Алматы 2015 Almaty
жүктеу/скачать 19,96 Mb. Pdf көрінісі
|
2. Интегральное представление решения задачи (1)-(4).
Решение рассматриваемой краевой задачи ищем в виде:
0 ] 2 2 [ , т n n n n n t a x erfc i B t a x erfc i A t t x u
(6) где n A ,
B - неизвестные постоянные. erfcx i n функция ошибок определяется рекуррентными формулами:
x x n n n n d e x n d erfc i erfcx i ...
, 2 , 1 , ! 1 2 2 1
x d e erfcx i 2 2 0 . и удовлетворяет дифференциальному уравнению: 0 2 2 2 2
ni erfcx i dx d x erfcx i dx d n n n ,
а также рекурентной формуле:
xi erfcx i erfcx ni n n n 1 2 2 2 .
Функции Хартри (иногда их называют интегральными функциями ошибок) оказались весьма удобным аппаратом при исследовании процессов теплопроводности и диффузии, описываемых уравнением 2 2
x u a t u
(7) в областях с подвижными границами. С помощью фундаментального решения уравнение (7) можно показать, что функция вида
452 t a x erfc i t t x u n n n 2 , 2
(8) также удовлетворяет уравнению (7).
Найдем производную от (6): ] 2 2 [ 2 1 ] 4 exp 4 exp
[ 1 0 1 0 1 2 2 0 2 2 0 t a x erfc i B t a x erfc i A a t a x B t a x A t a x u
t a x erfc i A а t t a x ierfc B t a x ierfc A a t 2 [ 2 ...
] 2 2 [ 2 1 1 2 2 ] 2 1 t a x erfc i B ,
(9)
Учитывая (5), подставим выражения (6) и (9) в граничные условия (3) и (4), будем иметь: t x x u u
] 4 exp
4 exp
[ ] 2 2 [ 2 2 0 2 2 0 0 0 0 0 0 a B a A t a a erfc i B a erfc i A t
] 2 2 [ 2 ] 2 2 [ 0 1 0 1 1 1 1 a erfc i B a erfc i A a a erfc i B a erfc i A t
] 2 2 [ 2 ] 2 2 [ 2 2 2 2 2 2 2 a erfc i B a erfc i A a t a erfc i B a erfc i A t
] 2 2 [ 2 ] 2 2 [ ... 1 1 1 a erfc i B a erfc i A a t a erfc i B a erfc i A t
= 0 2 n n n t ,
(10) и
t x x u u
] 4 exp
4 exp
[ ] 2 2 [ 2 2 0 2 2 0 0 0 0 0 0 a B a A t a a erfc i B a erfc i A t
] 2 2 [ 2 ] 2 2 [ 0 1 0 1 1 1 1 1 1 a erfc i B a erfc i A а a erfc i B a erfc i A t
] 2 2 [ 2 ] 2 2 [ 1 2 1 2 2 2 2 2 2
erfc i B a erfc i A а t a erfc i B a erfc i A t
453
] 2 2 [ 2 ] 2 2 [ 1 1 1 a erfc i B a erfc i A а t a erfc i B a erfc i A t
л т n n t 0 2 ,
(11)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и в правой частях уравнения (10), (11), получим систему уравнений относительно неизвестных постоянных
и
.
0 4 exp
4 exp
0 4 exp 4 exp
2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 a B a A a B a A
(12)
0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 )] 2 ( ) 2 ( [ 2 )] 2 ( ) 2 ( [ )] 2 ( ) 2 ( [ 2 )] 2 ( ) 2 ( [ a erfc i B a erfc i A а a erfc i B a erfc i A a erfc i B a erfc i A а a erfc i B a erfc i A (13)
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 )] 2 ( ) 2 ( [ 2 )] 2 ( ) 2 ( [ )] 2 ( ) 2 ( [ 2 )] 2 ( ) 2 ( [ a ierfc B a ierfc A а a ierfc B a ierfc A a ierfc B a ierfc A а a ierfc B a ierfc A
(14) ……… …...... ……….. ………. ……… ………….
. )] 2 ( ) 2 ( [ , )] 2 ( ) 2 ( [ a erfc i B a erfc i A a erfc i B a erfc i A (15) Если основной определитель
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 4 exp 4 exp
4 exp
4 exp
4 exp
4 exp
a a a a a a ≠0, то
0 0 , B A равен нулю. Подставляя значения 0
и 0
в систему (13), получим:
. ) 2 ( ) 2 ( , ) 2 ( ) 2 ( 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1
erfc i B a erfc i A a erfc i B a erfc i A
Отсюда, если основной определитель 454 )] 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( [ ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 1 a erfc a erfc a erfc a erfc a erfc a erfc a erfc a erfc , не равен нулю, то
,
2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( [ ) 2 ( ) 2 ( , )] 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( [ ) 2 ( ) 2 ( 0 0 1 0 0 1
erfc a erfc a erfc a erfc a erfc a erfc B a erfc a erfc a erfc a erfc a erfc a erfc A (16) Подставляя, теперь, найденные коэффициенты 1 1
A в систему (14), находим 2 2
A :
, )] 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( [ )] 2 ( ) 2 ( [ 2 , )] 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( [ )] 2 ( ) 2 ( [ 2 1 1 2 1 1 2
erfc a erfc a erfc a erfc a erfc i P a erfc i E a B a erfc a erfc a erfc a erfc a erfc i E a erfc i P a A (17)
где постоянные P и
E соответственно определяются в следующем виде: )]. 2
) 2 ( [ )],
2 ( ) 2 ( [ 1 1 1 1 a ierfc B a ierfc A E a ierfc B a ierfc A Р жүктеу/скачать 19,96 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|