1-дәріс Дербес туындылы теңдеулер және оларды канондық түрге келтіру
II ретті теңдеулер типі және оларды канонды түрге келтіру
жүктеу/скачать 0,64 Mb.
|
| 3. II ретті теңдеулер типі және оларды канонды түрге келтіру
Анықтама. Дифференциалдық теңдеу деп тәуелсіз айнымалыларды, олардың функциялары мен функцияның туындыларын байланыстыратын қатынасты айтамыз. Егер белгісіз функция тек бір ғана айнымалыдан тұратын болса, онда мұндай теңдеуді қарапайым дифференциалдық теңдеу деп, ал екі немесе бірнеше айнымалыдан тұратын болса, онда теңдеуді дербес туындылы дифференциалдық теңдеу деп атаймыз. Анықтама. Теңдеуге кіретін белгісіз функция туындысының ең жоғары реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады. Бірінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу келесі түрге ие болады: мұндағы - тәуелсіз айнымалылардан тұратын белгісіз функция, ал - оның дербес туындылары, - өзінің айнымалыларына тәуелді берілген функция. Анықтама. дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің шешімі деп, берілген теңдеуді теңбе-теңдікке айналдыратын функцияны айтамыз. Мысалға, дифференциалдық теңдеуді қанағаттандыратын функциясын табу үшін берілген теңдеуді бойынша интегралдап дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін аламыз, мұндағы - айнымалысына тәуелді кез келген функция. теңдеудің шешімін табу үшін айнымалысы бойынша екі рет интегралдаймыз, сонда мұндағы - айнымалысына тәуелді кез келген функциялар. G облысында жоғарғы туындылары бойынша сызықты, екі айнымалыдан тәуелді екінші ретті дербес туындылы теңдеуді қарастырайық: , (*) мұндағы теңдеудің коэффициенттері бос мүше 1. (*) - дифференциалдық теңдеуі сызықтық болады, егер белгісіз функция және оның туындылары сол теңдеуге сызықтық түрде енетін болса. 2. Теңдеу біртексіз сызықтық айнымалы коэффициентті теңдеу болады, егер коэффициенттері -тан тәуелді болса, . 3. Теңдеу квазисызықтық теңдеу болады, егер коэффициенттері , -тан тәуелді болса. 4. Теңдеу біртексіз сызықтық тұрақты коэффициентті теңдеу болады, егер - коэффициенттері сандар болса. 5. Теңдеу біртекті сызықтық теңдеу болады, егер болса. 6. Теңдеу жоғарғы туындыларына қатысты сызықтық деп аталады, егер: коэффициенттері -тан тәуелді, ал коэффициенттері -дан тәуелді болса. 7. теңдеуі берілсін. Коэффициенттері - нақты және тұрақты, функциясы нақты және қандай да бір облысында анықталған. - матрицасы жоғарғы коэффициентті болсын, - бірлік матрица болсын, сипаттаушы теңдеу деп келесі алгебралық теңдеуді айтамыз: ; - нақты және тұрақты, функциясы нақты және қандай да бір облысында анықталған. - матрицасы жоғарғы коэффициентті болсын, - бірлік матрица, - матрицасының меншікті мәндері болсын. - оң меншікті мәндердің саны, - теріс меншікті мәндердің саны, - еселігі ескерілген нольдік меншікті мәндердің саны болсын, онда ә) б) теңдеу эллипсті типке жатады, егер болса; в) гиперболалық типке жатады, егер немесе г) ультрагиперболалық типке жатады, егер ; д) параболалық типке жатады, егер . (*) теңдеуі келесі түрде берілсін: , (3.1) мұндағы - және айнымалыларына тәуелді функциялар. 1. Егер болса, онда (3.1) теңдеу G облысында гиперболалық типке жатады. 2. Егер болса, онда (3.1) теңдеу G облысында параболалық типке жатады. 3. Егер болса, онда (3.1) теңдеу G облысында эллипстік типті. (3.2) - теңдеуі гиперболалық типті теңдеудің канондық түрі деп аталады. немесе (3.3) - теңдеуі параболалық типті теңдеудің канондық түрі деп аталады. (3.4) - теңдеуі эллипстік типті теңдеудің канондық түрі деп аталады. жүктеу/скачать 0,64 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|