

координаты 

оның 

ұштарының  сәйкес 

координаттарының 

қосындысының  жартысына тең. 

 

4)Екі  вектордың  скаляр  көбейтіндісі  олардың  аттас  координаталарының  көбейтінділерінің 

қосындысына тең. 

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x

b

a















 

5)екі вектордың арасындағы бұрыш. 

b

a

b

a









cos

 

2) Ауызша есептер

. Тақтада  есептер жазылған. Дұрыс жауабын беру керек. 

 

1.



 



1

;

3

;

4

0

;

1

;

2





b

a





   

b

a







-?           

b

a





 -?                

b



5

,

0

-? 

2.Мына векторлардың коэффициенттерің атандар: 

k

j

i

a

















3

5

-?            

j

i

c











-?              

k

n





7

,

0



-? 

3.





3

;

4

;

0

a



 вектордың ұзындығын табындар. 

4.  А(3;  2;  1),  В(4;  1;  0)    AB  векторының  координаттарын  анықтандар,  арақашықтығын 

табындар. 

5. 

2



a



, 

3



b



, 

0

60





болса, 

b

a





  табыңдар. 

6.С нүктесі АВ кесіндісінің ортасы. А(2; 4; 6), В(8; 10; 12), С(x, y, z) - ? 

   

 4. Білімді бекіту: 1) Есептер шығару.Деңгейлік тапсырмалар. 

А деңгейі.

 

1).



 

 



5

;

3

;

0

,

2

;

4

;

1

,

7

;

5

;

3





C

B

A

,

)

8

;

7

;

6

( 

D

 векторлары берілген. 

AB + CD  табыңдар. 

2) 



 

 



3

;

2

;

1

,

2

;

3

;

1

,

0

;

1

;

2

c

b

a











векторлары берілген 

c

b

a

P







2

3 





 табыңдар. 

3)  





4

;

5

;

3

a



,

)

2

;

3

;

6

( 

b



вектордың  скаляр көбейтіндісін табыңдар. 

Б деңгейі.

 

1)    A(2;0;-1),  B(1,5;1;-2),  C(2;2-3)  ABC  үшбұрышының  теңбүйірлі  екенін  дәлелдеңдер  және 

периметрін табыңдар. 

2)  M(2;-1;3),  N(-4;1;-1),  P(-3;1;2),  Q(1;1;0)  нүктелері  берілген.  NM  және  PQ  кесінділерінің 

орталарының арақашықтығын табыңдар. 

3) 



 



3

;

0

;

3

,

0

;

2

;

2





a

a

векторларының арасындағы бұрышты есептеңдер. 

4) A(1; 0; k), B(-1; 2; 3), C(0; 0; 1) нүктелері берілген. K-ның қандай мәнінде АВС үшбұрышы 

тең бүйірлі болады? 

2)  Шығармашылық  жұмыстар:

  Векторлардың  қолданулары:  механикалық,  физикалық 

мазмұнды есептер шығару. 

1.

F



(2;0;1)  күштің  әсерімен  материялық  нүкте  М  (4;-1;3)  нүктесінен  түзу  сызық  бойымен  В 

(0;3;5)  нүктесіне  ауысқан.  Күш  векторы  F



  пен  нүктенің  орын  ауыстыру  векторы 

B

M



-ның 

арасындағы бұрыш 

 =60

0 

тең.  F



 күшінің жасаған жұмысын табыңдар.  

Шешуі: Математикалық нүктенің кескіндейтін вектор: 

6

36

4

16

16

,

5

1

0

4

,

2

4

4



























MB

F

k

j

i

MB









. Жұмысты табамыз:  





5

3

2

1

5

6

60

cos

6

5

cos

0





















MB

F

MB

F

A



 Жауабы: 

5

3

 

2. Векторлардың шығу тарихынан шағын хабарлама жасау. 

Бағытталған  кесінділерді  есептеу  жөнінде  тұңғыш  рет  Норвегия  ғалымы  Каспар 

Вессельдің  (1745-1818)  ебегінде  айтылған.  «Вектор»  терминін  ағылшын  математигі  Уильям 

Гамильтоненгізді.(1805-1865).Вектор  ұғымын  алғаш  қолданған  неміс  ғалымы  Герман 

Грассман(1808-1877).Вектор сөзі латынның vektor-тасымалдаушы деген мағына береді. 

 

5. Білім тексеру: тест тапсырмаларын орындау. 

1-нұсқа  

1. YOZ жазықтығына нүктелердің қайсысы тиісті: 

A) А

*

(0; 1; 1) 

B) В (1; 2; 0) 

C) С (-1; 0; 5) 

D) D (1; 1; 2) 

 

2.  С  нүктесі  АВ  кесіндісінің  ортасы.    А  (1;  3;  -2),  С  (-2;  4;  5)  болса,    В  нүктесінің 

координаталарын табыңдар. 

A) (3; 5; 8) 

B) 

*

(-5; 5; 12) 

C) (2; 0; 5) 

D)(5;1;2)

 

3. А

1

 





,

3

;

2

;

1 

 А

2

 (-4; -3; 5) нүктелері берілген. 

2

1

A

A

вектордың ұзындығын табыңдар. 

A) 

*

30

 

B)  23  

C)  26  

D) 45

 

4. Егер 





5

;

2

;

3 

a



, онда  -4 

a



 векторын табыңдар. 

A) 4; 12; -4 

B) 34; -1; -6 

C) 81; 34; -6 

D)

*

-12;8;-20

 

5. 

AB векторын координаталық векторларға жіктеңдер: 

)

2

;

3

;

1

(

A

, 





1

;

8

;

5



B

 

A) *

k

j

i







3

5

4





 

B) 

k

j

i

9

3

7









 

C) 

k

j

i







4

7

4





 

D) 

k

j

i







2

5

6





 

 

6. 





4

;

2

;

5 

a



, 













2

;

2

1

;

3

b



 векторлары берілген, 

b

a





2





табыңдар. 

A) (-1; 0; 3) 

B) (-3; 1;-1) 

C) 

*

(1; 3; 0) 

D) (1; 0; 1) 

 

7. А(4; 3; 2) В(5; 8; -2) координат осіндегі  векторының координаталарын табыңдар. 

A) 

*

(1; 5;-4) 

B) (3; 5; 2) 

C) (0; 3; -6)  

D) (2; 1; 5) 

 

8. 

4



a



, 

5



b



, 

0

180





болса, 

b

a





  табыңдар. 

A) 12 

B) 25 

C) 

*

-20 

D) -8 

 

9. А(1; -2; 3), В(-3; 2; -1) берілген, 

AB



5

,

2

табыңдар. 

A) (10; 10; 10) 

B) (10; -10; 10) 

C) (10; 10; -10) 

D) 

*

(-10; 10; -10) 

 

10. Егер  a (-1; 0;-1),  

b



(-1;0;0),  a  және  b



 векторлар арасындағы бұрышты табыңдар 

A) 90

0 

B)* 45

0 

C) 180

0 

D) 60

2-нұсқа 

1. XOZ жазықтығына нүктелердің қайсысы тиісті: 

A) А (0; -1; 2) 

B) В (1; -2; 0) 

C) С

*

 (0; 0; -1) 

D) D (1; 1; 

2. M нүктесі АВ кесіндісінің ортасы.  А (1; 3; -2), B (-5; 7; 8) болса, онда M нүктесінің 

координаталарын табыңдар. 

A) M (-2; 5; 5) 

B) 

*

M (-2; 5; 3) 

C) M (3; 5; 5) 

D)M(5;1;2

3.  А

1

 





,

3

;

2

;

1

 А

2

 (-4; -4; 6) нүктелері берілген. 

2

1

A

A

вектордың ұзындығын табыңдар 

A) 4 

B)  23  

C) 

*

70

        D) 12

4. Егер 





5

;

3

;

4





a



, онда -0,5 

a



 векторын табыңдар. 

A) 4; 12; -4 

B) 4; -1; -6 

C) 1; 4; -6 

*D)

-

2; -1,5;2,5;

5. 

AB векторын координаталық векторларға жіктеңдер: 

)

2

;

3

;

1

(

A

, 





1

;

8

;

5



B

 

A) 

k

j

i







3

5

4





    B) 

k

j

i

9

3

7









       C) 

k

j

i







4

7

4





           D) 

k

j

i







2

5

*







 

6. 





7

;

0

;

15

a



, 





1

;

8

;

0





b



 векторлары берілген, 

b

a







табыңдар. 

A) (9; 15; -8) 

B) (20; 8;1) 

C) 

*

(15; 8; 8) 

D) (8; 0; 8)

7. А(2; 4; -3) В(6; -9; 2) координат осіндегі  AB  векторының координаталарын табыңдар. 

A) (21; 15;-4) 

B) 

*

(4; -13; 5) 

C) (0; 2; -6)  

D) (2; -1; 5) 

8. 

5



a



, 

4



b



, 

0

60





болса, 

b

a





  табыңдар. 

A) 18 

B) -25 

C) 

*

10 

D) 12 

9. А(1; 2; -3), В(3; -2; -1) берілген, 

B

A





5

,

1

табыңдар. 

A) (6; 3; 3) 

B) 

*

(3; -6; 3) 

C) (10; 3; 3) 

D) (3; 3; 3) 

10. Егер  a (0; 5;0),   b



(0; 3 ;-1),  a  және  b



 векторлар арасындағы бұрышты табыңдар 

A) 

*

30

0 

B) 45

0 

C) 180

0 

D) 60

0

3-нұсқа 

1. XOY жазықтығына нүктелердің қайсысы тиісті: 

A) А (3; 7; -5) 

B) В

*

(2; -2; 0) 

C) С (3; 0; 5) 

D) D (0; -1; 2) 

2. M нүктесі АВ кесіндісінің ортасы.А (4; -6; 2), M (5; -3; 0) болса, онда B нүктесінің 

координаталарын табыңдар. 

A) B

*

 (6; 0; -2) 

B) B (-2; 5; 3) 

C) B (1; -3; -2) 

D) B (4; 0; -2)

3. А

1

 





,

1

;

2

;

3

 А

2

 (-4; 2; 0) нүктелері берілген. 

2

1

A

A

вектордың ұзындығын табыңдар. 

A) 1       B)  23  

C) -7       *D)

2

5

4. Егер 





3

;

4

;

2



a



, онда -6 

a



 векторын табыңдар. 

A) 

*

-12; -24; 18 

B) 4; -8; -6 

C) 4; 4; -5 

D) 13; 21; 27

5. 

AB векторын координаталық векторларға жіктеңдер: 





6

;

5

;

2

A

, 





1

;

2

;

3





B

 

A) 

k

j

i







8

5

2





 

B) 

k

j

i

3

7

2









 

C) *

k

j

i







7

7 



 

D) 

k

j

i







9

4

5







6. 





1

;

7

;

2



a



, 





3

;

1

;

4 

b



 векторлары берілген, 

b

a







2

табыңдар. 

A) (1; 13; 5) 

B) 

*

(0; 13; 5) 

C) (5; 0; 13) 

D) (0; 5; 13) 

7. А(2; 4; 8) В(6; 3; 11) координат осіндегі  AB  векторының координаталарын табыңдар. 

A) (2; 1;-4) 

B) 

*

(4; -1; 3) 

C) (0; 2; -6)  

D) (2; -1; 5) 

8. 

6



a



, 

3



b



, 

0

60





болса, 

b

a





  табыңдар. 

A) 9*  

B) 6 

C) 10 

D) -9 

9. А(1; 2; -3), В(3; -2; -1) берілген, 

AB



 5

,

1

табыңдар. 

A) (3; 6; 3) 

B)* (-3; 6; -3) 

C) (3; -6; -3) 

D) (3; 6; 0) 

10. Егер  a (2;-2;0),   b



(1;2;2),  a  және  b



 векторлар арасындағы бұрышты табыңдар 

A* 90

0 

                             B) 45

0 

                               C) 180

0 

                             D) 60

0 

6. Үйге тапсырма.§18(П), §1(А) №459, 475 

 

7. Қорытындылау.Оқушылармен бүгінгі істелген жұмыстар қысқаша қайталанады, сабақтың 

жетістігі мен кемшілігі туралы рефлексия жасалады. 

 

8. Бағалау.

 

Әрбір оқушы бағалау парағын толтырып, өзін-өзі бағалайды. 

Сабақ бағалау парағы.. Аты-жөні. _____________ 

 

№  Сабақ барысы 

Жауаптарын 

бағалау 

1 

Үй тапсырмасын тексеру 

 

2 

Білімді жүйелеу: 

1)Tеориялық  тапсырмалар                                                                               

2) Ауызша есептер 

 

 

3 

Білімді бекіту:  

1)Есептер 

шы

ғару.     

2)Шығармашылық жұмыс. 

 

 

4 

Тест 

 

5 

Қорытынды ұпайы 

 

 

 

 

 Сабақ аяқталды. Сау болыңыздар.

 

 

 

                                                                    

 

 

 

 

Б.Ахметов атындағы Павлодар педагогикалық колледжі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математика пәнінен ашық сабақ жоспары.

 

 Тақырыбы: 

 

« КЕҢІСТІКТЕГІ КООРДИНАТТАР ӘДІСІ »

 

  

 

Топ:   ИВТ 21 

 

Оқытушы: Маймакова Г.М. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Павлодар 2012ж