Заголовок

Математика пәнi бойынша
Республикалық оқушылар олимпиадасының
екiншi (аудандық) кезеңi (2022-2023 оқу жылы)
9-сынып
Жұмыс уақыты: 2 сағат 30 минут.
Әр есеп 7 ұпайға бағаланады.
1. Екi математик пен он экономисттерден сегiз адамнан тұратын комис-
сия құру керек. Егер комиссияның iшiне кем дегенде бiр математик кiру
керек болса, онда оны қанша әдiспен құруға болады?
2. 𝐴𝐵𝐶 үшбұрышында 𝐴𝐾 биссектрисасы жүргiзiлген. 𝐴𝐵 және 𝐴𝐶
түзулерiнен сәйкесiнше 𝐸 және 𝐷 (𝐸 ̸= 𝐴, 𝐷 ̸= 𝐴) нүктелерi алынған. 𝐸
және 𝐷 нүктелерi 𝐵𝐶 түзуiне қатысты бiр жақта жатыр және 𝐸𝐵 = 𝐵𝐾,
𝐶𝐷 = 𝐶𝐾. Егер 𝐸𝐵𝐶𝐷 төртбұрышының диагональдарының қиылысу
нүктесi 𝐴𝐾 түзуiнiң бойында жатса, онда 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 болатынын дәлел-
деңiз.
3.
𝑎 + (𝑏,𝑐) = 𝑏 + (𝑐,𝑎) = 𝑐 + (𝑎,𝑏)
болатындай барлық натурал 𝑎, 𝑏, 𝑐 табыңыз.
Бұл жердегi (𝑥,𝑦)− 𝑥 және 𝑦 сандарының ең үлкен ортақ бөлгiшi.
4. 𝑛 бүтiн саннан тұратын жиын берiлген. «Секiрiс» деп бiз келесi опе-
рацияны айтамыз: жиыннан 𝑘 сан тандалып және әр тандалған 𝑎 санына
𝑏 · 𝑘 санын қосуға болады, бұл жердегi 𝑏 кез келген бүтiн сан (әр 𝑎 үшiн
өзiнiң 𝑏 саны тандалынады). 3 «секiрiс» жасап жиындағы барлық санды
нөлге айналдыруға болатынын дәлелдеңiз.
Второй (районный) этап
Республиканской олимпиады школьников
по математике (2022-2023 учебный год)
9 класс
Время работы: 2 часа 30 минут.
Каждая задача оценивается в 7 баллов.
1. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию
из восьми человек. Сколькими способами можно составить комиссию,
если в неё должен входить хотя бы один математик?
2. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена биссектриса 𝐴𝐾. На прямой 𝐴𝐵 и
𝐴𝐶 выбраны точки 𝐸,𝐷(𝐸 ̸= 𝐴,𝐷 ̸= 𝐴) соответсвенно. Оказалось, что
точки 𝐸,𝐷 лежат по одну сторону от прямой 𝐵𝐶 и 𝐸𝐵 = 𝐵𝐾,𝐶𝐷 = 𝐶𝐾.
Докажите, что если точка пересечения диагоналей чеьырёхугольника
𝐸𝐵𝐶𝐷 лежит на прямой 𝐴𝐾 то 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶.
3. Найдите все натуральные 𝑎,𝑏,𝑐 такие, что
𝑎 + (𝑏,𝑐) = 𝑏 + (𝑐,𝑎) = 𝑐 + (𝑎,𝑏).
Здесь (𝑥,𝑦)− наибольший общий делитель чисел 𝑥 и 𝑦.
4. Дано множество из 𝑛 целых чисел. Пусть «прыжок» представляет
собой операцию в которой будет выбрано любое 𝑘 чисел из множества,
и к каждому такому числу 𝑎 из выбранных чисел можно прибавить 𝑏 · 𝑘,
где 𝑏 любое целое число (для каждого 𝑎 выбирается свое 𝑏). Докажите,
что за 3 «прыжка» можно сделать все числа из множества нулями.