1 аналитикалық БӨлім
жүктеу/скачать 0,59 Mb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- 2.2 Жеке тапсырма
| 2 НЕГІЗГІ БӨЛІМ
2.1 СҒЗЖ: Компьютерлік математикалық жүйелерды қолданып дифференциалдық теңдеулерді шешу Лаплас түрлендіруі. Табиғат оқиғаларын зерттегенде, физика мен техника, химия мен биология, басқа ғылымдар есептерін шешкенде кейбір кезде зертелетін эволюциялық процесті бейнелейтін шамалар арасындағы тіке байланысты орнату мүмкін болмайды. Бірақ көп жағдайда шамалар (функциялар) мен олардың басқа (тәуелсіз) айнымалы шамалар арқылы өзгеру жылдамдықтары арасындағы байланысты орнатуға, яғни белгісіз функцияларының туындылары бар теңдеулерді табуға болады. Осындай теңдеулер дифференциалдық теңдеулер болып табылады. Белгісіздер туынды не дифференциал белгісінің астында болып келген теңдеу дифференциалдық теңдеу деп аталады. Ғылым мен техниканың көптеген есептері дифференциалдық теңдеу ұғымына келтіреді. Басқару есептерінде қарапайым дифференциалдық теңдеулер теориясы қолданылады (ізделінетін функция тек қана жалғыз айнымалыдан тәуелді, бұл айнымалы – уақыт болып табылады). Физикалық жүйенің динамикасын бейнелейтін дифференциалдық теңдеулер фундаменталды физикалық заңдылықтар негізінде шығарылады. Динамикалық процесті бейнелейтін дифференциалдық теңдеудің шешімі классикалық әдісімен – анықталмаған коэффициентер әдісін қолдану жолымен табылады. Автоматты реттеу жүйелердің есептеу және жобалау әдістерін қарапайымдылау үшін объектілердің динамика теңдеулерін функциялардың бастапқы түрлері – түпнұсқа арқылы емес, олардың тура Лаплас түрлендіруін қолдану жолымен алынған бейнелер түрінде жазады. Лаплас түрлендіруі операторлық есептеулер деп аталатын математикалық анализдегі сызықты дифференциалдық, айырымдық және интегралдық теңдеулерін шешу әдістер жиынының негізі болып табылады. Операторлық есептеулер автоматты реттеу теориясында кең қолданылады, оның көмегімен автоматты жүйелердегі өтпелі және тұрақтанған процестер анализденеді. Нақты t айнымалылы кейбір f(t) функция берілген болсын. Егер де оң жақтағы интеграл түйісетін болса, келесі өрнекпен анықталатын: Сурет 2.1 - М > 0 және Сo ≥ 0 тұрақтылары бар. Сo саны функцияның өсу көрсеткіші деп аталады. Нақты техникалық жүйелерде қоршаған ортамен өзара байланысты көрсететін f (t) уақытқа тәуелді функциялар түпнұсқа-функциялар болып табылады. Мысалы, келесі функциялар: Е(t); A⋅sin(ωt)⋅1(t); A⋅cos(ωt)⋅Е(t); eαt ⋅ Е(t); e-αt ⋅ Е(t), (α > 0) түпнұсқа-функциялар болады. Бұл жерде бірлік сатылы функциясы Е(t) көбейткіші екінші шарттың орындалуын, яғни динамикалық жүйе немесе объектінің физикалық жасалынатынын қамтамасыздандырады (объектіні бақылауға болады және ол нақты t ≥ 0 уақытта жұмыс жасайды). Дифференциалдық теңдеулерді шешудің сандық әдістері. Әдетте динамикалық жүйенің моделі қалыпты түрдегі дифференциалдық теңдеулер жүйесі түрінде беріледі: Дифференциалды теңдеулер жүйесінің жалғыз шешімін табу үшін бастапқы шарттар орнатылады, әдетте олар келесі түрде беріледі: ( ) . 0 y0 y t = (1.4) (1.4) бастапқы шарттары бар (1.3) теңдеулер жүйенің жұрыс-тұрысын барлық t > 0 үшін анықтауға мүмкіндік береді. Осындай теңдеулердің шешімдерін барлық жағдайларда дифференциалдық теңдеулерді шешудің классикалық әдістерімен табу мүмкін болмайды. Күрделі жүйелер динамикасын модельдегенде осындай жағдай жиі пайда болады. Практикалық есептердің көбісінде дифференциалдық теңдеулердің коэффициенттері мен функцияларының құрамында маңызды бейсызықтардар болуы мүмкін немесе олар тәжірибелік мәліметтер кестелері түрінде беріледі (соңғы жағдайда, әрине, классикалық әдістерді қолдана алмаймыз). Сонымен, сызықты емес қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешу сандық әдістермен орындалады. Дифференциалдық теңдеулер жүйелерін сандық шешу әдістерін дифференциалдық теңдеуді шешу мысалында қарастырамыз. Оларды бірінші ретті жүйеге қолдану теңдеуге қолдануға ұқсайды. Ал, жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді бірінші ретті теңдеулер жүйесіне түрлендіру өте жеңіл. Басқа сөзбен айтқанда қарастырып отырған әдістер кең тараған есептерде қолданылады. Сонымен бірге, кірудігі айнымалылар u (басқару немесе қобалжыту әсерлер) уақыт функциялары түрінде берілген деп есептейміз. Сонымен, алдағы формулаларда u(t) функциясын ашық түрде көрсетпейміз. Онда бастапқы шарттары бар дифференциалды теңдеу келесі түрде жазылады: Теңдеудің шешімі қисықтар жиыны болып табылады, солардың ішінде жалғызын таңдауға бастапқы шама мүмкіндік береді. Егер де шешім y=y(t) функциясы түрінде табылған болса, функцияның сандық мәндерін анықтау үшін сәйкес t мәндерін функцияға қойып, y(t)-ны есептейміз. Дифференциалды теңдеуді сандық әдісімен шешу осыған негізделген. Дифференциалды теңдеу кез келген нүктеде қисықтың иілуін t мен х функциясы ретінде анықтайды. Бастапқы уақытта қисықтың тек қана бір нүктесі белгілі. Осы нүктеден бастап, 0 0 t = t , x = x болғанда жанаманың иілуін есептейміз, содан кейін алынған жанама бойынша кіші қадамға ілгері жылжыймыз. t бойынша қадамды h деп белгілеп, t = t0 + h нүктеде 1 x = x жаңа мәнін аламыз. Осы әрекеттерді қайталай беріп, түзудің кіші кесінділерін аламыз, оларды ізделінетін функцияның жақсы жуықтауы деп есептейміз. Кейбір формулаларды шығарайық. Ізделінетін қисықта ( , ) m m t y нүктесі белгілі болсын. Осы нүкте арқылы иілу бұрышының тангенсі ( , ) ' m m m y = f t y болатын түзуді (жанаманы) тұрғызамыз. Енді t = tm+1 = tm + h нүктесінен орнатылған ординатасымен осы түзудің қиылысатын нүктесін шешімнің келесі мәні деп есептейміз. 21 ( ) . ( ) ( , ); 0 0 y t y y t f t y = ′ = Жанама теңдеуі: ( ) ' m m m y = y + y t − t . Сонымен бірге (берілген теңдеуден) ( , ), . 1 ' y m= f tm ym tm+ =t m+h Осыдан ( , ) m 1 m m m y = y + h ⋅ f t y + . (1.5) Бұл әдіс Эйлер әдісі деп аталады, дифференциалды теңдеулерді сандық шешудің дәстүрлі және кең тараған әдісі. Практикада дифференциалды теңдеулерді шешу үшін Рунге-Кутт әдістері кең қолданылады. Осы топтың әртүрлі әдістерінің әртүрлі дәлдіктері бар, сонымен бірге есептеу көлемдері де әртүрлі. Осы әдістердің келесідей қасиеттері бар: 1) Бұл әдістер бірқадамды әдістерге жатады: кезекті нүктедегі шешімді табу үшін тек қана алдыңғы нүктедегі шешім туралы ақпарат жеткілікті. 2) Олардың дәлдік реті h p , ол әдіс дәлдігі деп аталады. 3) Осы әдістерде функциялардың туындыларын есептеу қажет емес, сондықтан практикалық есептеулерге ыңғайлы. Эйлер әдісінде қисық түзудің кесінділерімен жуықталады, сондықтан әрине, үлкен қателіктер пайда болады. Түзу кесінділерінің тізбегі қисықтан біраз ауытқуы мүмкін. Бұл әдіс Рунге-Кутт әдістерінің бірінші ретті әдісі, жиі жағдайларда орнықсыз болады – х өскен сайын кіші қателік өседі (әдістің орнықтылық мәселесі). Бұл әдіс практикада сирек қолданылады. 2.2 Жеке тапсырма жүктеу/скачать 0,59 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|