1. Өрнек санды теңдіктер туралы теориялық негіздемесі

тарау. Практикалық бөлім. Теңсіздікді оқыту әдістемесі

жүктеу/скачать 123,87 Kb. бет 2/2 Дата 25.05.2023 өлшемі 123,87 Kb. #97545

2.тарау. Практикалық бөлім. Теңсіздікді оқыту әдістемесі Мен педагогикалық практика барысында теңдік және теңсіздік ұғымдарыментаныспас бұрын балалар «аз,кем,артық» тнрминдерімен танысу керек. «Алгебра элементтері» қатарына жатады Сандарды бір-бірімен салыстыру арқылы , яғни қандай да бір заттармен , дидактикалық көрнекіліктердің көмегімен екі немесе одан да көп топқа бөліп салыстыру қай топта аз,кем немесе тең екенін табумен байланыстырылады және соған сай қатынас таңбаларын(<,>,=) қою арқылы көрсетіледі. Ал сол шыққан нәтижеге сәйкес теңдік немесе теңсіздік деп аталады. Балаларға бұл мәліметтерді меңгерту үшін дидактикалық көрнекіліктермен жгмыс жасаған әлде қайда тиімділік көрсетеді. Мысалы, b санынан c санының кіші екендігін немесе үлкен екендігін былай көрсете аламыз: bs. Енді сандардың көмегімен бірнеше мысал келтірейік: 4<6 9>8 10=10 8>3 20>10 20=20 Теңсіздіктер бойынша жұмыс I сыныптан бастап, арифметикалық материалды зерттеумен органикалық түрде үйлеседі. I-III сыныптарға арналған Математика бағдарламасы сандарды салыстыруды, сондай-ақ "көп", "аз", "тең" қатынастарын орнату мақсатында өрнектерді салыстыруды орындау міндетін қояды; салыстыру нәтижелерін белгілермен жазуды және алынған теңсіздіктерді оқуды үйрету. Оқушылар сандық теңсіздіктерді берілген сандарды немесе арифметикалық өрнектерді салыстыру нәтижесінде алады. Сондықтан белгілер кез-келген екі санды емес, кез-келген екі өрнекті емес, тек олардың арасындағы қатынастар бар. Егер бір Сан екіншісінен үлкен (кіші) болса немесе бір өрнек басқа өрнекке қарағанда үлкен (кіші) мәнге ие болса, онда сәйкес белгімен жалғанған олар теңсіздікті құрайды. Осылайша, бастапқыда бастауыш сынып оқушыларында тек дұрыс теңсіздіктер туралы ұғымдар қалыптасады. Алайда, айнымалымен теңдеулермен, өрнектермен және теңсіздіктермен жұмыс жасау барысында студенттер айнымалының әртүрлі мәндерін алмастыра отырып, бақылаулар жинақтайды және теңдіктер мен теңсіздіктердің дұрыс та, бұрыс та екендігіне көз жеткізеді. Ұғымдарды ашудың бұл тәсілі теңдіктер, теңсіздіктер, теңдеулер бойынша жұмыс жасаудың тиісті әдістемесін анықтайды. Бастауыш сыныптардағы теңсіздіктермен танысу нөмірлеу мен арифметикалық әрекеттерді зерттеумен тікелей байланысты. Салыстыру алдымен жиынтықтарды салыстыру негізінде жүзеге асырылады, ол белгілі бір сәйкестікті орнату арқылы жүзеге асырылады. Жиындарды салыстырудың бұл әдісі балаларға дайындық кезеңінде және алғашқы ондықтың нөмірленуін зерттеудің басында үйретіледі. Жол бойында жиындардың элементтерін санау және алынған сандарды салыстыру орындалады (шеңберлер 7, үшбұрыштар 5, шеңберлер үшбұрыштардан Үлкен, 7 5-тен үлкен). Болашақта сандарды салыстыру кезінде оқушылар натурал қатардағы орнына сүйенеді: 9 10-нан аз, өйткені санау кезінде 9 саны 10 санының алдында аталады; 5 4-тен үлкен, өйткені санау кезінде 5 саны 4 санынан кейін аталады. Белгіленген қатынастар белгілер арқылы жазылады, оқушылар теңсіздіктерді оқу және жазу жаттығуларын жасайды. Кейіннен 100, 1000 шегіндегі сандардың нөмірленуін, сондай-ақ көп таңбалы сандардың нөмірленуін зерделеу кезінде сандарды салыстыру оларды натурал қатардағы орны бойынша салыстыру негізінде немесе сандардың ондық құрамы бойынша ыдырауы және жоғары саннан басталатын тиісті биттік сандарды салыстыру негізінде жүзеге асырылады (75>48, өйткені 7 ондық саннан көп 4 ондық; 75>73, өйткені ондықтар тең, ал бірінші сандағы бірліктер екіншісіне қарағанда көп). Шамаларды салыстыру алдымен объектілерді осы қасиет бойынша салыстыруға негізделеді, содан кейін шамалардың сандық мәндерін салыстыру негізінде жүзеге асырылады, ол үшін берілген шамалар бірдей өлшем бірліктерінде көрсетіледі. Шамаларды салыстыру оқушыларға қиындық туғызады, сондықтан бұл операцияны үйрету үшін I-III сыныптарда жүйелі түрде әртүрлі жаттығуларды ұсыну қажет, мысалы: Тең мәнді таңдаңыз: 7 км 500 м = 天 м, 3080 кг= 天 т. кг. Шамаларды таңдаңыз сандық мәндері, сондықтан жазу дұрыс: □ сағ<□ мин □ см =□ дм □ см □ т □ ц =□ кг; 3) жазбаның дұрыс болуы үшін шамалардың атауын енгізіңіз: 16 мин>16... Мұндай жаттығулар балаларға тең және тең емес шамалар туралы түсініктерді ғана емес, сонымен қатар өлшем бірліктерінің қатынастарын да игеруге көмектеседі. Өрнектерді салыстыруға көшу біртіндеп жүзеге асырылады. Біріншіден, 10-да қосу мен азайтуды үйрену процесінде балалар өрнек пен санды (сандар мен өрнектерді) салыстыруға ұзақ уақыт жаттығады. Түрдің алғашқы теңсіздіктері 3+1>3, 3-1<3 теңдіктен алу пайдалы (3=3), түрлендірулерді жиынтықтарға сәйкес операциялармен сүйемелдеу. Мысалы, 3 Үшбұрыш пен 3 шеңбер сынып тақтасында және үстелдерде қойылып, жазылған: 3=3. Мұғалім балаларға 3 үшбұрышқа тағы 1 үшбұрышты итеріп, оны жазуды ұсынады (3 + 1-үшбұрыштардың астындағы жазба). Үйірмелер саны азайған жоқ (3). Оқушылар үшбұрыштар мен шеңберлердің санын салыстырады және үшбұрыштардың шеңберлерден үлкен екендігіне көз жеткізеді (4>3), Сондықтан жазуға болады: 3+1>3 (үш плюс біреуі үштен көп). Ұқсас жұмыс 3-1<3 теңсіздігінде (үш минус біреуі үштен аз) орындалады. Болашақта өрнек пен санды (сан мен Өрнек) оқушылар жиындардағы операцияларға жүгінбей салыстырады; өрнектің мәнін тауып, оны берілген санмен салыстырады, бұл жазбаларда көрінеді: 5+3>5 2<7-4 7=4+5 8>5 2<3 7=7 Өрнектердің атауларымен танысқаннан кейін оқушылар теңдік пен теңсіздікті былай оқиды: 5 және 3 сандарының қосындысы 5 санынан үлкен; 2 саны 7 және 4 сандарының айырмашылығынан аз және т. б. Жиындардағы операцияларға және жиындарды салыстыруға сүйене отырып, студенттер іс жүзінде теңдік пен теңсіздіктің маңызды қасиеттерін игереді (егер а>b, содан кейін b Балалар шеңберлер мен үшбұрыштар тең болса, көреді (сурет.1), шеңберлер үшбұрыштар (3+2=5), сондай-ақ шеңберлер (5=3+2) сияқты үшбұрыштар деп айтуға болады. Егер заттар бірдей болмаса (сурет.2), содан кейін кейбіреулері көп (3 + 1>3), ал басқалары аз (3<3 + 1). Сурет.1 сурет.2 Болашақта 100, 1000 және 1000000 шегіндегі әрекеттерді зерделеу кезінде өрнектер мен сандарды салыстыру жаттығулары жаңа сандық материалда беріледі және өрнектердегі сандар мен іс-қимыл белгілерінің саны артады. Бірнеше рет арнайы таңдалған өрнектер мен сандарды салыстыра отырып, мысалы: 17+0 және 17, 19-0 және 19, 7-1 және 7, 0: 5 және 0, С+1 және с, с: 1 және с және т.б., оқушылар іс-әрекеттің ерекше жағдайлары туралы бақылаулар жинайды, іс-әрекеттің нақты мағынасын тереңірек біледі. Өрнектер мен сандарды салыстыру жаттығулары өрнектерді оқу дағдыларын бекітеді және есептеу дағдыларын дамытуға ықпал етеді. Екі өрнекті салыстыру олардың мәндерін салыстыру дегенді білдіреді. Өрнектерді салыстыру алғаш рет қосу мен азайтуды зерттеудің соңында 10-да енгізіледі, содан кейін барлық концентрациядағы әрекеттерді зерттеу кезінде бұл жаттығулар оқушыларға жүйелі түрде ұсынылады. Мысалы, сомаларды салыстыру қажет: 6+4 және 6+3. Оқушы осылай ойлайды: бірінші сома 10-ға тең, екіншісі 9-ға тең, 10 9-дан үлкен, демек 6 және 4 сандарының қосындысы 6 және 3 сандарының қосындысынан үлкен. Бұл пайымдау жазбаларда көрінеді: Басқа концентраттардағы әрекеттерді зерделеу кезінде өрнектерді салыстыру жаттығулары күрделене түседі: өрнектер күрделене түседі, студенттерге өрнектердің біріне сәйкес санды енгізу тапсырмалары ұсынылады, осылайша дұрыс теңдіктер немесе теңсіздіктер алынады; теңдіктердің (теңсіздіктердің) дұрыс екендігін тексеру, дұрыс емес қатынастар белгісін немесе өрнектердің біріндегі санды өзгерту арқылы түзету; осы өрнектерден адал теңдік немесе адал теңсіздік. Өрнектердің өзі өрнектерді салыстыра отырып, оқушылар компоненттер мен әрекеттер нәтижелері арасындағы қасиеттер мен тәуелділіктерді байқайтындай етіп таңдалады. Мысалы, есептеулер арқылы 60+40 қосындысы 60+30 қосындысынан көп екенін анықтағаннан кейін, мұғалім осы қосындылардың сәйкес терминдерін салыстыруды ұсынады, ал балалар бұл қосындылардың бірінші терминдері бірдей, ал екінші қосындысы бірінші қосындыда екіншісіне қарағанда үлкен екенін атап өтеді. Осы тәуелділікті байқаған кезде оқушылар бірнеше рет жалпылауға келеді, содан кейін білімдерін өрнектерді салыстыру кезінде қолданады. Осылайша, барлық концентрацияларды зерттеу кезінде сандар мен өрнектерді салыстыру жаттығулары, бір жағынан, мен теңсіздіктер туралы ұғымдарды қалыптастыруға, екінші жағынан, нөмірлеу және арифметикалық әрекеттер туралы білімді игеруге, сондай-ақ есептеу дағдыларын дамытуға ықпал етеді. Түр айнымалысы бар теңсіздіктер: X+3<7, 10-X>5, x-4>12, 72: x<36 II сыныпта енгізіледі. Алдын ала тиісті дайындық жұмыстары жүргізіледі: жаттығулар енгізіледі, онда айнымалы әріппен емес, "тереземен" (квадратпен) көрсетіледі, мысалы: □ >0, 6+4> □, 7+ □ <10 және т. б. оқушыларға дұрыс жазба алу үшін осындай санды таңдау ұсынылады. Мұндай жаттығуларды орындау кезінде мұғалім балаларды әр түрлі сандарды ауыстыруға шақыруы керек; мысалы, теңсіздікте сіз 1 санын алмастыра аласыз (1>□), Сіз 2 (2>□), Сіз Z (3>□) және т. б. Бірнеше сандар аталғаннан кейін бақылауларды жалпылау пайдалы (мысалы, екінші теңсіздікте 10-нан 0-ден 9-ға дейінгі кез-келген санды ауыстыруға болады). II сыныпта, мысалы, x+3<10 теңсіздігін қарастыра отырып, студенттер таңдау арқылы x әрпінің қандай мәндерінде x+3 қосындысының мәні 10-нан аз екенін анықтайды. Әрбір осындай тапсырмада көптеген сандар беріледі-айнымалының мәндері. Оқушылар әріп мәндерін өрнекке ауыстырады, өрнектің мәнін есептейді және оны берілген санмен салыстырады. Осындай жұмыстың нәтижесінде осы теңсіздік дұрыс болатын айнымалы мәндер таңдалады. "Теңсіздікті шешу", "теңсіздікті шешу" терминдері бастауыш сыныптарда енгізілмейді, өйткені көптеген жағдайларда олар дұрыс теңсіздік алынған айнымалының бірнеше мәндерін таңдаумен шектеледі. Кейінірек теңсіздіктері бар жаттығуларда айнымалының мәні берілмейді, оқушылар оларды өздері таңдайды. Мұндай жаттығулар әдетте мұғалімнің басшылығымен орындалады. Сіз балаларды теңсіздіктегі айнымалы мәндерді таңдаудың осы әдісімен таныстыра аласыз. 7×k<70 теңсіздігі берілсін. Біріншіден, Бұл өнім k мәні 70-ке тең (K=10-да). Өнім 70-тен аз болуы үшін мультипликаторды 10-нан аз алу керек. Оқушылар 9, 8 және т. б. сандарды нөлге ауыстырады, алынған өрнек мәндерін берілген (70) мәнімен есептейді және салыстырады және жауапты атайды. Теңсіздіктермен жаттығулар есептеу дағдыларын нығайтады, сонымен қатар арифметикалық білімді игеруге көмектеседі. Мысалы, компоненттердің әр түрлі сандық мәндерін алмастыра отырып, балалар компоненттердің біреуінің өзгеруіне байланысты іс-қимыл нәтижелерінің өзгеруі туралы бақылаулар жинайды. Мұнда балалардың әр іс-әрекеттің нақты мағынасы туралы білімдері нақтыланады (осылайша, шегерілетін мәндерді алмастыра отырып, балалар шегерілетін нәрсенің азаюдан аспайтынына көз жеткізеді және т.б.). Түрдің теңсіздіктері мен теңдіктеріндегі әріп мәндерін таңдау: 5+X=5, 5-X=5; 10×x=10, 10×x<10, оқушылар есептеудің ерекше жағдайлары туралы білімдерін бекітеді. Теңсіздіктермен жұмыс жасай отырып, оқушылар айнымалы ұғымды бекітеді және IV сыныптағы теңсіздіктерді шешуге дайындалады. Бағдарламаға сәйкес I-III сыныптарда бір түрі белгісіз бірінші дәрежелі теңдеулер қарастырылады: Белгісіз Сан алдымен таңдау арқылы, ал кейінірек нәтиже мен арифметикалық әрекеттердің компоненттері арасындағы байланысты білуге негізделген (яғни белгісіз компоненттерді табу жолдарын білу). Бағдарламаның бұл талаптары теңдеулермен жұмыс істеу әдістемесін анықтайды. Теңдеу ұғымымен байланысты материалдың маңыздылығы мен кеңдігіне байланысты оны математиканың қазіргі әдістемесінде зерттеу теңдеулер мен теңсіздіктердің мазмұндық-әдістемелік сызығында ұйымдастырылған. Мұнда теңдеу мен теңсіздік ұғымдарын қалыптастыру, оларды шешудің жалпы және нақты әдістері, теңдеулер мен теңсіздіктерді зерттеудің математика курсының сандық, Функционалды және басқа сызықтарымен байланысы қарастырылады. Алгебрадағы теңдеу ұғымының пайда болуы мен жұмыс істеуінің белгіленген бағыттары мектеп математика курсында теңдеулер мен теңсіздіктер сызығын орналастырудың үш негізгі бағытына сәйкес келеді. а) теңдеулер мен теңсіздіктер сызығының қолданбалы бағыты негізінен мәтіндік есептерді шешудің алгебралық әдісін зерттеу кезінде ашылады. Бұл әдіс мектеп математикасында кеңінен қолданылады, өйткені ол математика қосымшаларында қолданылатын әдістерді оқытумен байланысты. Қазіргі уақытта математика қосымшаларында жетекші орынды математикалық модельдеу алады. Осы тұжырымдаманы қолдана отырып, теңдеулердің, теңсіздіктердің және олардың жүйелерінің қолданбалы мәні олардың математикалық модельдеуде қолданылатын математикалық құралдардың негізгі бөлігі екендігімен анықталады деп айтуға болады. б) теңдеулер мен теңсіздіктер сызығының Теориялық-математикалық бағыты екі аспектіде ашылады: біріншіден, теңдеулердің, теңсіздіктердің және олардың жүйелерінің маңызды кластарын зерттеуде, екіншіден, жалпы сызыққа қатысты жалпыланған ұғымдар мен әдістерді зерттеуде. Бұл екі аспект те мектеп математикасы курсында қажет. Теңдеулер мен теңсіздіктердің негізгі кластары қарапайым және сонымен бірге ең маңызды математикалық модельдермен байланысты. Жалпыланған ұғымдар мен әдістерді қолдану жалпы сызықты зерттеуді логикалық түрде ұйымдастыруға мүмкіндік береді, өйткені олар теңдеулердің, теңсіздіктердің, жүйелердің жеке кластарына қатысты процедуралар мен шешімдерде бар нәрсені сипаттайды. Өз кезегінде, бұл жалпы ұғымдар мен әдістер негізгі логикалық ұғымдарға сүйенеді: белгісіз, теңдік, эквиваленттілік, логикалық ұстаным, олар теңдеулер мен теңсіздіктер сызығында да ашылуы керек. в) теңдеулер мен теңсіздіктер сызығы математика курсының қалған мазмұнымен байланыс орнатуға бағытталуымен сипатталады. Бұл сызық сандық сызықпен тығыз байланысты. Осы сызықтардың өзара байланысын орнату процесінде жүзеге асырылатын негізгі идея-сандық жүйені дәйекті түрде кеңейту идеясы. Барлық нақты сандар өрісін қоспағанда, мектеп алгебрасында және талдау принциптерінде қарастырылатын барлық сандық аймақтар кез-келген теңдеулерді, теңсіздіктерді, жүйелерді шешуге байланысты туындайды. Мысалы, сандық аралықтар теңсіздіктермен немесе теңсіздіктер жүйелерімен ерекшеленеді. Иррационал және логарифмдік өрнектердің домендері сәйкесінше теңдеулермен байланысты (k-1-ден үлкен натурал сан) және Теңдеулер мен теңсіздіктер сызығының сандық сызықпен байланысы екі жақты. Жоғарыда келтірілген мысалдар теңдеулер мен теңсіздіктердің сандық жүйені орналастыруға әсерін көрсетеді. Кері әсер жаңадан енгізілген әрбір сандық аймақ әртүрлі теңдеулер мен теңсіздіктерді құрастыру және шешу мүмкіндіктерін кеңейтетіндігінде көрінеді. Теңдеулер мен теңсіздіктер сызығы функционалды сызықпен де тығыз байланысты. Теңдеулер мен теңсіздіктер сызығында әзірленген әдістерді қолданудың осындай маңызды байланыстарының бірі функцияны зерттеуге (мысалы, кейбір функцияларды, олардың тамырларын, тұрақтылық аралықтарын және т. б. анықтау аймағын табуға арналған тапсырмалар). Екінші жағынан, функционалды сызық теңдеулер мен теңсіздіктер сызығының мазмұнына да, оны зерттеу стиліне де айтарлықтай әсер етеді. Атап айтқанда, функционалдық көріністер теңдеулерді, теңсіздіктерді және олардың жүйелерін шешуге және зерттеуге графикалық көрнекілікті тартуға негіз болады. Мұндай түрлендірулердің үш түрін ажыратуға болады: 1) теңсіздіктің бір бөлігін түрлендіру. 2) теңсіздіктің екі бөлігінің де келісілген түрленуі. 3) логикалық құрылымды түрлендіру. Бірінші типтегі түрлендірулер шешілетін теңсіздік жазбасына кіретін өрнекті жеңілдету қажет болған жағдайда қолданылады. Теңсіздіктің бір бөлігін түрлендіру барлық басқа түрлендірулерден бұрын қолданылады, бұл математиканың бастапқы курсында да орын алады. Түрлендірудің осы түрін меңгерудің беріктігі түрлендірудің басқа түрлерін зерттеудің сәттілігі үшін өте маңызды, өйткені олар өте жиі қолданылады. Екінші типтегі түрлендірулер арифметикалық әрекеттерді немесе қарапайым функцияларды қолдану нәтижесінде теңсіздіктің екі бөлігінің де келісілген өзгеруінен тұрады. Екінші типтегі түрлендірулер салыстырмалы түрде көп. Олар теңсіздіктер сызығында зерттелген материалдың өзегін құрайды. Осы типтегі түрлендірулерге мысалдар келтірейік. 1) теңсіздіктің екі бөлігіне бірдей өрнекті қосу. 2а) теңсіздіктің екі бөлігін де тек оң мәндерді қабылдайтын өрнекке көбейту (бөлу). 2б) теңсіздіктің екі бөлігін тек теріс мәндерді қабылдайтын өрнекке көбейту (бөлу) және теңсіздік белгісін керісінше өзгерту. 3а) a>b теңсіздігінен f(a) >f(b) теңсіздігіне ауысу, мұндағы f-өсіп келе жатқан функция немесе кері ауысу. 3б) а Екінші типтегі түрлендірулердің ішінде теңсіздіктерді түрлендіру күрделі, кең жүйені құрайды. Бұл көбінесе теңсіздіктерді шешу дағдылары теңдеулерді шешу дағдыларына қарағанда баяу қалыптасатынын және оқушылардың көпшілігінде бірдей деңгейге жетпейтінін түсіндіреді. Түрлендірулердің үшінші түріне тапсырмалардың логикалық құрылымын өзгертетін теңсіздіктер мен олардың жүйелерінің түрлендірулері жатады. Қолданылған терминді түсіндірейік логикалық құрылым". Әр есепте қарапайым предикаттарды - жеке теңдеулерді немесе теңсіздіктерді ажыратуға болады. Тапсырманың логикалық құрылымы арқылы біз осы қарапайым предикаттардың логикалық байланыстары арқылы байланысу тәсілін түсінеміз конъюнкция немесе дизъюнкциялар. Теңсіздіктер мен олардың жүйелерінің түрлендірулерін зерттеу және пайдалану, бір жағынан, оқушылардың жеткілікті жоғары логикалық мәдениетін болжайды, ал екінші жағынан, мұндай түрлендірулерді зерттеу және қолдану барысында логикалық мәдениетті қалыптастыруға кең мүмкіндіктер бар. Өндірілген түрлендірулерді сипаттауға қатысты сұрақтарды нақтылау үлкен маңызға ие: олар эквивалентті ме, әлде логикалық ұстаным ма, бірнеше жағдайды қарастыру қажет пе, тексеру қажет пе? Мұнда еңсеруге тура келетін қиындықтар сол түрлендірудің сипаттамасын біржақты түрде келтіру әрдайым мүмкін емес екендігімен байланысты: кейбір жағдайларда ол, мысалы, баламалы болуы мүмкін, ал басқаларында эквиваленттілік бұзылады. Теңдеулер мен теңсіздіктер сызығының материалын зерттеу нәтижесінде студенттер нақты тапсырмаларды шешуге алгоритмдік нұсқауларды қолдануды игеріп қана қоймай, қажет болған жағдайда шешімдерді негіздеу үшін логикалық құралдарды қолдануды үйренуі керек. Оқытумен бірге жүретін екі қарама-қарсы бағытталған процесті ескеру қажет. Бірінші процесс-теңсіздіктер кластарының санын және оларды шешу әдістерін, шешімде қолданылатын әртүрлі түрлендірулерді біртіндеп арттыру. Көлемнің ұлғаюына байланысты материал бөлшектелген сияқты, оның жаңа фрагменттерін зерттеу қазірдің өзінде зерттелгендердің болуымен қиындайды, екінші процесс әртүрлі теңдеулер кластары арасында әртүрлі байланыстар орнату, барған сайын жалпы сыныптарды анықтау, түрлендірулердің барған сайын жалпыланған түрлерін бекіту, шешімдердің сипаттамасы мен негіздемесін жеңілдету. Осы процестердің өзара әрекеттесуі нәтижесінде зерттелген материал студенттерге салыстырмалы түрдеактам түрде ұсынылуы керек, бұл оны қиындатпайды, керісінше жаңасын игеруді жеңілдетеді. Мұндай өзара әрекеттесуді орнату қажеттілігі теңдеулер мен теңсіздіктер сызығында қолданылатын әдістемелік әдістерді, атап айтқанда оқу материалын сатылар бойынша бөлуді анықтайды. Төрт негізгі кезеңді ажыратуға болады: теңсіздіктердің негізгі түрлерін және олардың жүйелерін тәуелсіз зерттеу; зерттелген теңсіздіктер кластарының санын және олардың жүйелерін біртіндеп кеңейту; теңсіздіктер мен олардың жүйелерін шешудің және талдаудың кең ауқымы бар әдістерін қалыптастыру; теңдеулер мен теңсіздіктер сызығының материалын синтездеу. Біз осы қадамдарға сипаттама береміз. Теңсіздіктердің негізгі түрлерін және олардың жүйелерін зерттеу. Математика курсында зерттелген барлық теңсіздіктер мен жүйелер түрлерінің ішінде негізгі типтердің салыстырмалы түрде шектеулі саны ерекшеленеді, олардың қатарына мыналар жатады: бір белгісізі бар сызықтық теңсіздіктер, квадрат теңсіздіктер, қарапайым иррационалды және трансценденттік теңсіздіктер. Бұл сыныптар өте мұқият зерттеледі, олар үшін шешім алгоритмдерінің орындалуы көрсетіледі және автоматизмге жеткізіледі, жауап жазылуы керек форма көрсетіледі. Теңсіздіктердің әрбір жаңа негізгі класын енгізу стандартты жауап жазу формасына кіретін сандық өрнектердің жаңа аймағын енгізумен қатар жүреді. Сонымен қатар, материал игерілген кезде, кейде осы теңсіздіктер класы үшін стандартты емес жауаптар туындауы мүмкін тапсырмаларды ұсынған жөн. Теңсіздіктердің негізгі кластары мен олардың жүйелерінің әрқайсысы нәтиженің коэффициенттерге тәуелділігін зерттеуді қажет етеді, өйткені бір сыныпқа кіретін тапсырмалардағы көптеген шешімдер айтарлықтай өзгеруі мүмкін. Теңсіздіктер мен олардың жүйелері үшін, әдетте, олардың көптеген шешімдерін координаталық түзуде немесе жазықтықта бейнелейтін геометриялық фигуралардың қарапайым ерекшеліктері айырмашылықтың өлшемі ретінде алынады. Кейде түбірлердің позитивтілігін немесе негативтілігін (егер белгісіз біреу болса), координаталық кварталдардың біріне екі белгісіз теңдеулердің шешімдеріне жататындығын анықтау қажет. Теңсіздіктерді шешудің және зерттеудің жалпы әдістерін қалыптастыру Теңсіздіктерді зерттеу барысында жалпы, әмбебап шешу және зерттеу құралдарының рөлі барған сайын байқалады. Мұндай жалпыланған құралдарды, әдістерді үш топқа бөлуге болады. Бірінші топ шешімді негіздеудің логикалық әдістерінен тұрады. Осы әдістерді қолдана отырып (мысалы, эквивалентті түрлендірулер немесе логикалық ұстанымдар) бастапқы теңсіздіктерден жаңасына ауысады. Мұндай ауысулар белгілі сыныптарға жататын тапсырмалар алынғанға дейін жасалады. Екінші топ есептеу әдістерінен тұрады, олардың көмегімен осы теңсіздіктің бір бөлігін жеңілдету, белгісіз орнына ауыстыру арқылы табылған тамырларды тексеру, әртүрлі аралық есептеулер және т.б. есептеу техникасын қолдану кезінде сандық есептеулер жүргізу мүмкіндігі күрт артады. Үшінші топқа визуалды-графикалық әдістер кіреді. Бұл әдістердің көпшілігі негіз ретінде координаталық түзу немесе координаталық жазықтықты пайдаланады. Координаталық сызықты қолдану кейбір теңсіздіктер мен бір белгісіз теңсіздіктер жүйесін, сондай-ақ модульдермен теңсіздіктерді шешуге мүмкіндік береді. Мысалы, бір белгісіз сызықтық теңсіздіктер жүйесін шешудің әдісі-координаталық сызыққа әр теңсіздіктің көптеген шешімдері қолданылады, содан кейін олардың жалпы бөлігі бөлінеді. Модульдермен теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу сандар айырмашылығы Модулінің геометриялық интерпретациясымен байланысты. Координаталық жазықтықты қолдану теңсіздіктерді және олардың жүйелерін бір және екі белгісізбен шешуге және зерттеуге графикалық әдістерді қолдануға мүмкіндік береді. Графикалық Әдістер Зерттеу нәтижелерін таза аналитикалық жазба қолайсыз жерде бейнелеу үшін тиімді қолданылады. Суретте орналастырылған ax2+bx+c>0 теңсіздігін шешудің әртүрлі жағдайлары берілген схема тән мысал болып табылады.3. Белгілі бір жаттығудың нәтижесінде студенттер мұндай схеманы, содан кейін оны ақыл-ой тәсілімен қолдануға дағдыланады. 2.2 Теңсіздіктердің негізгі кластарын және олардың жүйелерін оқыту әдістемесі Бұл сыныптарды екі топқа бөлуге болады. Бірінші топ рационалды теңсіздіктер және жүйелер. Ең маңызды сыныптар сәйкес теңсіздіктер кластары болып табылады. Екінші топ-иррационалды және трансценденттік теңсіздіктер мен жүйелер. Бұл топқа иррационалды, индикативті, логарифмдік және тригонометриялық теңсіздіктер кіреді. Бірінші топ толық емес орта мектеп алгебрасы курсында күшті шешім дағдыларын қалыптастыруға дейін жеткілікті орналастыруды алады. Бұл курстағы екінші топ енді ғана зерттеле бастады және барлық сыныптар қарастырылмайды, ал түпкілікті зерттеу алгебра курсында жүреді және талдауды бастады. Екінші топты зерттеу кезінде теңсіздіктер сызығына қатысты жалпы ұғымдар мен әдістерге сүйену керек. Алайда бұл айырмашылық екі топқа қарама-қайшы келетін жалғыз айырмашылық емес. Осы топтардың әрқайсысының материалын орналастыруға байланысты ерекшеліктерді ескеру маңызды. Екінші топқа кіретін теңсіздіктердің бірінші тобымен салыстырғанда, оларды зерттеу барысында математика курсының басқа жолдарымен - сандық, функционалды, бірдей түрлендірулермен және т. б. айтарлықтай күрделі байланыстар табылды. Теңсіздіктер мен жүйелердің әртүрлі кластарын зерттеу реті әртүрлі оқулықтарда әртүрлі. Алайда, оларды енгізудің кезектілігі үшін мүмкін болатын нұсқалардың саны тым көп емес-сыныптар бір-біріне белгілі бір логикалық тәуелділікте болады, бұл олардың курста пайда болу тәртібін белгілейді. Мұндай тәсілдердің болуы әдістемелік сипаттауды қиындатады, өйткені бір немесе басқа жолды қабылдау материалды зерттеудің әртүрлі әдістерін қажет етеді. Теңсіздіктерді зерттеудегі бірқатар ерекшеліктерді атап өтейік: 1) әдетте, квадраттарды қоспағанда, теңсіздіктерді шешу дағдылары сәйкес сыныптардың теңдеулеріне қарағанда төмен деңгейде қалыптасады. Бұл ерекшелік объективті сипатқа ие: теңсіздіктер теориясы теңдеулер теориясына қарағанда күрделі. Белгіленген жағдай ішінара теңсіздіктерді зерттеудің басқа ерекшеліктерімен жеңілдетілген, сондықтан жалпы алғанда, теңсіздіктердің мазмұндық жағы, оларды қолдану мүмкіндіктері бұдан зардап шекпейді деп санауға болады. 2) теңсіздіктерді шешудің көптеген әдістері берілген a>b теңсіздігінен а=b теңдеуіне ауысудан, содан кейін табылған теңдеу түбірлерінен бастапқы теңсіздік шешімдерінің жиынтығына ауысудан тұрады. Мүмкін, мұндай ауысу мұндай теңсіздіктерді шешу процесінің қарапайымдылығына байланысты қажет емес сызықтық теңсіздіктерді қарастырған кезде ғана жасалмайды. Бұл мүмкіндікті үнемі атап өту керек пе? теңдеулерге көшу және кері ауысу теңсіздіктерді шешудің негізгі әдісіне айналу үшін; жоғары сыныптарда ол "интервал әдісі"ретінде ресімделеді. 3) теңсіздіктерді зерттеуде графикалық құралдар үлкен рөл атқарады. Көрсетілген ерекшеліктер теңсіздіктерге қатысты материалдың орналасуын, бағдарламалық минимумды игеру үшін қажетті тапсырмалар санын негіздеу үшін пайдаланылуы мүмкін. Мысалдар келтірейік. Бірінші ерекшелікті келесідей түсіндіруге болады: жаттығулардың бірдей санын орындау кезінде кез-келген сыныптың теңсіздіктерін шешу техникасы тиісті сыныптың теңдеулерінен төмен болады; сондықтан, егер теңсіздіктерді шешудің мықты дағдыларын қалыптастыру қажет болса, онда бұл үшін көп тапсырмалар қажет. Екінші ерекшелік теңсіздіктерге қатысты тақырыптар сәйкес теңдеулер кластарына қатысты тақырыптардан кейін орналасқанын түсіндіреді. Үшінші ерекшелікке сәйкес теңсіздіктерді зерттеу мектеп курсының функционалды сызығын зерттеу сапасына байланысты (графиктерді құру және функцияларды графикалық зерттеу). Аталған ерекшеліктер алдыңғы материалды зерттеу теңсіздіктерді зерттеуге қатты әсер ететіндігін көрсетеді. Сондықтан теңсіздіктерді зерттеудегі синтез кезеңінің рөлі әсіресе артады. Көрсетілген ерекшеліктерді квадрат теңсіздіктер материалында суреттейміз. Курстың осы бөлімін зерттеу Квадрат теңдеу мен квадрат триномиалды зерттеуден кейін жүреді. Оны зерттеген кезде студенттер квадраттық функцияның графиктерін құра алады, егер олар бар болса, онда функцияның нөлдері белгіленеді. Сондықтан Квадрат теңсіздіктерді қарастыруға көшуді ах2+bх+с>0 теңсіздігінен ж=ah2 + BX + с функциясының графигін құруға және зерттеуге көшу ретінде жүзеге асыруға болады. Графиктің абсцисса осіне қатысты орналасуының әртүрлі жағдайлары болуы мүмкін болғандықтан, сәйкес квадрат триномияның әртүрлі тамырлары бар нақты тапсырманы қарастырудан бастаған дұрыс. Бұл мысалда екі есептің арасындағы сәйкестік орнатылады: "теңсіздікті шешу ах2+bх + с>0"; "функция мәндері болатын аргумент мәндерін табу ж=ах2+bх+с оң". Осы байланыс арқылы функцияның графигін құруға көшу жүзеге асырылады. Бұл функцияның нөлдері абсцисса осін үш бос орынға бөледі, олардың әрқайсысында ол белгіні сақтайды, сондықтан жауап Сызбадан тікелей оқылады. Квадрат теңсіздіктерді шешудің басқа жағдайлары (квадрат триномияда) ах2+bх+С бір түбірден аспайды) қосымша қарастыруды қажет етеді, бірақ бірдей сәйкестікке сүйенеді. Әрі қарай зерттеу барысында квадрат триномияның дәл сызылған графигінің қажеті жоқ екендігі анықталды, егер бар болса, тамырлардың орналасуын ғана белгілеп, эскизде графиктің қажетті ерекшеліктерін (парабола бұтақтарының бағыты) ескеру жеткілікті. Мектептегі математика курсында тек негізгі сыныптардың теңсіздіктерін зерттеумен шектеледі; негізгі сыныптарға назар аударуды қажет ететін тапсырмалар салыстырмалы түрде сирек кездеседі. Мысалы, екі квадраттық теңсіздіктер зерттелмейді. Алгебра курсында теңсіздіктердің қолданбалы рөлі көрінетін тапсырмалар түрлерінің ішінен біз функцияны анықтау аймағын табуды және параметрлерге байланысты теңдеулердің түбірлерін зерттеуді атап өтеміз. Иррационалды және трансценденттік теңсіздіктер Мектеп оқулықтарында келтірілген иррационалды және трансценденттік теңсіздіктердің әртүрлі кластарының анықтамалары әдетте келесідей болады:"теңсіздік иррационалды деп аталады (индикативті т.б.), егер оның құрамында түбір белгісінде белгісіз болса (индикаторда және т. б.)". Ресми бұлыңғырлыққа қарамастан, осы типтегі анықтамалар теңдеулер немесе теңсіздіктер тиісті тақырыпты өту кезінде зерттелетін тәсілдермен шешілетін белгілі бір саланы көрсету үшін жеткілікті. Осындай сыныптардың әрқайсысында қарапайым теңдеулердің немесе теңсіздіктердің кіші сыныптарын көрсетуге болады, оларға неғұрлым күрделі есептерді шешу азаяды. Әрбір қарапайым класс тиісті функциялар класымен тығыз байланысты; шын мәнінде, шешім формулалары және қарапайым теңсіздіктерді зерттеу функциялардың қасиеттеріне сүйенеді. Әрбір қарапайым сыныпты оқудың басында студенттер белгілі бір символизмді игеруге байланысты қиындықтарды жеңуі керек, атап айтқанда тапсырмаға жауап алу керек сандар мен сандық аймақтарды жазудың жаңа формаларын білуі керек. Тапсырмаларды шешуде олар көбінесе белгілі функциялармен қатар қолданылады сәйкес класқа тән сәйкестіктер. Курстың алдыңғы бөлігіне қарағанда, теңсіздіктерді шешуде тең емес түрлендірулер қолданылады, алмастырулар кеңінен қолданылады. Сондықтан бұл материалдың барлығы оқушылардың жеткілікті логикалық сауаттылығын талап етеді. Трансценденттік теңсіздіктердің ерекшелігі. Трансценденттік теңсіздіктердің әртүрлі кластарын қарастырған кезде осы теңсіздіктерді түрлендіру үшін сәйкестендіруді қолдану дағдысын қалыптастыруға жеткілікті назар аудару қажет. Бұл әсіресе тригонометрияда айқын көрінеді, сондықтан тригонометриялық теңсіздіктерді зерттеу кезінде белгілі бір сәйкестіктің қолданылуын, теңдеуді немесе теңсіздікті белгілі бір түрге келтіру мүмкіндігін тануға байланысты тапсырмалар мен сұрақтар жүйелері үлкен маңызға ие болады. Мұнда айтарлықтай қиындықтар трансформацияларда қолданылатын кейбір сәйкестіктер анықтама аймағының өзгеруіне әкелетіндігімен байланысты. Мұндай сәйкестіктердің қатарына, мысалы, мыналар жатады: Бұл сәйкестендірулерді солдан оңға қарай пайдалану тамырдың жоғалуына, ал оңнан солға қарай бөгде тамырлардың пайда болуына әкелуі мүмкін. Мысалдарды қарастырайық. Мұнда пайдалану кезіндегі шектеулерді ескеру өнім логарифмінің сәйкестігі екінші ауысуда орындалды, нәтижесінде теңсіздік теңсіздіктер жүйесіне айналды, оның соңғы екеуі бастапқы анықтама аймағын өзгеріссіз сақтауға мүмкіндік береді. Ұқсас тапсырмаларды орындау нәтижесінде қорытынды жасауға болады: егер сіз анықтау аймағын кеңейтетін түрлендірулерді қолдануыңыз керек болса, онда эквивалентті сақтау үшін бастапқы анықтау аймағын өзгеріссіз сақтайтын шектеулерді қосымша енгізу қажет. Қорытынды Математика, кез-келген басқа ғылым сияқты, бір орында тұрмайды, қоғамның дамуымен бірге адамдардың көзқарастары да өзгереді, жаңа ойлар мен идеялар пайда болады. Ал ХХ ғасыр бұл тұрғыда ерекшелік болған жоқ. "Теңсіздік" тақырыбы алгебра курсында маңызды орын алады. Ол мазмұны бойынша, теңсіздіктерді шешудің әдістері мен әдістері бойынша, математиканың бірқатар басқа тақырыптарын зерттеуде қолдану мүмкіндіктері бойынша бай . Бұл теңдеулер мен теңсіздіктер математиканың әртүрлі салаларында, маңызды қолданбалы есептерді шешуде кеңінен қолданылатындығына байланысты. Математикадағы өрнектер барлық математиканың негізі болып табылады. Барлық математика өрнектерден және олардың түрлендірулерінен тұрады. Курстық жұмыста біз келесі ұғымдарды қарастырдық: математикалық өрнек, сандық өрнек, алгебралық өрнектер, өрнек түрлендірулері. Барлық математика түрлендірулерге негізделген, онда сыртқы түрі өзгереді, бірақ өрнектің мәні өзгермейді Компьютерлердің пайда болуы теңдеулерді шешу тәсілдеріне түзетулер енгізді және оларды айтарлықтай жеңілдетті. Теңдеулерді шешудің ең маңызды тәсілдерін білу қажет. Күнделікті өмірде теңдеулерді қолдану сирек кездеседі. Олар экономиканың көптеген салаларында және барлық жаңа технологияларда өз қолданыстарын тапты. Бұл жұмыста теңдеулерді шешудің барлық әдістері, тіпті олардың барлық түрлері емес, тек ең негізгілері ұсынылды. Сандық теңсіздік-түрдің мәлімдемесі A < b немесе A > b, мұндағы < - қатаң тәртіптің қатынасы, ал ≤ қатынасы-кейбір сандар жиынындағы қатаң емес тәртіптің қатынасы. Айнымалымен теңсіздік-а≤ в түрінің экспоненциалды формасы, мұндағы А немесе В-экспоненциалды форма. X айнымалысының (немесе бірнеше айнымалылардың) мәндерінің жиынтығы, онда а < В немесе А ≤ В мәнінің мән формасы осы форманың ақиқат жиынтығы немесе айнымалымен теңсіздіктің шешімі деп аталады. Кейде айнымалысы бар теңсіздіктер аз формальды түрде анықталады, бірақ қол жетімді болуы мүмкін: теңсіздік белгісімен қосылған екі өрнек ( - теңсіздік белгілері). > Немесе < белгісін қамтитын теңсіздік қатаң деп аталады; ≤ немесе ≥ белгісін қамтитын қатаң емес деп аталады. А және В сандары үшін "кіші" және "үлкен" қатынастар өзара байланысты: егер а>b, содан кейін b<а; егер аа. Шынайы (шынайы) сандық теңсіздіктің екі бөлігіне бірдей санды қосуға болады, нәтижесінде біз шынайы теңсіздікті аламыз. Шынайы сандық теңсіздіктің екі бөлігін де көбейту A < b оң санға с, біз шынайы теңсіздікті аламыз asbс. Теңсіздіктер желісінің мазмұны мектептегі математика курсында қолданылады. Осы сызық материалының маңыздылығы мен кеңдігін ескере отырып, оқытудың соңғы кезеңдерінде осы жолдың маңызды компоненттерін, негізгі ұғымдар мен шешімдердің негізгі әдістерін, тапсырмаларды зерттеу мен негіздеуді белсендіруге арналған әр түрлі және күрделі тапсырмаларды ұсынудың орындылығын тағы бір рет атап өтеміз. Әдебиеттер тізімі 1. Бантова М. А., Белтюкова г. в. бастауыш сыныптарда математиканы оқыту әдістемесі: Уч. пос. мектеп үшін. бөлім пед. оқушы / ред.М. А. Бантова. - 3-ші басылым.. - М.: ағарту, 2000ж. - 335 Б. - ил. 2. Бантова м. а. математика оқулығына арналған әдістемелік құрал / М. А. Бантова, Т. В. Белтюкова, С.В. Степанова. – М.: ағарту, 2001-64 б. 3. Вавилов В.В., Мельников и. И. және т. б. "математикадан есептер. Теңдеулер мен теңсіздіктер" М.: басылым. "Ғылым" 2004 ж 4. Давыдов В.В., С. Ф. Горбов және т. б. Математиканы оқыту. – М.: Мирос, 2003. 192 б. 5. Истомина Н. б. бастауыш сыныптарда математиканы оқыту әдістемесі. - М.: Академия, 2000. – 288 б. 6. Кипнис и. м.теңдеулер мен теңсіздіктерді құруға арналған есептер: пос. оқытушы үшін. - М.: ағарту, 2001 -68 Б. 7. Левитас г. г. қазіргі математика сабағы. Оқыту әдістемесі. ПТУ-М.: Жоғары мектеп, 2001. -88 Б. - ил. 8. Орта мектепте математиканы оқыту әдістемесі: Жалпы әдістеме: Уч. пос. студент үшін. пед. арнайы инст-в.2104 "Математика"және 2105 "Физика" / А. Блох, Е. С. Канин және т. б. құрамы.Е. С. Черкасов, А. А. Столяр. - М.: Білім, 2005. -336 Б. 9. Орта мектепте математиканы оқыту әдістемесі: Жеке әдістеме: Уч. пос. студент үшін. пед. физ-мат бойынша инст-в. арнайы-М / А. Блох, В. А. Гусев, г.в. Дорофеев және т. б. құрам.В. И. Мишин. - М.: Білім, 2000. -416 Б.: ил. 10. Орта мектепте математиканы оқыту әдістемесі. / В. А. Ованесян және басқалар М: ағарту, 2006. – 368 б. 11. Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко п. и. теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің стандартты емес әдістері. - М.: ММУ, 2001 ж. 12. Шабунин м.и. жоғары оқу орындарына түсушілерге арналған Математика. Теңсіздіктер мен теңсіздіктер жүйесі. М.: Аквариум, 2003 ж 13. Вулих б. з. нақты айнымалы функциялар теориясының қысқаша курсы. М., 2005. – 350 с 14. Коровкин П. П. Теңсіздіктер. М., 2002. - 56 б. 15. Шилов г. Е. Математикалық талдау (ақырлы өлшемді сызықтық кеңістіктер). М., 2000 ж., 432 б. жүктеу/скачать 123,87 Kb. Достарыңызбен бөлісу: