Абай атындағы

 
 
39
В  области 
  задача  совпадает  с  классической  полупериодической  задачей 
Коши, и поэтому ее решение представимо в виде 
( )
( )
nx
i
n
n
e
y
u
y
x
u
π
2
,
∑
+∞
−∞
=
=
 
                     
 
(5) 
где  неизвестные  функции 
( )
y
u
n
  определяются  как  решения  дифференциального 
уравнения 
( ) (
)
( ) ( )
(
)
( )
( )
y
f
y
u
y
c
y
ia
n
n
y
u
u
l
n
n
n
n
n
=
+
+
+
′′
=
π
π
2
2
2
, 
1
1
<
<
−
y
,  
 
(6) 
удовлетворяющие начальным условиям 
(
)
0
1
,
=
−
x
u
,  
(
)
0
1
,
=
−
x
u
y
   
           
 
 
(7) 
Здесь 
( )
y
f
n
 - коэффициенты  Фурье  функции 
( )
y
x
f ,
  по  ортонормированному  базису 
{ }
+∞
=
−∞
=
n
n
nx
i
e
π
2
. 
 
Пусть 
(
)
0
,
1
−
k
H
 пространство функций с нормой  
(
)
( )
(
)
2
/
1
0
1
2
2
0
,
1
2
2
1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
∫
∑
−
≤
−
dy
dy
u
d
n
u
k
H
k
α
α
α
α
 
    
где 
(
)
2
1
,
α
α
α
=
 - целочисленный мультииндекс. 
Применением  классического  метода  сведения  к  интегральному  уравнению 
доказывается следующая 
Теорема 1. 
Пусть 
( ) ( )
[
]
0
,
1
,
−
∈
k
C
y
c
y
a
, 
( )
0
>
y
a
, 
( )
0
>
>
δ
y
c
 при 
0
1
≤
≤
−
y
.  
Тогда для любой функции 
(
)
0
,
1
−
∈
k
H
f
 существует единственное решение 
задачи (6)-(7), и это решение удовлетворяет неравенству 
(
)
( )
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
≥
∑
+
≤
2
1
2
1
2
0
1
2
1
α
α
α
n
k
H
n
H
n
n
u
n
u
C
u
l
k
k
,    
 
(8) 
в котором постоянная 
С
 не зависит от 
u
, 
n
. 
Обозначим  через 
( )
Ω
Π
k
W
,
2
  подпространство  пространства  Соболева 
( )
Ω
k
W
2
 
состоящее  из  функций,  удовлетворяющих  периодическим  краевым  условиям  по 
переменной 
x
. Пользуясь теоремой 1 доказывается  
Теорема 2.
 Пусть 
( ) ( )
[ ]
1
,
0
,
k
C
y
c
y
a
∈
, 
( )
0
>
y
a
, 
( )
0
>
>
δ
y
c
 при
 
1
0
≤
≤ y
. Тогда 
для  любой  функции 
( )
( )
2
,
2
,
Ω
∈
Π
k
W
y
x
f
  существует  единственное  решение  смешанной 
задачи (1)-(3), и это решение удовлетворяет неравенству 
 
( )
( )
( )
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
≥
=
∑
+
≤
Ω
Ω
Ω
+
Π
Π
Π
1
2
2
1
,
2
2
,
2
2
,
2
k
AB
L
W
W
W
u
D
u
C
Lu
f
k
k
k
α
α
   
(9) 
где АВ – отрезок оси у=0 ,  
1
0
<
< x
, 
( )
2
1
2
0
2
1
2
1
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
=
∫
y
AB
AB
L
x
x
u
u
D
α
α
α
α
α
 .                      
В  ходе  доказательства  теоремы,  изучение  смешанной  задачи  Коши-Дирихле  в 
области 
1
Ω
 сводится к следующей полупериодической задаче Дирихле: 
Найти  в  области 
1
Ω
  регулярное  решение  уравнения (1), удовлетворяющее 
условиям (2) при 
1
0
<
< y
 и 

 
 
40
 
( )
0
1
,
=
x
u
, 
( )
( )
x
x
u
f
τ
=
0
,
    
 
 
(10) 
где 
( )
(
)
( )
0
,
1
x
f
L
x
SK
f
−
=
τ
 - является следом при 
0
−
→
y
 решения смешанной задачи Коши 
(1)-(3) в области 
2
Ω
. 
Пользуясь  разложением (5) при 
1
0
<
< y
,  относительно  неизвестной  функции 
( )
y
u
n
 получим следующую задачу: 
( ) (
)
( ) ( )
(
)
( )
( )
y
f
y
u
y
c
y
ia
n
n
y
u
u
l
n
n
n
n
n
=
+
+
+
′′
=
π
π
2
2
2
, 1
0
<
< y
 
  (11) 
 
( )
0
1
=
n
u
,
( )
n
n
u
τ
=
0
  ,                                   
 
 
(12) 
где 
( )
dx
e
x
inx
f
n
π
τ
τ
2
1
0
−
∫
=
. 
Отметим, что аналогичная задача при 
0
≡
n
τ
  изучена М.Б.Муратбековым[4]. 
Используя  свойства  функции  Грина  задачи (6) - (7), доказывается,  что  если 
( )
( )
1
,
0
k
n
H
y
f
∈
  и 
( )
(
)
0
,
1
−
∈
k
n
H
y
f
  то  решение  задачи (11)-(12) существует, 
единственно и справедлива оценка 
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
0
,
1
2
2
1
1
,
0
2
1
2
1
1
0
1
−
+
≤
≤
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
∑
+
k
k
H
n
n
k
H
f
C
u
n
u
α
α
α
   (13) 
Подытожив  приведенные  результаты,  получим  разрешимость  задачи (1)-(4) и 
справедливость следующей 
Теорема 3.
  Пусть 
( ) ( )
[
]
1
,
1
,
−
∈
k
C
y
c
y
a
, 
( )
0
>
y
a
, 
( )
0
>
>
δ
y
c
  при
 
1
1
≤
≤
−
y
. 
Тогда для любой функции 
( )
( )
2
,
2
1
,
2
Ω
∩
Ω
∈
Π
Π
k
k
W
W
f
 существует единственное решение 
( )
y
x
u ,
  смешанной  задачи  Коши-Дирихле (1)-(4) и  это  решение  удовлетворяет 
неравенству  
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
2
1
,
2
1
1
,
2
1
,
2
2
,
2
1
,
2
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
+
Π
+
Π
Π
Π
Π
+
+
≥
+
k
k
k
k
W
W
W
W
W
u
u
u
C
f
f
 (14) 
Наряду  с  задачей (1)-(4) исследуем  задачу,  сопряженную  к  смешанной  задаче 
Коши-Дирихле: 
Найти решение уравнения  
( )
( )
( )
y
x
g
y
c
y
a
L
x
xx
yy
,
=
+
−
−
≡
+
ν
ν
ν
ν
ν
                                    
 
(15) 
в области Ω, удовлетворяющее условиям 
( ) ( )
y
y
,
1
,
0
ν
ν
=
, 
( )
( )
y
y
x
x
,
1
,
0
ν
ν
=
,                     
 
 
(16) 
( )
0
1
,
=
x
ν
,                           
 
 
 
(17) 
( )
0
0
,
=
x
ν
.                                                
 
(18) 
Отметим,  что  эта  задача  не  является  чисто  краевой  задачей,  так  как  в  ее 
заданных условиях присутствует «внутреннее» условие – условие (18) при 
0
=
y
.  
В области 
{
}
0
1
>
∩
Ω
=
Ω
y
 задача (15)-(18) является полупериодической задачей 
Дирихле и она с помощью разложения (5) сводится к задаче 
( ) (
)
( ) ( )
(
)
( )
( )
y
g
y
v
y
c
y
ia
n
n
y
v
v
l
n
n
n
n
n
=
+
−
+
″
=
π
π
2
2
2
           
(19) 
( )
0
1
=
n
ν
, 
( )
0
0
=
n
ν
                                        
(20) 
Исследуя  задачу (15)-(18) методами,  аналогичными  использованным  при 
доказательстве теоремы 3, получаем справедливость следующего результата. 

 
 
41
Теорема 4.
  Пусть 
( ) ( )
[
]
1
,
1
,
−
∈
k
C
y
c
y
a
, 
( )
0
>
y
a
, 
( )
0
>
>
δ
y
c
  при 
1
1
≤
≤
−
y
. 
Тогда  для  любой  функции 
( )
Ω
∈
Π
k
W
g
,
2
  существует  единственное  решение 
( )
y
x
v ,
  
задачи (15)-(18) и это решение удовлетворяет неравенству  
( )
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤
Ω
+
Ω
Π
Π
k
k
W
W
v
L
C
v
,
2
,
2
                                   
(21) 
Обозначим 
через 
KD
L
 
замыкание 
в 
( )
Ω
2
L
 
оператора, 
задачного 
дифференциальным 
выражением (1) на 
подмножестве 
функций  
( )
( )
( )
2
2
1
2
Ω
∩
Ω
∩
Ω
∈
C
C
C
u
 
, удовлетворяющих условиям (2)-(4), а через 
DК
L
 замыкание 
в 
( )
Ω
2
L
  оператора,  заданного  дифференциальным  выражением (15) на  подмножестве 
функций 
( )
Ω
∈
2
C
v
 удовлетворяющих условиям (16)-(18). На основании   приведенных 
выше  теорем  эти  операторы  имеют  вполне  непрерывные  обратные  операторы, 
определенные на всем пространстве 
( )
Ω
2
L
. 
Основным результатом работы является 
Теорема 5.
 Операторы
KD
L
  и 
DК
L
 образуют фредгольмовую пару в
( )
Ω
2
L
 
Доказательство  теоремы  получается  обоснованием  сопряженности  в 
пространстве 
( )
Ω
2
L
 операторов 
KD
L
 и 
DК
L
 
Следует  отметить,  что  аналогичное  утверждение  установлено  для  уравнения 
Лаврентьева - Бицадзе в работе [5]. 
 
 
1. Кальменов Т.Ш. О полупериодической задаче Дирихле для одного класса уравнений 
смешанного типа. Дифференциальные уравнения.-1978.-Т14 - №3 с.546-547. 
2. Муратбеков М.Б. Разделимость и оценки сингулярных чисел операторов смешанного 
типа. Известия АН КазССР. – 1992.-№1. 
3. Бесбаев Г.А. Разрешимость и спектральные свойства квазирегулярной задачи Коши-
Дирихле  и  ее  сопряженной  для  одного  класса  гиперболических  уравнений. 
Автореф. дисс…канд. физ.-мат. наук, Шымкент, 2004. 
4.  Муратбеков  М.Б.  О  свойствах  резольвенты  и  оценке  собственных  чисел  оператора 
смешанного типа. Известия НАН РК. - серия физ.-мат. – 2000.-№ 5. 
5. Бименов М.А., Кальменов Т.Ш., Джаманкараева М.А. Разрешимость и спектральные 
вопросы  квазирегулярной  задачи  Дирихле  для  уравнения  Лаврентьева – Бицадзе. 
Математический журнал.-2001.-№ 2, с. 32-42. 
 
 
 

 
 
42
УДК 517.956 
М.А. Бименов  
 
О НЕПОЛНОТЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ  
НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО  
УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА – БИЦАДЗЕ 
 
 
Бұл  жұмыс  көпөлшемді  Лаврентьев - Бицадзе  теңдеуіне  қойылған  классикалық 
емес  бір  түрдегі  есептердің  спектірлік  қасиеттерін  зерттеуге  арналған.  Тура  жəне 
түйіндес  есептер  қарастырылған.  Бұл  есептердің  шешімі  туралы  теоремалар 
келтірілген.  Қарастырылған  есептердің  меншікті  функциялар  жүйесі  облыстың  бір 
бөлігінде толық болатыны делелденген. Бүкіл облыста меншікті функциялар жүйесінің 
толық болмайтындығы дəлəлденген. 
This is a study of the spectral properties of one type of non-classical problems for the 
Lavrent'ev- Bitsadze dimensional equation. The correctness of the class of the problems 
stated is substantiated. Their unique solvability is proved. It is proved the completeness of 
systems of eigenfunctions of these problems on the part of the domain. In general, the system 
of eigenfunctions of the problem is not complete. 
 
Пусть Ω
⊂  R
1
+
n
- конечная область, ограниченная при t>0 поверхностью 
Ляпунова 
σ
 а при t<0 характеристическим конусом 
S=
{
}
1
,
...
,
1
2
2
2
2
1
2
<
+
+
+
=
=
+
x
x
x
x
x
x
t
n
 уравнения Лаврентьева-Бицадзе [1,2],       
)
,
(
sgn
t
x
f
u
t
u
Lu
x
tt
=
Δ
−
−
≡
  
 
 
 
(1) 
где 
u
x
u
n
i
i
x
∑
=
∂
∂
=
Δ
1
2
2
- оператор Лапласа. 
     Квазирегулярная задача Дирихле (задача КД). Найти решение уравнения (1) в Ω, 
удовлетворяющее условию 
                                               
0
|
0
=
∪s
u
σ
   
 
 
 
 
(2) 
Обозначим  через 
{
}
{
}
{
}
0
,
0
,
1
,
0
2
1
0
<
∩
Ω
=
Ω
>
∩
Ω
=
Ω
<
=
=
t
t
x
t
S
      и  будем 
предполагать, что поверхность 
 является гладкой поверхностью Ляпунова. 
Задача ДК.  
Найти решение уравнения (1) в Ω, удовлетворяющее условию 
0
|
0
=
∪s
u
σ
 
В  силу  переопределенности  условий (2), в  классе  регулярных  решений  задача 
КД  разрешима  не  для  всех 
( )
Ω
∈
2
L
f
.  Однако  в  более  широком  классе  решений  эта 
задача уже оказывается корректной. 
Решение  задачи  КД  ищется  следующим 
образом: в области 
2
Ω
 решаем задачу Гурса и вычислим след решения в S
0
.  Далее в 
области 
1
Ω
 решаем задачу Дирихле для уравнения Лапласа. 
 
Решение  задачи  ДК  строится  наоборот,  т.е.  в  области 
1
Ω
  решается  задача 
Дирихле  для  уравнения  Лапласа  и  по  следу  производной  по t этого  решения  на  S
0
  
решение  задачи  ДК  в  области
2
Ω
    сводится  к  решению  задачи  Коши  для 
гиперболического уравнения. 
Справедливы следующие теоремы [3]. 

 
 
43
Теорема1.
Пусть
( )
( )
α
β
β
+
+
≤
=
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
≥
<
<
Ω
∩
Ω
∈
+
+
1
,
0
|
,
1
2
,
1
0
,
)
,
(
2
2
x
f
D
n
k
a
C
C
t
x
f
s
a
k
a
 Тогда 
существует единственное сильное решение 
( ) ( ) ( )
Ω
∩
Ω
∩
Ω
∈
+
C
C
C
u
a
2
1
2
 
задачи КД, 
удовлетворяющее неравенству 
( )
.
0
1
2
Lu
C
u
w
≤
Ω
 
Теорема2. 
Пусть 
( )
( )
.
1
2
,
,
1
0
,
)
,
(
1
1
2
2
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
≥
∈
Ω
∂
<
<
Ω
∩
Ω
∈
+
+
+
+
+
n
k
C
a
C
C
t
x
f
a
k
a
k
a
k
 
Тогда существует единственное сильное решение    
( )
Ω
∈
+a
C
u
2
 
задачи ДК, 
удовлетворяющее неравенству 
( )
.
0
1
2
f
C
u
w
≤
Ω
 
Обозначим 
через 
L
KD
 
замыкание 
в 
( )
Ω
2
L
 
оператора, 
задачного 
дифференциальным 
выражением (1) на 
подмножестве 
функций  
( )
( )
( )
,
2
2
1
2
Ω
∩
Ω
∩
Ω
∈
C
C
C
u
,  удовлетворяющих  условиям (2), а  через  L
DK
  замыкание 
в
( )
Ω
2
L
    оператора,  заданного  дифференциальным  выражением (1) на  подмножестве 
функций   
( )
,
2
Ω
= C
u
удовлетворяющих  условию   
.
0
|
0
=
∪s
u
σ
  На  основании   
приведенных  выше  теорем  эти  операторы  ограниченно  обратимы  на  всем
( )
Ω
2
L
, 
обратные  операторы
1
1
,
−
−
DK
KD
L
L
  вполне  непрерывны  и  их  нормы  удовлетворяют 
неравенствам  
( )
( )
( )
(
)
C
L
C
L
w
L
DK
w
L
KD
≤
≤
Ω
→
Ω
−
Ω
→
Ω
−
1
2
2
1
2
2
1
1
,
 
Изучим спектральные свойства операторов  L
KD
 и L
DK
. Имеет место 

жүктеу/скачать 5,32 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: