№1 дәріс. Кіріспе. Математиканың бұлақ-бастаулары (IX ғ. дейін). Курстың объектісі, пәні және оны оқытудың мақсат-міндеттері. Курстың басқа оқу пәндерімен байланысы
жүктеу/скачать 1,12 Mb. Pdf көрінісі
|
4. Дәріс тезистері
| «réelles»,
ал жалған түбірлерді «imaginaires» деп атады. Жорымал шамалардың арифметикалық қасиеттері кейіннен Лейбниц, И.Бернулли, Эйлер, Даламбер еңбектерінде зерттелді. Олар Гаусстың еңбектерінен кейін ғана жаппай қолданысқа енді. 5. Мұсылман математикасында сандар аймағының жаңа сандармен толықтырылуымен байланысты зерттеулер үздіксіз түрде жүргізілгені мәлім. Осының нәтижесінде теріс емес бүтін сандар жиыны оған оң бөлшек сандарды біріктіру арқылы оң рационал сандар жиынына дейін кеңейтіліп, табиғаты мүлде жаңа – иррационал сандарды қарастыру қолға алынды. Сонымен қатар алғаш рет ондық бөлшектер мен теріс сандар туралы алғашқы түсініктер де осында пайда болды. Еуропада XII ғасырдан бастап мұсылман математиктері трактаттарының латын тіліндегі аудармаларының таралуы еуропалық математиктердің осы жаңалықтармен танысуына мол мүмкіндік туғызды. Еуропа математикасында теріс сан алғашқыда қарыз ретінде (Л.Пизанский) қарастырылғаны белгілі. XV ғасыр математиктерінің теріс сандарды «ештеңеден де кіші» сандар деп атауы (Н.Шюке,т.б.) вертикаль сызықты ойша кескіндеу барысында олардың нөлден төмен орналасатындығы (термометр шкаласындағы бөліктердегі сияқты) туралы түсініктің, яғни геометриялық мағынасының біртіндеп орныға басталғандығын аңғартады. Осы қалыптасқан жағдай теріс санға «жалған» сан ретінде біржақты қараумен байланысты дәстүрлі көзқарастың әлсіреуіне алып келді. Алайда, соған қарамастан, XVI ғасыр математиктерінің барлығы бірдей бұл түсініктен толық арыла қоймады. «Теріс сан» (negativus немесе privativus) атауы Еуропа математикасына айқын түрде XVI ғасырда «Initius Algebra» атты қолжазба арқылы енді. XVII ғасыр математигі А.Жирар алгебралық теңдеулердің теріс түбірлерін «минусы бар шешімдер» деп атады. Осы кезеңде теріс санның геометриялық түсініктемесі беріліп, ол қарама-қарсы бағытталған кесінді ретінде қарастырылды. Жирардың еңбектерінде теріс санның геометриялық мағынасы одан әрі дамытыла түсті және ол Декарттың аналитикалық геометриясы пайда болғаннан кейін жаппай тарала бастады. Ондық бөлшектердің алғаш рет әл-Кәшидің «Есеп кілті» деп аталатын трактатында енгізілгені белгілі. Ол Еуропада алғаш рет XVI ғасырдың екінші жартысында ғана пайда болды. Ондық бөлшектер туралы аса айқын емес, қарапайым түсініктер И.Бонфистың ескі еврей тілінде жазылған кітабында кездеседі. Ондық бөлшектердің Еуропада кеңінен таралуы С.Стевиннің «Ондық» деп аталатын кітабы басылып шыққаннан кейін ғана басталды (1585). Алайда, Стевиннің символикасы өте ыңғайсыз болды, сондықтан ол аса көп тарала қойған жоқ. XVII ғасырдан бастап, ондық бөлшектер сандарды өрнектеудің негізгі құралына айналып, математикалық әдебиетте олардың ерекше қасиеттерін анықтауға мән беріле бастады. Квадрат түбірлердің мәнін жуықтап табудың қарапайым әдістерін іздеу барысында П.Катальди үздіксіз бөлшектерді ашты. Біртіндеп ондық бөлшектердің маңызы арта түсті және үздіксіз бөлшектер туралы ілім дамытыла түсті (Д.Швентер, Дж.Валлис, Х.Гюйгенс, У.Броункер, т.б.). Үздіксіз бөлшектер теориясы толығымен дерлік XVIII ғасырда Л.Эйлердің еңбектерінде жүйеге келтірілді. Жалпы алғанда, мұсылман математиктері иррационал сандарды өлшемдес емес шамалардың қатынасы ретінде қабылдай отырып, оларға қолданылатын негізгі амалдар мен қажетті терминологияны негіздеумен байланысты зерттеу жұмыстарын жүйелі түрде жүргізді. Ал, Еуропада XVI ғасырдың өзінде сан деп оң рационал сандарды ғана түсіну туралы дәстүрлі түсінік үстемдік жасады. Алайда, Пачоли, Тарталья, Кардано, Рудольф сияқты кейбір математиктердің шығармаларында квадраттық иррационалдықтарға амалдар қолдану мәселесі кездеседі. Бірақ соған қарамастан, XV-XVI ғасырлардағы еуропалық математиктердің иррационалдықтарды сандар аймағынан бөлек қарайтын дәстүрден шыға алмағандығын атап айту керек. Бұл дәстүрге алғашқылардың бірі болып қарсы шыққан С.Стевин болды. Жалпы алғанда, XVIII ғасырға дейін сан туралы түсініктер толығымен жүйеге келтіріле қойған жоқ, негізінен, математикада «сан дегеніміз - бірліктердің жиыны» деген түсінік үстемдік етті. Санның қатынас ретіндегі түсініктемесі алғаш И.Ньютонның еңбектерінде кездеседі. 6. XVI ғасырда астрономияда, қаржы және сақтандыру саласында есеп-қисап жұмыстарын жүргізумен байланысты туындаған қиындықтар жуықтап есептеулердің маңызын арттырып, логарифмдердің пайда болуына әсер етті. Логарифмдерді бір-біріне тәуелсіз швейцариялық Н.Бюрги (1620) мен шотландиялық Дж.Непер (1614) ашты. Олардың екеуі де қолдануға ыңғайлы, дәлдігі неғұрлым жоғары логарифмдік кесте жасау үшін логарифмнің негізі 𝑎 бірге жақын (1 + 1 𝑛 ) 𝑘 түріндегі сан болуы керек деген тұжырымға келеді, мұндағы 𝑛 -бүтін сан. Сонда 𝑛 неғұрлым үлкен сан болса, кестенің дәлдігі соғұрлым жоғары болады. Бюрги кестесінде 𝑛 = 10 4 ,Непер кестесінде 𝑛 = 10 7 деп алынады. Алайда, Бюрги логарифмдері кеңінен тарала қойған жоқ, себебі олар аса қолайлы Непер логарифмдерімен бәсекелесе алмады.Бюргидің логарифмдерінен айырмашылығы, Непер ең алдымен, айқын түрде үздіксіз өзгермелі тригонометриялық шамалар – синус пен косинустың барлық мәндері үшін логарифм ұғымын енгізіп, оның кинематикалық анықтамасын береді. Ол алғашқыда «numerous artificialis» (жасанды сан) сөзін, бірақ кейінірек «логарифм» терминін пайдаланады. Жалпы айтқанда, «logarithmus» сөзі гректің χογοϛ – қатынас және άριϑμός- сан деген сөздерінің бірігуінен жасалған, ол «қатынас саны» (χογου άριϑμός) деген мағынаны береді. Неперде де Бюргидегі сияқты логарифм негізі көрсетілмейді. Сонымен қатар логарифмнің берілген негіздегі дәреженің көрсеткіші ретіндегі анықтамасы да келтірілмейді. Логарифмнің осы тұрғыда түсіну керектігін Валлис (1685), И.Бернулли (1694) және т.б. математиктер айтқан, бұл алғаш рет В.Гардинерде кездеседі. Логарифмнің қазіргі анықтамасы Эйлердің еңбектерінде кездеседі. Негізі 10 болатын, яғни ондық логарифмдер кестесін жасауды Г.Бригс жүзеге асырды, ол өзінің кітаптарында 1-ден 20 000-ға және 90 000-нан 100 000-ға дейінгі сандарды қамтитын ондық логарифмдер кестесін жасады (1617, 1624).XVII ғасырда Непердің жаңалығы кеңінен танымал болып, логарифмдік кестелер жасаумен және оны жетілдірумен айналысатын математиктер саны артты. Кеплер логарифмдерді планеталар қозғалысының жаңа кестелерін жасауда пайдаланды. Логарифмдік кестелер жасаумен Дж.Спейдель, Э.Гунтер, А.Флакк, Г.Вег, К.Бремикер және т.б. да айналысты. П.Менголи математикаға «натурал логарифм» терминін енгізді (1659). Осы кезеңде есептеу құралдарын жасау жұмыстары өріс алды. XVI ғасырдан бастап, «Орыс есепшоты» деген атпен белгілі болған есептеу құралы кеңінен таралды (бірақ, бұлай деп аталуы дұрыс емес еді). Дж.Непер 10 және одан да көп, тік параллелепипед түріндегі таяқшалардан тұратын есептеу құралында амалдар орындауды сипаттап жазды (Непер таяқшалары). Непер таяқшалары батыс Еуропа елдерінде біраз уақыт қолданылғанымен, оның кемшіліктері көп болды. Мысалы, ол бөлуді орындауға қолайсыз. Осы құралдағы берілген көбейткіштердің көбейтіндісін автоматты және графиктік түрде табу идеясын логарифмдердің қасиеттерімен ұштастырудың негізінде жаңа есептеу құралы – логарифмдік сызғыштың түрлері ойлап табылды (1624, Э.Гунтер; В.Оутред; 1662, Сет Партридж). Техниканың дами бастауы есептеу жұмыстарын оңайлату мақсатындағы механикалық құралдарды жасауды қолға алуға түрткі болды. Сондай құралдардың алғашқы нұсқасын 1623 ж. В. Шикард жасады. 1642 ж. Б.Паскаль алғашқы арифмометрді құрастырды. Барлық төрт арифметикалық амалды орындай алатындай механикалық есептеу құралын жасауды 1671 ж. Г.В.Лейбниц жүзеге асырды. жүктеу/скачать 1,12 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|