Қайталанбалы сынаулар
жүктеу/скачать 96,33 Kb.
|
- Бұл бет үшін навигация:
- Мысал
- Пуассонның жуықтап есептеу формуласы
- Теорема 5.
- 10-мысал
- Муавр-Лапластың шектік теоремалары
- Лапластың интегралдық теоремасы
- (*) мұндағы және . немесе - Лапластың интегралдық функциясы . Мысал
- Шешуі
|
Қайталанбалы сынаулар Егер бірнеше сынау жүргізілсе, және әрбір сынауда А оқиғасының пайда болу ықтималдығы басқа сынаулардың нәтижесіне байланысты болмаса, онда мұндай сынаулар А оқиғасына қатыстытәуелсіз деп аталады - n сынауда оқиғаның k рет пайда болу ықтималдығы қарастырылады. Бернулли формуласы Тәжірибенің екі ғана нәтижесі болсын делік. Мысалы, монета лақтыру, бұйымның жарамдылығын тексеру, электр тізбегінің ажырағанын бақылау және басқалары. Екі нәтиженің бірін А оқиғасы пайда болады деп, екіншісін - А оқиғасы пайда болмайды деп айтуға келіселік. Тәжірибені бір-біріне тәуелсіз етіп n рет қайталап жүргізелік. Бұл жерде тәуелсіз тәжірибелерді олардың нәтижелері оқиға ретінде тәуелсіз болады деп түсініледі. Бір тәжірибеден екінші тәжірибеге өткенде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы және А оқиғасының пайда болмау ықтималдығы өзгермей қалады деп ұйғарамыз. Міне осындай үш шарт орындалғанда қарастырылатын тәжірибені Бернулли есімімен атайды. Мұндағы негізгі есептің қойылымы мынадай: n рет Бернулли тәжірибесін жүргізгенде А оқиғасының дәл k рет пайда болу ықтималдығы қандай? Біз қазір де және бұдан былай да « n рет тәжірибе жүргізгенде А оқиғасының k рет пайда болуң ықтималдығын P(k) арқылы белгілейміз. Бұл ықтималдық мынадай формуламен есептеледі: , (8) мұндағы, n- барлық тәжірибелер саны, k-А оқиғасының пайда болу саны, , және . Мысал: Дақыл тұқымының шығымдылығы 90 пайыз болып бағаланған. Егілген 3 дәннің екеуінің шығым беру ықтималдығы қандай? Шешуі: Дақыл не шығады, не шықпайды. Демек, дәннің шығымдылығы Бернулли схемасына бағынады. Сонда n=3, k=2. Бір дәннің шығымдылық ықтималдығын р=0,9 деп алу керек. Демек, q=1-p=0,1 . Ізделінді ықтималдық . Тиісті есептеулерді жүргізсек . Пуассонның жуықтап есептеу формуласы Практикалық есептерде тәжірибе саны тым үлкен болып келетін жағдайлар жиі кездеседі. Мұндай жағдайларда ықтималдығын Формуласы бойынша есептеу үшін жуықтау формулаларын іздестіру қажет. Теорема 5. Егер және болса, ал саны аз да, көп те болмаса, онда (9) Мысал: Кітаптың бір бетінде қате кету ықтималдығы 0,0025. 800 беттен тұратын кітапта 3 бетте қате кездесу ықтималдығы қанша? Шешуі: Есептің шарты бойынша n=800 және р=0,0025. бұл шамалар Пуассон жуықтап есептеу шарттарын қанағаттандырады. Демек, болғандықтан . Кітаптың соңында шамасының мәнін есептеу үшін кесте берілген. Сондай-ақ қосындысының да кестесі беріліп отыр. Мұны қалай пайдалануы жөнінде бір мысал келтірелік. 10-мысал: Лотереяның бір билетіне ұтыс шығу ықтималдығы 0,02. 100 лоторея билетіне шығатын ұтыстардың саны үштен кем болмау ықтималдығы қандай? Шешуі: р=0,02 және n=100, ал . Билеттерге шығатын ұтыс саны 3, не 4, ..., не 100 болуы мүмкін. Олай болса, ықтималдықтарды қосу теоремасы бойынша ізделінді ықтималдық қосындысымен анықталады. Әрбір ықтималдығына Пуассонның жуықтап есептеу формуласын қолдануға болады. Сөйтіп, Бұл қосындыны m=3 және болғанда кесте бойынша тауып аламыз: . Муавр-Лапластың шектік теоремалары Егер әрбір тәжірибеде А оқиғасының пайда болу р ықтималдығы тұрақты және нөл мен бірден өзгеше болса, онда ықтималдығы n тәжірибе жүргізгенде А оқиғасы k рет пайда болады, (n үлкен болған сайын нақты) жуық түрде функцияның мәні: Мұндағы Сонымен, n тәуелсіз тәжірибеде А оқиғасы k рет пайда болу ықтималдығы, жуық түрде мынаған тең: мұндағы . Мысал: Егер әрбір тәжірибеде оқиғаның пайда болу ықтималдығы 0,2 тең болса, онда Аоқиғасы 400 сынақта 80 рет пайда болу ықтималдығын табу керек. Шешуі: Шарт бойынша п=400; k=80; р=0,2, q=0,8. Лапластың шектік теоремасын қолданып: . Есептің берілуі бойынша х – тің мәнін табамыз: 1 қосымша кесте [4] бойынша (0)=0,3989 табамыз. Ізделінді ықтималдық . Лапластың интегралдық теоремасы п тәжірибе жүргізейік әрбір А оқиғасының пайда болу ықтималдығы тұрақты және р(0 п рет тәжірибе жүргізгенде k1 –ден кіші емес, және k2 -ден үлкен емес болғанда (қысқаша айтқанда, «k1 - ден k2-ге дейін » ), ықтималдығын қалай есептеуге болады? Бұл сұраққа Лапластың интегралдық теоремасы жауап береді. Теорема: (Лапластың интегралдық теоремасы) Егер әрбір тәжірибеде А оқиғасының пайда болу р ықтималдығы тұрақты және нөл мен бірден өзгеше болса, онда ықтималдығы n тәжірибе жүргізгенде А оқиғасы k1 - ден k2-ге дейін пайда болады, жуық түрде анықталған интегралға тең: (*) мұндағы және . немесе - Лапластың интегралдық функциясы. Мысал: Студенттің медициналық тексеруден өтпеу ықтималдығы р=0,2. Кездейсоқ кездестірген 400 студенттің ішінде 70-тен 100-ге дейінгі студенттердің тексеруден өтпеген болуының ықтималдығын табыңыз. Шешуі: есептің шарты бойынша k1=70; k2=100; n=400; p=0,2; q=1-p=0,8. Осыдан жүктеу/скачать 96,33 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|