Еркін материялық нүктенің Лагранж функциясы

Кеңістіктің біртектілік қасиетін және уақыттың біртектілігінен еркін бөлшектің Лагранж функциясы координатаға да, уақыты да тікелей тәуелді болмайды.

Олай болса, Лагранж функциясы жылдамдық векторына тәуелді болуы қажет. Бірақ, Лагранж функциясы кеңістіктің изотроптылық қасиетіне сәйкес, жылдамдықтың бағытына да тәуелді болмауы шарт. Олай болса, еркін бөлшектің Лагранж функциясы тек жылдамдықтың квадратына ( ) ғана тәуелді болады деп қарастыруымыз шарт.

(1)

функцияның мағынасын Галелейдің салыстырмалық принципі негізінде анықтауға болады.

(1)

(*) жылдамдықтарды қосу заңы Галейлей принципі

Яғни,

(2)

(3)

(3*) теңдеудің оң екінші құраушы уақыттың толық дифференциялы болып табылатындығын Логранж функциясының қасиетіне сәйкес оны қалдырып жазуға болады.

Яғни;

(4)

сонда

(5)

Егер жүйе өзара әсерлеспейтін n- бөлшектен тұратын болса ондай бөлшектік Лагранж функциясын

Сонымен еркін бөлшектің Логранж функциясы оның кинетикалақ энергиясы болып табылады.

Өзара әсерлесетін, бірақ тұйықталған жүйедегі n- бөлшектен тұратын жүйе үшін Лагранж функциясын жазайық.

3. Материялық нүктелер жүйесі үшін Лагранж функциясы.

Мұндай жүйедегі Лагранж функциясы жүйенің кинетикалық энергиясы мен потенциялдық энергиясының айырмасымен анықталады.

Сонымен өзара әсерлететін n-бөлшектен тұратын механикалық жүйенің күйін сипаттайтын Лагранж функциясы жүйенің кинетикалық энергиясы мен потенциялдық энергиясының айырмасына тең.

Осы айтылғаны пайдаланып осы жүйе үшін Лагранж теңдеуін жазайық

Бір өлшемді қозғалыс деп декарттық координатада жазсақ:

(1)

Осы екеуін (1) теңдеуге қойсақ

Ньютонның ІІ-заңы