Ең аз әсер принципі Лагранж теңдігін қорытып алу.
Механикалық жүйенің қозғалыс заңының жалпы тұжырымын ең аз әсер принципі деп аталатын (Гамильтон) ережемен тағайындалады. Ол былай айтылады: механикалық жүйенің бір күйден екінші күйге көшкенде әсер мүмкіндігінше минимум болатын траекторияны таңдайды. Бұл принципке сәйкес әрбір механикалық жүйенің Лагранж функциясы деп аталатын (L) жалпылама координата, жалпылама жылдамдық және уақытқа тәуелді функциямен сипатталады.
немесе
Лагранж функциясының мағынасы жүйенің кинетикалық энергиясы мен потенциялдық энергиясының айырмасы болып табылады.
Айталық, механикалық жүйе және уақыт мезеттерінде белгілі бір кеңістікте орынға ие болсын және оның күйі координатамен сипатталсын. Осы екі жағдайға сәйкес жүйенің жүріп өтетін траекториясы ең аз әсер принципіне сәйкес:
(1)
S – әсер Гамильтон принципіне сәйкес әсер минимум болуы шарт
- түзу траекторияның ауытқуы
Суретте бірінші уақыт мезетіндегі
Осыны ескеріп, (1) өрнекті интергралдасақ:
(2) интеграл әсер деп аталады ал интеграл таңбасының астындағы функциясы Лагранж функциясы болып табылады.
- варияция деп аталады.
(2)
(2) теңдеуді бөлшектеп интегралдасақ және ең аз әсер принципі бойынша әсердің өзгерісін 0 – ге тең деп алсақ:
(3)
(3) өрнек 0 – ге тең болуы үшін теңдіктің оң жағындағы интеграл астындағы өрнек 0 – ге тең болуы шарт, олай болса:
(-1 – ге көбейтсек)
(4)
(4) теңдеу Лагранж теңдеуі деп аталады.
Егер еркіндік дәрежесі бір болған жағдайда (4) өрнек былайша жазылады:
Егер еркіндік дәрежесі s болған жағдайда (4) өрнек былайша жазылады:
i=1.2.3…S
Достарыңызбен бөлісу: |