1-дәріс Дербес туындылы теңдеулер және оларды канондық түрге келтіру
жүктеу/скачать 0,64 Mb.
|
| Анықтама. (3.5)
түріндегі теңдеу (1) теңдеудің сипаттамалық теңдеуі деп аталады. (3.5) теңдеуді келесі түрде көшіріп жазамыз: (3.6) (3.6) теңдеудің шешімін таба отырып, -ке қатысты жазып аламыз: немесе . (3.7) 1.Гиперболалық типті теңдеу үшін сипаттамалық теңдеу екі интегралдан тұрады: және , яғни жүйенің екі нақты шешімі болады. Бұл қисықтар (3.1) теңдеудің екі сипаттамалық үйірін анықтайды. ауыстырулары (3.1) теңдеуін (3.2) канондық түріне келтіреді. 2.Параболалық типті жағдайда, (3.7) жүйенің, жалпы интегралдық теңдеуі арқылы анықталған бір ғана қисықтар үйірі болады. Екінші қисықты түрінде таңдап алады, яғни , мұндағы - функциясынан тәуелсіз кез келген функция. (3.1) теңдеуі , ауыстыруларын жасау арқылы (3.3) канондық түріне келтіріледі. 3.Эллипстік типті жағдайда, сипаттамалық теңдеудің өзара түйіндес комплекстік қисықтар үйірін аламыз: . Бұл жағдайда , ауыстыруларын жасау қажет. Егер (3.1) теңдеудегі және – кез келген нүктенің аймағында аналитикалық функциялар болса, онда (3.1) теңдеуі (3.4) канондық түріне келеді. 1-мысал. теңдеуінің типін анықтау керек. Мұнда ендеше демек, берілген теңдеу гиперболалық типті теңдеу. Физикалық процесстердің көптеген құбылыстары екінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеумен сипатталады. 1. Гиперболалық типті теңдеулердің қарапайым мысалы ретінде толқындық теңдеуді келтіруге болады (шектің, стерженнің, мембрананың және үш өлшемді объектілердің тербелісі): - кеңістікте; - жазықтықта; - бір өлшемді жағдай (стержень). Толқындық теңдеулер механикада тербеліс процестеріне байланысты есептерде кездеседі. 2. Параболалық типті теңдеулердің қарапайым мысалы ретінде жылуөткізгіштік теңдеуін (Фурье теңдеуі) келтіруге болады. Ортадағы бөлшектер диффузиясы немесе жылудың таралу процестері жылуөткізгіштік теңдеуімен сипатталады: - кеңістікте; - жазықтықта; - бір өлшемді жағдай. 3. Эллипстік типті теңдеулерге Лаплас теңдеуін жатқызуға болады. Әртүрлі физикалық процестерді зерттеу - Лаплас теңдеуіне (біртекті ДТ) және Пуассон теңдеуіне (біртексіз ДТ) келтіріледі: , (егер болса, онда Лаплас теңдеуін аламыз). Теңдеуді канондық түрге келтіру үлгісі: 1. өрнегі арқылы теңдеудің түрін анықтау. 2. сипаттамалық теңдеуін құру және оны шешу. 3. , ауыстыруларын енгізу және ізделініп отырған функцияның туындыларын және арқылы келесі формулаларды пайдаланып өрнектеу: , , , (3.8) 4. Алынған өрнектерді бастапқы теңдеуге қойып, теңдеуді және арқылы алу. 2 мысал. (**) Шешімі. 1. А=2, В= ; С=1 – тұрақты коэффициенттері, сондықтан теңдеуді XOY барлық жазықтығында канондық түрге келтіруге болады. яғни бұл гиперболалық типті теңдеу. 2. (**) теңдеуі үшін сипаттамалық теңдеудің түрі: ; немесе , Оны интегралдап, сипаттаушыларын табамыз: 3. Айнымалыларды ауыстыруын жасаймыз: , мұнда: Туындыларын (3.8) формула бойынша табамыз: 4. Алынған өрнектерді берілген теңдеуге қоямыз: Ұқсас мүшелерін біріктіріп, алатынымыз: немесе . жүктеу/скачать 0,64 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|