Алматы 2015 Almaty



Pdf көрінісі
бет63/130
Дата12.03.2017
өлшемі19,96 Mb.
#9035
1   ...   59   60   61   62   63   64   65   66   ...   130

2.

 

Интегральное представление решения задачи (1)-(4). 

 

Решение рассматриваемой краевой задачи ищем в виде: 



 

 


 









 













0

]

2



2

[

,



т

n

n

n

n

n

t

a

x

erfc

i

B

t

a

x

erfc

i

A

t

t

x

u

  

              (6) 



где 

n

A



n



B

- неизвестные постоянные. 



erfcx

i

n

 функция ошибок определяется рекуррентными формулами: 











x

x

n

n

n

n

d

e

x

n

d

erfc

i

erfcx

i

...


,

2

,



1

,

!



1

2

2



1





 





x

d

e

erfcx

i



2

2



0

и удовлетворяет дифференциальному уравнению: 



0

2

2



2

2





erfcx



ni

erfcx

i

dx

d

x

erfcx

i

dx

d

n

n

n

,  


а также рекурентной формуле: 

 

erfcx



xi

erfcx

i

erfcx

ni

n

n

n

1

2



2

2





 

Функции  Хартри  (иногда  их  называют  интегральными  функциями  ошибок)  оказались  весьма 



удобным  аппаратом  при  исследовании  процессов  теплопроводности    и  диффузии,  описываемых 

уравнением 

2

2

2



x

u

a

t

u





   

 

 



                          (7) 

в областях с подвижными границами. 

С помощью фундаментального решения уравнение (7) можно показать, что функция вида  


452 



t

a

x

erfc

i

t

t

x

u

n

n

n

2

,



2



 

 



 

                          (8) 

также удовлетворяет уравнению (7). 

3.

 

Сведение задачи (1)-(4) к системе алгебрических уравнений и её решение.

 

Найдем производную от (6):  



 

































]

2

2



[

2

1



]

4

exp



4

exp


[

1

0



1

0

1



2

2

0



2

2

0



t

a

x

erfc

i

B

t

a

x

erfc

i

A

a

t

a

x

B

t

a

x

A

t

a

x

u

 



 

 




















t

a

x

erfc

i

A

а

t

t

a

x

ierfc

B

t

a

x

ierfc

A

a

t

2

[



2

...


]

2

2



[

2

1



1

2

2





 

]

2



1













t

a

x

erfc

i

B



 

 



                          (9) 

 

Учитывая (5), подставим выражения (6) и (9) в граничные условия (3) и (4), будем иметь: 



 









t

x

x

u

u



 

 



 































]



4

exp


4

exp


[

]

2



2

[

2



2

0

2



2

0

0



0

0

0



0

a

B

a

A

t

a

a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

t





 



 

 


























]

2

2



[

2

]



2

2

[



0

1

0



1

1

1



1

a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

a

a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

t





 

 



 

 
























]



2

2

[



2

]

2



2

[

2



2

2

2



2

2

2



a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

a

t

a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

t





 

 



 

 




























]

2

2



[

2

]



2

2

[



...

1

1



1

a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

a

t

a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

t











 



=



0



2

n

n

n

t

 



 

                        (10) 

и 











t

x

x

u

u



 

 



 































]



4

exp


4

exp


[

]

2



2

[

2



2

0

2



2

0

0



0

0

0



0

a

B

a

A

t

a

a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

t





 



 

 


























]

2

2



[

2

]



2

2

[



0

1

0



1

1

1



1

1

1



a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

а

a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

t





 

 



 

 
























]



2

2

[



2

]

2



2

[

1



2

1

2



2

2

2



2

2

a



erfc

i

B

a

erfc

i

A

а

t

a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

t





 

 



453 

 


 



























]

2



2

[

2



]

2

2



[

1

1



1

a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

а

t

a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

t











 





л

т

n

n

t

0

2



,   


 

                        (11) 

 

Сравнивая  коэффициенты  при  одинаковых  степенях 



t

в  левой  и  в  правой  частях  уравнения 

(10), (11), получим систему уравнений относительно неизвестных постоянных   



A

и 



B



 











































0



4

exp


4

exp


0

4

exp



4

exp


2

2

0



2

2

0



2

2

0



2

2

0



a

B

a

A

a

B

a

A



 



                                   (12) 

 

















0

0



1

0

1



0

0

0



0

0

0



1

0

1



0

0

0



0

)]

2



(

)

2



(

[

2



)]

2

(



)

2

(



[

)]

2



(

)

2



(

[

2



)]

2

(



)

2

(



[











a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

а

a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

а

a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

       (13)

 

















1

2



2

1

1



1

2

2



1

1

)]



2

(

)



2

(

[



2

)]

2



(

)

2



(

[

)]



2

(

)



2

(

[



2

)]

2



(

)

2



(

[













a

ierfc

B

a

ierfc

A

а

a

ierfc

B

a

ierfc

A

a

ierfc

B

a

ierfc

A

а

a

ierfc

B

a

ierfc

A

 

            (14) 



 

……… …...... ……….. ………. ……… …………. 













.

)]

2



(

)

2



(

[

,



)]

2

(



)

2

(



[















a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

                                               (15) 

Если основной определитель  

 

























































2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



0

4

exp



4

exp


4

exp


4

exp


4

exp


4

exp


a

a

a

a

a

a







≠0, 

то  


0

0

B



A

равен нулю. 

Подставляя значения 

0

A

 и 

0

B



в систему (13), получим: 

 













.

)



2

(

)



2

(

,



)

2

(



)

2

(



0

0

1



0

1

0



0

1

0



1









a



erfc

i

B

a

erfc

i

A

a

erfc

i

B

a

erfc

i

A

 

 



Отсюда, если основной определитель  

454 

)]

2



(

)

2



(

)

2



(

)

2



(

[

)



2

(

)



2

(

)



2

(

)



2

(

1



a

erfc

a

erfc

a

erfc

a

erfc

a

erfc

a

erfc

a

erfc

a

erfc



















не равен нулю, то 

  

,

)]



2

(

)



2

(

)



2

(

)



2

(

[



)

2

(



)

2

(



,

)]

2



(

)

2



(

)

2



(

)

2



(

[

)



2

(

)



2

(

0



0

1

0



0

1

a



erfc

a

erfc

a

erfc

a

erfc

a

erfc

a

erfc

B

a

erfc

a

erfc

a

erfc

a

erfc

a

erfc

a

erfc

A



























                                  (16) 



 

Подставляя, теперь, найденные коэффициенты  

1

1

и B



A

в систему (14), находим 

2

2

B



A

 



                    







,

)]

2



(

)

2



(

)

2



(

)

2



(

[

)]



2

(

)



2

(

[



2

,

)]



2

(

)



2

(

)



2

(

)



2

(

[



)]

2

(



)

2

(



[

2

1



1

2

1



1

2

a



erfc

a

erfc

a

erfc

a

erfc

a

erfc

i

P

a

erfc

i

E

a

B

a

erfc

a

erfc

a

erfc

a

erfc

a

erfc

i

E

a

erfc

i

P

a

A































 

                       (17) 

 

где постоянные 



P

  и 


E

 соответственно определяются в следующем виде: 

)].

2

(



)

2

(



[

)],


2

(

)



2

(

[



1

1

1



1

a

ierfc

B

a

ierfc

A

E

a

ierfc

B

a

ierfc

A

Р












Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   59   60   61   62   63   64   65   66   ...   130




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет