Aea 5301 «ассоциативті емес алгебралар» Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі

Жоғары оқу орындарында математиканы оқытуда кенже қалып келе жатқан, бірақ қазіргі кезде математиканың басқа салаларымен, кодтау теориясымен, криптографиямен, физикамен, механикамен, биологиямен және де басқа да ғылым салаларымен тығыз байланыстағы жеке теорияға айналған салалардың бірі – ассоциативті емес алгебралар теориясы. Бұл саланың элементтері ЖОО математикасында жекелеген дидактикалық элементтер ретінде кездескенімен студенттер мен магистранттардың бәсекеге қабілетті ғылыми мәселелермен шұғылдануына жеткілікті дәрежеде оқытылмайды. Ассоциативті емес алгебралардың алғашқы мысалдары (Кэли сандары, гиперкомплекс сандар) XIX ғасырдың ортасында пайда болды.

Ассоциативті емес алгебралардың кезкелген класын зертеудегі маңызды есептердің бірі – жәй (ақырлы өлшемді және ақырсыз) алгебраларды толық сипаттап беру. Бұл арада сипаттау деп осы сипатталатын класқа енетін қандай да бір «классикалық» класс модулі бойынша жәй алгебраларды табуды түсінеміз. Мысалы, жәй алгебраларды альтернативті сақиналар класында сипаттау ассоциативті сақиналар модулі бойынша, Мальцев алгебралары класында сипаттау Ли алгебралары модулі бойынша, жордандық алгебралар класында сипаттау арнайы жордандық алгебралар модулі бойынша жүзеге асырылады. Осы тұрғыдан алғанда ассоциативті емес алгебралардың әртүрлі кластарын екі топқа бөлуге болады: жәй алгебралары «көп» алгебралар және жәй алгебралары «аз» алгебралар. Жәй алгебралары көп болатындарға ассоциативті алгебралар, Ли алгебралары және арнайы жордандық алгебралар жатқызылады. Ақырлы өлшемді ассоциативті алгебраларды (сол сияқты, Ли алгебраларын, альтернативті немесе жордандық алгебраларды) сипаттау есебі осы алгебралар теориясының классикалық объектісі болып табылады.

Жәй алгебралары аз алгебралар класына Мальцев алгебралары, альтернативті және жордандық алгебралар мысал бола алады. Альтернативті алгебралар класында ассоциативті алгебралар модулі бойынша ассоциативті-коммутативті центрге қатысты тек сегіз өлшемді Кэли-Диксон алгебралары бар болады. Мальцев алгебралары класында Ли алгебралары модулі бойынша Кэли-Диксон алгебраларымен байланысты жеті өлшемді ( коммутаторына қатысты) жәй Ли алгебралары бар.

Қазіргі ассоциативті алгебралар теориясы математиканың дәстүрлі салалары болып табылады. Сонымен қатар бұл саланың қарқынды даму үстінде екені белгілі. Келешек математика пәні оқытушыларына математикалық білімдерін кеңейту мен тереңдетуде, зерттеу жұмыстарымен шұғылануда бұл теорияның негіздерін меңгеру жетістіктерге жетуге өз септігін тигізеді.

Бұл пәнді үйренуге қажетті алдыңғы пәндер: «Геометрия», «Математикалық талдау», «Алгебра және сандар теориясы», «Алгебралық құрылымдар және олардың көріністері».