Толық ықтималдықтың формуласы. Байес формуласы. Мысал келтіріңіз

Теорема. Н₁, Н₂, ..., Н_п, (Н_i H_j = Ø, i 
j ) өзара қос-қостан үйлесімсіз оқиғалар

H₁+H₂+…+H_n = U, P(U) = 1 теңдігін қанағаттандырсын және
A  U кездейсоқ оқиғасы

Н₁, Н₂, ..., Н_п оқиғаларымен үйлесімсіз болсын. Онда А оқиғасының ықтималдығы

2

1
Р(А)  Р(Н₁)  Р_Н (А)  Р(Н₂ )  Р_Н
(А)  ...  Р(Н_п )  Р_Н
(А)
(1)

п
формуласымен анықталады. (1) формула толық ықтималдық формуласы деп аталады. 1-мысал. Оқушы 25 емтихан сұрақтарының 20-на дайындалып үлгерген. Емтиханды ең үлкен ықтималдықпен тапсыру үшін оқушы емтихан билетін бірінші болып алғаны дұрыс па, әлде кезекпен алғаны дұрыс па?
Шешуі. оқушының дайындалған билетін «сәтті» деп, ал дайындалып үлгермеген билетін
«сәтсіз» билет деп атайық. Алдымен оқушының билетті бірінші болып алғандағы емтиханды тапсыру ықтималдығын анықтайық. Бұл жағдайда барлық мүмкін жағдайлар

саны n = 25, қолайлы жағдайлар саны m = 20. Сонда
P  ^m  ²⁰  0,8.

n 25
Енді оқушының билетті екінші болып алғандағы емтиханды тапсыру ықтималдығын анықтайық. Әрине, бұл оқиға бірінші билет алған оқушының қандай билет алғанына тәуелді: ол сәтті билет алды ма, әлде сәтсіз билет алды ма? Н₁ арқылы бірінші оқушының «сәтті» билет алғанын, Н₂ арқылы оның «сәтсіз» билет алғанын білдіретін оқиғаларды белгілейік. Бізге қажет оқушының етмиханды тапсыруын білдіретін оқиғаны А арқылы белгілейік. Онда А оқиғасы Н₁ және Н₂ оқиғаларының бірімен орындалады.
Олай болса, (1) формула бойынша:

Р( А)  Р(Н )  Р ( А)  Р(Н )  Р
( А)  0,8  ¹⁹  0,2  ²⁰  0,8 теңдігін аламыз.

1 Н₁ 2 Н ₂
24 24

Мұндағы
Р(Н )  ²⁰  0,8 , Р

( А)  ¹⁹ ,

Р(Н )  ⁵
 0,2, Р
( А)  ²⁰

болатынын

¹ 25
^Н1 ₂₄
² 25
^Н 2 ₂₄

ескердік. Сонымен, оқушының емтихан тапсыру ықтималдығы оның қай кезекпен билет алуына тәуелсіз.

Байес формуласы.

Алдыңғы тақырыптағы теоремадағы А оқиғасының орындалғаны белгілі болсын. Бізге А оқиғасының Н_k оқиғасымен бірге орындалу ықтималдығын анықтау қажет.
Оқиғалардың көбейтіндісі ықтималдығының формуласы бойынша

k
^{P(A  H}_k ^{)  P}_H ^{(A)  P(H}_k ^{)  P}_A ^(H_k ^{)  P(A)} теңдігі орындалды.

k
Осыдан
P (H ) 
P(H_k )  P_H ( A)
(2)

^{A k} P(H )P ( A)  P(H )P ( A)  ...  P(H )P
( A)

1 H₁ 2 H ₂ n H_n
формуласын аламыз. (2) формуланы Байес формуласы, кейде болжамдар теоремасы деп те атайды.

2. 
   мысал. Мектеп оқушыларының 60%-ы қыз балалар. Театрға қыз балалардың 80%-ы және ер балалардың 75%-ы билет алған. Мұғалімдер бөлмесіне жоғалған билет әкелінді. Бұл билетті ер баланың жоғалтып алу ықтималдығын анықтайық.
   

Шешуі. А арқылы оқушының билетін жоғалтып алғанын білдіретін оқиғаны, Н₁ арқылы билетті қыз баланың жоғалтқанын, Н₂ арқылы билетті ер баланың жоғалтқанын білдіретін

оқиғаны белгілейік. Онда Р_А(Н₂) ықтималдығын табу керек. Р(Н₁)=0,6;
Р ( А)  0,8;

Н
1

H(H₂)=0,4;
Р ( А)  0,75 болғандықтан, толық ықтималдықтың формуласы бойынша

Н
2

Р(А)  0,6  0,8  0,4  0,75  0,78
Сонда (2) формула бойынша
болады.

Р (Н
_{) } ^Р(Н₂ ^{)  Р}_{Н 2} ^{( А)} _ 0,4  0,75 _ 5

аламыз.

А 2
Жауабы: ⁵ .
13
Р( А)
0,78 13

14. Бернулли формуласы және оның салдарлары. Мысал келтіріңіз

Қандай да бір сынақ (тәжірибе) барысында А оқиғасы р ықтималдығымен орындалсын. Осы сынақты бірнеше рет қайталағанда әрбір сынақ нәтижесі өзге сынақ нәтижелеріне әсер етпесе, мұндай сынақтарды тәуелсіз сынақтар деп атайды. Сынақты п
рет қайталасақ , А және А оқиғаларынан құралған тізбек аламыз. Мысалы, 4 сынақтың алғашқысында А оқиғасы орындалмай, 2- және 3-сынақтарда орындалып, 4-сынақта тағы

да орындалмаса, онда

А  А  А  А тізбегін аламыз. Мұнда

Р( А)  1 Р( А)  1 р және бұл

ықтималдықты әдетте q арқылы белгілейді: q = 1 - p.

n сынақ нәтижесінде А оқиғасы m рет орындалсын. Көрсетілген тізбекте А оқиғасы n
рет, А оқиғасы n – m рет кездеседі. Сондықтан белгілі бір тәртіппен А оқиғасының n
сынақта m рет орындалу ықтималдығы p^m  1 p^nm  p^m  q^nm. Ал п сынақта А оқиғасы
P m, n  m  C^m түрлі жағдайда m рет орындалады. А оқиғасының п сынақта m рет
n n

орындалу ықтималдығы былай анықталады:
P m  C^m p^m  q^nm.

(3)

n n
(3) формуланы Бернулли формуласы деп атайды. Осыдан п сынақта А оқиғасының m₁
мен m₂ аралығында орындалу ықтималдығы

P_n m₁  m  m₂   P_n m₁  P_n m₁ 1 ...  P_n m₂ 
(4)

теңдігімен анықталады. Оқиғаның п сынақта кем дегенде бір рет орындалу ықтималдығы

n
P m  1  1 qⁿ ,
q  1 p.
(5)

P_n m₀ ықтималдығы Р_п(0), Р_п(1), Р_п(2), ..., Р_п(п) сандарының ең үлкені болса, m₀-ді А оқиғасының п сынақта орындалуының ең ықтималды саны деп атайды. Бұл сан

np  q  m₀  np  p
теңсіздігімен анықталады.
(6)

2. 
   мысал. Мергеннің бір көздегеннен нысанаға дәл тигізу ықтималдығы 0,8. Мергеннің 5 оқ атқанда нысанаға 1) тура үш оқ тигізу ықтималдығын; 2) кем дегенде үш оқ тигізу ықтималдығын; 3) кем дегенде бір рет тигізу ықтималдығы 0,9-дан кем болмайтындай, неше рет оқ атуы қажеттігін; 4) тигізудің ең ықтималды санын анықтайық.
   

Шешуі. 1) Бұл ықтималдықты (3) формула бойынша анықтаймыз. Мұнда p=0,8; q=0,2;

n=5; m=3. Сонда
P 3  C³  p³  q²  ^5!  0,8³  0,2²  0,2048.

^{5 5} 3!2!
2) Р m  3  P 3 P 4 P 5. Мұнда P 3  0,2048, P 4  C⁴  p⁴  q  0,4096 және
5 5 5 5 5 5 5
P 5  C⁵  p⁵  q⁰  0,8⁵  0,32768 болғандықтан, P m  3  0,942.
5 5 5

n
P m  1  1  0,2ⁿ  0,9  0,1  0,2ⁿ  n  lg0,2  lg0,1 

3. 
   (5) формула бойынша _{ n  lg 0,1 }
   

lg 0,2
1

1  lg 2
 1,429.