Алматы 2017 январь

 

●

 Техникалық ғылымдар 

 

ҚазҰТЗУ хабаршысы №1 2017                                          

365 

 

Для плотности вероятности 

( )

f I

 имеем формулы 

   

 

0

0

( )

1, 0

;

( )

1,

( )

( )

, ( )

( )

.

I

I

P I

I

f I dI

P I

f I dI f I

P I

e













 













 

 

 

 

(14) 

 

Согласно формуле  (14) видно, что функция вероятности реализации информации 

( )

P I

 совпа-

дает с функцией распределения плотности вероятности 

( )

f I

.   

Информационную  энтропию  распределения  значений информации 

( )

S I

  запишем  следующим 

образом: 

( )

( )

(1

)

I

I

S I

If I dI

I e













. 

 

 

 

(15) 

 

Так как 

0

I



 

 имеем 

1

0

S





, т.е. энтропия нормирована на единицу. В отличие от фор-

мулы (12) в качестве меры мы приняли саму информацию и получили результат (15).   

Определим неподвижные точки [21] для непрерывных функций 

( )

f I  и  ( )

S I :  

 

1

( )

,

,

0.567

I

f I

I e

I I

I











,   

 

 

(16) 

 

2

( )

, (1

)

,

0.806

I

S I

I

I e

I I

I













. 

 

 

     (17) 

 

Предложенные неподвижные точки 

( )

f I  и  ( )

S I : являются пределами бесконечных отображе-

ний, достигаемых при любых начальных значениях 

0

I

 (рисунок 1):     

 

1

0

1

( ), lim exp( exp(... exp( )...))

i

i

i

I

f I

I

I













 

 

 

 

(18) 

 

1

0

0

2

( ), lim exp( exp(...

exp(ln(

1)

)...))

i

i

i

I

S I

I

I

I



 













 

 

 

(19) 

 

где число скобок равно 

1

i 

.   

Физический  смысл  чисел 

1

2

0.567,

0.806

I

I





,  трактуется  как  критерий  самоаффинности  и 

самоподобия динамической меры, более подробно описанной в работе [22].   

 

Обобщенная метрическая характеристика нейронных сигналов 

В  пункте  3  мы  ввели  информационно  -  энтропийные  характеристики  фрактальных  фракталь-

ных - неевклидовых сигналов. Рассмотрим обобщение метрической характеристики на фрактальные 

(нейронные) сигналы. Обобщенная метрическая характеристика следует из известного интегрального 

неравенства Гёлдера для любых функций 

 

 

,

i

j

x t

x

t

 записанного в виде [23, 24]   

 

 

 

   

1

1

,

,

0

0

0

1

1

1

1

1

,

1

i

j

T

T

T

p

q

q

p

p q

i

j

x x

i

j

x t

dt

x

t

dt

K

x t x

t dt

T

T

T

p

q





































, 

 

(20) 

 

где 

,

,

i

j

p q

x x

K

  -  коэффициент,  при  постоянном  значении  которого  выполняется  равенство  в  (20), 

( ),

( )

i

j

x t x t

 – физические величины, зависящие от времени t. 

T

 – характерное время, достаточное для 

 

●

 Технические науки 

 

366                                                                                            

№1 2017 Вестник КазНИТУ 

 

установления статистических закономерностей, p,q - параметры. При p=q=2 

2,2

,

i

j

x x

K

 характеризует  ев-

клидовую  метрику  множества  значений  функций 

( ),

( )

i

j

x t x t

.  Если 

( )

1

j

x t 

  получим  коэффициент 

формы сигнала 

( )

( )

i

x t

x t



 

 





1 2

2

( )

( )

( )

x t

x t

K

x t



, 

 

 

 

 

(21) 

 

где  мы  использовали,  для  общности,  обозначения  для  усреднения  по  ансамблю.  Выражение 

( )

x t

K

 используется в радиотехнике. Условие для параметров p,q дает возможность для использования 

,

,

i

j

p q

x x

K

  для  описания  фрактальных  сигналов.  Если 

D

  –  фрактальная  размерность  кривой 

( )

x t

,  то  мы 

можем принять 

,

(

1)

p

D q

D

D







. Принимая 

( ),

i

j

x

x t x

t





 имеем 

 









1

1

,

,

,

(

1)

q

D

q

D

j

D q

x t

x

x

K

q

D D

x t









. 

 

 

(22) 

 

Значения 

,

,

D q

x t

K

 для сигналов с различными коэффициентами подобия 

,

x t

 и различают самоаф-

финные нейронные колебания. 

 

Метрико-топологическая диаграмма нейронных сигналов  

На рисунке 1 показана зависимость нормированной информационной энтропии 

( )

S x

 (формула 

(12)) нейронных сигналов различного типа от соответствующих значений метрической характеристи-

ки 

,

,

D q

x t

K

  (формула  (22)).  Энтропия  определена  через  вероятности  попадания  значений    (потенциала 

действия нейрона) в интервалы 

1

,

1, 2, ...

i

i

x

x i











, число отсчетов 

1, ... ,

j

N



 

3

10

N 

; 

4

2

10

10











. 

Для  импульсов  различной  формы  энтропия  равнобедренного  треугольника 

S



  является  максималь-

ной, т.к. в этом случае распределение 

( )

i

j

x t

 будет равномерной (линейной). Поэтому в качестве нор-

мы энтропии принято 

S



. Значение 

( )

S



 возрастает с уменьшением 



, однако отношения 

( )

( )

S

S







 

в указанном интервале изменения 



 практически постоянное.    

В определение 

,

,

D q

x t

K

K



 входит 

D

 - фрактальная размерность кривой 

( )

x t

, которая была опре-

делена по формуле корреляционной размерности [17]    

 

0

ln ( )

lim

ln 1

C

D











,   

 

2

1

1

1

( )

lim

(

)

N

N

i

j

N

i

j

i

j

C

x

x

N



 















 

.  

 

(23) 

 

Для наглядности в каждой области диаграммы 

( )

S K

 представлены примеры нейронных сигна-

лов по соответствующим моделям (

 – ФитцХью-Нагумо [13], 



 – Хиндмарш-Роуз  [14], 

 – мо-

дель  нейрона  спайково-берствого  поведения  с  использованием  двухмерного  отображения  [15], 



  – 

модель масштабно-инвариантных нейронных колебаний [16]). 

 

 

●

 Техникалық ғылымдар 

 

ҚазҰТЗУ хабаршысы №1 2017                                          

367 

 

 

Рис. 1. Зависимость нормированной энтропии (

( )

( )

S

S

S









) от обобщенно – метрической характеристики 

(

,

,

D q

x t

K

K



) для моделей нейронных сигналов (

 – ФитцХью-Нагумо (1), при 





1.5,

1,

12.5,

1 2

a

b

I













; 



 – Хиндмарш-Роуз (2), при 





3,

1,

1,

5,

1.6,

0.005,

4,

1.3 3

R

a

b

c

d

x

r

s

I



 















; 

 – модель нейро-

на спайково-берствого поведения с использованием двухмерного отображения (3), при 





0.001,

0.14,

4

6















; 



 – модель масштабно-инвариантных нейронных колебаний (9), при 





0

0.8,

0.8,

0.433 1

0.1,

A

B

V













).   

 

Из диаграммы 

( )

S K

 видно, что именно масштабно-инвариантные сигналы, описываемые фрак-

тальной  моделью  являются  явно  самоаффинными (большие  значения  K)  и  нормированная  энтропия 

принимает  значения  в  интервале  неподвижных  точек 

S

  и 

I

: 

1

2

I

S

I





.  При 

1

2

K





  колебания 

близкие к стохастическим, их энтропия выше (

2

S

I



). 

При  выборе  достаточного  разрешения  (

, N



)  зависимость 

( )

S K

  может  однозначно  идентифи-

цировать  нейронные  сигналы,  ее  можно  использовать  в  качестве  критерия  решения  выходного  слоя 

нейронной сети. 

 

Заключение  

В работе показана возможность классификации нейронных сигналов согласно их нелинейным 

(энтропийным  и  обобщенно-метрическим)  характеристикам.  Указаны  устойчивые,  неподвижные 

точки нейронных сигналов, которые являются критериями самоаффинности и самоподобия. Теорети-

ческим  анализом  экспериментальных  данных  показано,  что  нейронные  сигналы  являются  самоаф-

финными кривыми. 

 

ЛИТЕРАТУРА 

[1] 

E. M. Izhikevich, Dynamical systems in neuroscience: the geometry of excitability and bursting // The 

MIT Press, Cambridge, Massachusetts. – 2010. 

[2] 

A. Gupta, L. N. Long. Character recognition using spiking neural networks // IEEE International Joint 

Conference on Neural Networks. – 2007. doi: 

10.1109/IJCNN.2007.4370930

, ISSN: 1098-7576. – P. 53-58. 

[3] 

M. N. Shadlen, W. T. Newsome, The variable discharge of cortical neurons: implications for connec-

tivity, computation, and information coding // The Journal of Neuroscience. – 1998. – vol. 18(10), – P. 3870-3896. 

[4] 

T. M. Reese, A. Brzoska, D. T. Yott, D. J. Kelleher, Analyzing self-similar and fractal properties of 

the C. elegans neural network // PLoS ONE. – 2012. – vol. 7(10), doi:10.1371.  

[5] 

S.  Carrillo,  J.  Harkin,  L.  McDaid,  S.  Pande,  S.  Cawley,  B.  McGinley,  F.  Morgan,  Advancing  inter-

connect  density  for  spiking  neural  network  hardware  implementations  using  traffic-aware  adaptive  network-on-

chip routers // Neural networks. – 2012. – vol. 33, – P. 42-57. 

[6] 

S. Pierre, H. Said, W. G. Probst. An artificial neural network approach for routing in distributed com-

puter networks // Engineering Applications of Artificial Intelligence, Vol. 14, No 1, pp. 51-60, 2001. 

[7] 

G. F. de Arruda, E. Cozzo, Y. Moreno On degree-degree correlations in multilayer networks // Physi-

ca D 323-324, pp. 5 – 11, 2016.   

жүктеу/скачать 28,19 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: