Aea 5301 «ассоциативті емес алгебралар» Қазақстан республикасы білім және ғылым министрлігі
жүктеу/скачать 473,85 Kb.
|
umkd
| 4.2 Классикалық Ли алгебралары
1) болсын. Ли алгебрасы арнайы сызықты Ли алгебрасы деп аталады. Бұл Ли алгебрасының толық сызықты Ли алгебрасының ішкі Ли алгебрасы екенін көрсетейік. Біріншіден, ол – -дің ішкі кеңістігі, себебі, Tr – сызықты форма. Екншіден, олай болса кезкелген үшін Демек, ішкі кеңістігі -дегі коммутатор амалына қатысты тұйық болады. кеңістігі әдеттегі сызықты операторларды көбейту амалына қатысты тұйық емес. Сондықтан арнайы сызықты Ли алгебрасын қандай да бір ассоциативті алгебрасы үшін түрінде беруге болмайды. Егер болса, онда , мұндағы 2) болсын. Ли алгебрасы ортогональ Ли алгебрасы деп аталады, мұндағы – матрицасына транспонирленген матрица. Енді Ли алгебрасының операторлар тілінде қалай берілетінін қарастырайық. – ақырлы өлшемді сызықты кеңістігіндегі симметриялы азғындалмаған бисызықты форма болсын. сызықты кеңістігін қарастырайық. Ол Ли алгебрасының ішкі Ли алгебрасы болады және арқылы белгіленіп, -мен байланысты ортогональ Ли алгебрасы деп аталады. Егер болса, онда формасы базисті лайықты таңдау арқылы квадраттар қосындысына келтіріледі. Базисті таңдау изоморфизміне әкеледі, мұндағы . Егер болса, онда сигнатуралары әртүрлі формалар болады. формасының сигнатурасы плюс пен q минустен тұратын болса (), онда сәйкесті Ли алгебрасы, дәлірек айтқанда, оның -ны диагоналдайтын базистегі матрицалық берілуі, арқылы белгіленеді. Изоморфизмге дейінгі дәлдікпен алғанда Ли алгебрасы тек -ге тәуелді болады ( формасына тәуелді емес). 3) , болсын. Егер сызықты кеңістігінің өлшемі жұп болса, онда бұл кеңістікте қиғаш симметриялы азғындалмаған бисызықты форма бар және олар изоморфты болады. Егер – жұп өлшемді сызықты кеңістігіндегі азғындалмаған қиғаш симметриялы бисызықты форма болса, онда алдыңғы мысалға ұқсас анықталады және ол -дегі ішкі Ли алгебра болады. Оны симплектикалық Ли алгебрасы деп атайды және арқылы белгілейді. Егер болса, онда Изоморфизмге дейінгі дәлдікпен алғанда Ли алгебрасы формасын таңдап алуға тәуелді емес. 1) – 3) мысалдардағы Ли алгебралары классикалық Ли алгебралары деп аталады.
жүктеу/скачать 473,85 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|