1. Өрістің жай кеңейімі
жүктеу/скачать 126,41 Kb.
|
АЛГЕБРА
|
1. Өрістің жай кеңейімі Егер өрісі өрісінің ішкі өрісі болса, онда өрісі өрісінің кеңейімі деп аталады және бұл факт қысқаша арқылы жазылады. Егер өрісі өрісінен тек бір элементін қосу арқылы алынған болса, онда өрісінің кеңейімі жай кеңейім, ал элементі қарапайым (примитивті) элемент деп аталады. өрісінің элементін қосу арқылы алынған жай кеңейімі арқылы белгіленеді. болсын. Қосу амалына және өрісі элементіне көбейту амалына қатысты өрісі векторлық кеңістік құрайды. өрісінің -ға қатысты кеңею дәрежесі деп өрісінің -ға қатысты вкеторлық кеңістік ретіндегі өлшемін айтады және арқылы белгіленеді. Егер болса, онда саны қарапайым элементінің дәрежесі деп те аталады. Мынадай ұғымдар енгізейік. 1-Анықтама. болсын. Егер элементі түбірі болатын коэффициенттері -ға тиісті нольдік емес көпмүшелік бар болса, онда элементі -ға қатысты алгебралық элемент деп аталады. 2-Анықтама. болсын. Егер элементі түбірі болатын коэффициенттері -ға тиісті нольдік емес көпмүшелік жоқ болса, онда элементі -ға қатысты трансцендент элемент деп аталады. Егер трансцендент элемент болса, онда оның дәрежелері -ға қатысты сызықты тәуелсіз болады. Бұл жағдайда деп жазады. Егер болса, онда өрісінің кеңейімі ақырлы кеңейім, керісінше болған жағдайда ақырсыз кеңейім деп аталады. Мысалы: 1) . Шынында да, сандары нақты сандар өрісіне қатысты сызықты тәуелсіз, себебі жне . Осын сандар арқылы барлық комплекс сандар сызықты өрнектеледі, сондықтан сандары -ның -ге қатыты базисі болады. 2) болғандықтан кеңейімі ақырлы кеңейім. 3) кеңейімі ақырсыз кеңейім, себебі, мысалы, трансцендент санының дәрежелері, яғни сандары сызықты тәуелсіз, яғни . Барлық элементтері -ға қатысты алгебралық элемент болатын кеңейімі -ға қатысты алгебралық кеңейім деп аталады. Алгебралық кеңейімнің әрбір элементі -ға тәуелді қандай да бір нольден өзгеше унитар көпмүшелігінің түбірі болады. Егер және болатындай кезкелген көпмүшелігі үшін болса, онда көпмүшелігі элементінің минималь көпмүшелігі деп аталады. Минималь көпмүшелік -ға қатысты келтірілмейтін көпмүшелік болып табылады және ол бірмәнді анықталады. Оның дәрежесі элементінің дәрежесімен сәйкес келеді. көпмүшелігінің барлық әртүрлі түбірлері -ға түйіндес деп есептеледі. Енді өрісінің -ға тиісті элементтерінің қалай жазылатындығын анықтайық. Алдымен – алгебралық элемент болсын дейік. Онда , мұндағы – элементінің минималь көпмүшелігі, ал – осы көпмүшелік арқылы жасалған сақинасының идеалы. – -ші дәрежелі () көпмүшелік болсын. Онда , , (1) түріндегі элементтерден тұрады. Шынында да, кезкелген көпмүшелігін көпмүшелігіне бөліп, орнына қоюды жүзеге асырамыз. (1) түріндегі элементтерді қосу және көбейту амалдары көпмүшеліктерді қосу және көбейту ретінде орындалады. көпмүшелігіне сәйкес келетін элементіне кері элементтің бар болатынын көрсетейік. көпмүшелігі келтірілмейтін көпмүшелік болғандықтан, ЕҮОБ()=1 болады және бұдан теңдігі орындалатындай дәрежелері -нен кіші көпмүшеліктерінің табылатындығы шығады. Онда , ал бұдан . Сонымен, егер – алгебралық элемент болса, онда , мұндағы – элементінің -ға қатысты дәрежесі. Егер – трансцендент болса, онда өрісі сақинасының (ол бүтіндік облыс болады) қатынастар өрісіне изоморфты болады, демек барлық , , бөлшектері -ға тиісті болады. Мұндай бөлшектер өрісінің ішкі өрісін құрайды, себебі, мұндай бөлшектердің қосындысы, айырымы, көбейтіндісі және қатынасы осындай бөлшектер болады. Олай болса, . Мысалы. 1) Егер болса, онда ,. 2) . 3) , себебі болғандықтан, жиынының кезкелген көпмүшелігінің дәрежесі 1-ден артық емес, яғни , және , әрі кезкелген үшін . Сонымен, өрісі бүтіндік облысының қатынастар өрісі, ал дербес жағдайда, -ға қатысты алгебралық элементі үшін болады екен. Жоғарыда айтылғандардан мынадай теореманың орындалатындығы шығады: 1-Теорема. болсын. элементі алгебралық элемент болу үшін болуы қажетті және жеткілікті. Сонымен бірге, -ның алгебралық болуынан теңдігінің орындалатындығы шығады. жүктеу/скачать 126,41 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|