Функцияның туындысы және дифференциалы

Туынды келесідей белгіленеді: немесе немесе .

Туынды табу амалы дифференциалдау деп аталады.

Жоғарыда көрсеткендей функцияның туындысын табу үшін функция өсімшесінің аргумент өсімшесіне қатынасынын шегін таба беру қиындыққа әкеледі. Сондықтан тек келесі кестеге сүйене отырып, таба салуғада болады:

1)

2) _{n –ретті туындысын табайық.}

3) _{n –ретті туындысын табайық.}

4) _{n –ретті туындысын табайық.}

5) _{n –ретті туындысын табайық.}

6) _{n –ретті туындысын табайық.}

7) _{n –ретті туындысын табайық.}

8) _{n –ретті туындысын табайық.}

9) _{n –ретті туындысын табайық.}

10) _{n –ретті туындысын табайық.}

Мысалы: n=50

12) _{n –ретті туындысын табайық.}

13) _{n –ретті туындысын табайық.}

14) _{n –ретті туындысын табайық.}

Егер болғанда

Бұрышын енгізсек, онда бұл формуланы төмендегіше қайталап жазуға болады.

15) дәлелдеу керек.

N=1 үшін

орындалады

n=2 үшін

n-үшін дұрыс деп ұйғарып, n+1 үшін дәлелдейік

яғни, n+1 үшін орындалады екен.

2)

Формулаларды қолданып шығарамыз.

7. 
   Тейлор формуласы
   

Мұнда c –a және x сандары арасындағы кейбір орта мән,

Көпмүшелік үшін Тейлор формуласы.

Кез-келген функцияны жіктеу (Маклерон).

2)

3)

Эйлер формуласы.

Мысалы: 1) (1)

1. 
   мен (2) ден мынаны аламыз
   

2)

8. 
   Доға ұзындығын есептеу
   

Ал AB доғасының ұзындығы келесі формуламен анықталады:

Бұл теңдеуді y-ке қатысты шешеміз, сондықтан y’-ті табамыз:

(қисықтың таңбасы Ox өсіне симметриялы екенін көрсетеді; қарама-қарсы ординаттары бар A және B түктелері Ox өсінен төмен орналасқан қисықтың бөлігінде жатады.)

9. 
   Көлемді есептеу
   

Қиынырақ формадағы денелердің көлемін есептеу бірнеше вертикаль цилиндрлі денелердің көлемінің алгебралық қосындысын есептеуге келеді.

Бұл дене вертикаль цилиндр түрінде берілген. Оны жоғарыдан жазықтығымен шектелген, ал төменнен параболасы мен түзуінің арасындағы xOy жазықтығының бөлігімен шектелген.

Басқа ретпен интегралдаған кезде

Беттермен шектелген дененің көлемін есептеңіз:

10. 
    Қатарлардың жинақтылық белгісі
    

мұнда , , ..., , ... , сандары қатардың мүшелері деп аталады жәнеде олар өзара сандық тізбек құрайды.

Бұл шек жинақталатын қатардың қосындысы деп аталады.

Егер де болса, онда қатар жинақталмайды. (бұл кез келген қатар үшін жинақталмаудың жеткілікті белгісі.)

қатарды жинақталуы немесе жинақталмауы белгілі мүщелері оң болатын

басқа қатармен салыстырсақ және егер кейбір n нөмірінен бастасақ:

1. 
   болып және қатары жинақталса, онда қатарыда жинақталады;
   
2. 
   болып және қатары жинақталмаса, онда қатарыда жинақталмайды;
   

шексіз геометриялық прогрессиямен , не жинақталмайтын

гармоникалық қатармен салыстырамыз.

Қатарды қажеттілік белгісіне зерттейміз.

Яғни қатарды жинақтылыққа зерттеуге болады. Енді жеткіліктілік белгісіне зерттейміз. Оны Кошидің интегралдық белгісіне зерттейміз.

Жинақтылыққа зерттеңіздер.

11. 
    Таңбалары ауыспалы қатарлардың жинақтылық белгісі
    

Егер (2) қатар жинақталмаса, онда жинақталатын (2) таңбалары ауыспалы қатар абсолютті емес жинақталады.

Кез келген абсолютті жинақталатын қатар жинақталатын қатар болып табылады.

Таңбалары кезекпе-кезек ауысатын қатар

Бұл таңбалары кезекпе-кезек ауыспалы қатардың мүшелері абсолююті шамасы бойынша кемиді және нөлге ұмтылады:

Сондықтан, Лейбниц белгісі бойынша, бұл қатар жинақталады. Бұл қатардың абсолютті не абсолютті емес жинақтылыққа зерттеу үшін мүшелерінің абсолютті шамаларынан тұратын қатарды жеткілікті белгіге зарттейміз. Оны Кошидің интегралдық белгісі бойынша зерттейік.

Мүшелері оң болатын қатар жинақталмайды. Бұдан қатар абсолютті емес жинақталады.

12. 
    Функцияналдық қатар
    

Функцияналдық қатар әртүрлі x мәндерінде әртүрлі жинақталатын не жинақталмайтын сандық қатарға айналады.

Барлық функцияналды қатардың ең қарапайым әрі ең көп қолданылатын түрі келесі түрдегі дәрежелік қатар

немесе жалпы түрде

Функцияналдық қатардың жинақталу аралығын анықтау үшін әдетте алдымен Даламбер белгісін қолданамыз, сосын функцияналдық қатардың жинақталуы туралы сұрақ туындататын x мәндеріндегі сандық қатарды айрықша зерттейміз.

Даламбер белгісін қолданып,

Даламбер белгісі бойынша, осы интервалдағы x-тің кез келген мәндерінде қатар жинақталады (абсолютті), ал кезде жинақталмайды.

Берілген дәрежелік қатардың жинақталу аралығына жартылай интервалы жатады.

Функцияналдық қатарларды жинақтылыққа зертте:

13. 
    Фурье қатары
    

мұнда тұрақтылар, осы функцияналдық қатарды тригонометриялық қатар деп атаймыз.

Функцияны Фурье қатарына жіктеудің ең қарапайым жеткілікті шартты келесі Дирихле теоремасында көрсетілген.

1. 
   Үзіліссіз нүктелерде функциясы сол функцияның өзіне жинақталады,
   
2. 
   Әрбір үзілісті нүктелерінде функциясы сол нүктелердегі функцияның оң жақты және сол жақты шектерінің қосындысының жартысына тең болады,
   

3. 
   интервалының шектік нүктелерінде функциясы x нүктесі интервал ішінен шектік нүктелеріне ұмтылғанда
   

Ал тақ функцияларына арналған барлық коэффициенттері болады және осыған сәйкес Фурье қатарында тек қана синустар болады.

Алдымен берілген функция берілген аралықта Дирихле шартын қанағаттандыратындығын тексереміз; содан соң Фурье формуласымен және коэффициенттерін есептейміз және оларды (1) қатарға қойып, іздеп отырған берілген функцияның Фурье қатарына жіктеуін аламыз; соңында Дирихле теоремасына сүйене отырып x-тің қандай мәнінде алынған қатар берілген функцияға жинақталатындығын анықтаймыз.

(Интегралды есептеу үшін бөліктеп интегралдау формуласы қолданылған.)

1. 
   тригонометриялық қатарға және коэффициенттерінің мәнін қоя отырып, ізделініп отырған берілген функцияның Фурье қатарына жіктелуін аламыз:
   

14. 
    Фурье интегралы
    

Бұл Фурьенің интегралдық формуласы кездегі интервалында функциясына арналған Фурье қатардан алынады.

Тақ не жұп функциялар үшін Фурье интегралы қысқарады:

Егер болса, онда

Эйлер формуласының көмегімен (1) формуладан келесідей Фурье интегралының комплексті формасы алынады:

Бұл функция тақ функция. Сондықтан (3) формуласына сәйкес

Бұдан шығатыны,

1. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука; 1977 г. и другие издания.

2. Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. М.: Наука; 1973 г.

3. Виноградова И. А. Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. – М.: Изд. МГУ, 1988 г.

4. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. I. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М.: Наука,1984 г.; II. Интегралы. Ряды. М.: Наука, 1986г.; III. Функции нескольких переменных. Санкт – Петербург: 1994 г.

Қосымша

2. Л.Д.Кудрявцев. Курс математического анализа. т.I, II. - М.: Высшая школа, 1981.

3. С.М.Никольский. Курс математического анализа. т. I, II. - 3-изд.- М.: Наука, 1983.

4. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ. М.: 1979.

5. Н.Темірғалиев. Математикалық анализ. Алматы: т.I, "Мектеп",1987; т.II, "Ана тiлi", 1991; т.III, "Бiлiм", 1997.

6. Н.Темірғалиев. Математикалық анализ. Алматы: т.II, "Мектеп",1987; т.II, "Ана тiлi", 1991; т.III, "Бiлiм", 1997.