Алматы экономика және статистика академиясы «информатика» кафедрасы



Pdf көрінісі
бет14/28
Дата07.04.2017
өлшемі3,09 Mb.
#11237
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   28

1-Анықтама.  Егер  жазықтықтағы  нүктелерден  құралған  М  жиынының  кез  келген  екі  нүктесін 
түгелдей  сол  жиынының  нүктелерінен  тұратын  үзіліссіз  қисықпен  қосу  мүмкін  болса,  М 
байланысқан (байланысты) жиын деп аталады. 
2-Анықтама. Егер жазықтықтағы нүктелерден құралған М жиынының құрамындағы 


М
А
А

 
нүктесі ӛзінің қандайда болса бір 
 
A
U

 маңайымен бірге осы жиынның ішінде жатса, А нүктесі М 
жиынының ішкі нүктесі деп аталады. 
3-Анықтама.  Егер  жазықтықтағы  нүктелерден  құралған  М  жиынының  кез  келген  нүктесі 
жиынының  ішкі  нүктесі  болса,  М  ашық  жиын  деп  аталады.  Яғни  тек  ішкі  нүктелерден  құралған 
жиынды ашық жиын деп атайды. 
4-Анықтама.  Егер  жазықтықтағы  нүктелерден  құралған  М  байланысқан  ашық  жиын  болса, 
онда оны облыс деп атайды. 
5-Анықтама.  Егер  жазықтықтағы  нүктелерден  құралған  М  жиынының  құрамында  болуы  да, 
болмауы да мүмкін В нүктесінің 
 
В
U

 маңайында осы жиынның нүктелерімен бірге, ол жиынның 
құрамында жоқ нүктелер де жатса, онда В нүктесі М жиынының шекара нүктесі деп аталады. 
Шекара нүктелердің жиыны сол жиынның шекарасын құрайды. 
6-Анықтама.  Егер  М  жиынының  барлық  шекара  нүктелері  сол  жиынның  құрамына  кіретін 
болса, ондай жиынды жабық (тұйық) жиын деп атайды. 
Егер жазықтықтағы нүктелерден құралған М  жиыны тұтасымен қандайда бір дӛңгелекке енсе, 
ол шенелген жиын деп аталады. 
 
7.3. Кӛп аргументті функцияның шегі 
Бізге  ХОУ  жазықтығында  жатқан    облысында  анықталған 
 
y
x
f
z
,

  функциясы  берілсін 
және 


0
0
y
x
 осы   облысының тұрақты нүктесі болсын. 
Анықтама.  Егер 
0



  саны  бойынша 
0


  саны  табылып, 






0
,
0
M
M
  теңсіздігін 
қанағаттандыратын  М  нүктелер  үшін 
 



A
M
f
  теңсіздігі  орындалатын  болса,  онда  А  санын 
)
(M
f
 функциясының 
0
 нүктесіндегі 


0
M
M

 шегі деп атайды және оны былай жазады: 
 
 




Q
y
x
M
M
Q
y
x
M
M
A
M
f
M
M






0
0
0
0
,
,
,
lim
0

Бір  аргументті  функциялардың  шектері  және  оларды  есептеу  әдістері  түгелдей  кӛп  аргументті 
функцияларға  да  қолданылады.  Сондықтан  оларды  кӛп  айнымалылар  функциясына  қайталап 
жатудың қажеті жоқ. 
 

80 
 
7.4. Кӛп айнымалылар (аргументті) функциясының ҥздіксіздігі 
Айталық, 
 
y
x
f
z
,

 функциясы 
 облысында анықталған болсын және 


0
0
0
y
x
M
  нүктесі 
 
жиынында жатқан осы жиынның шекара нүктесі болсын. 
1-Анықтама. Егер 
 
M
f
z

 функциясының 
0
M
M

 нүктесіне ұмтылғандағы шегі оның 
0
 
нүктесіндегі 
 
0
M
f
  мәніне  тең,  яғни 
 
 
0
0
lim
M
f
M
f
M
M


  болса,  онда 
 
M
f
  функциясы 
0
 
нүктесінде үзіліссіз функция деп аталады
 
 
0
0
lim
M
f
M
f
M
M


  немесе  
 


0
0
,
,
lim
0
0
y
x
f
y
x
f
y
y
x
x




Мұндағы 
 
Q
у
х
М

,
  және  


Q
у
х
М

0
0
0
,

Функция шегінің анықтамасын еске алсақ, функцияның 
0
 нүктесіндегі үзіліссіздігінің тағы да 
бір мынадай анықтамасын келтіруге болады. 
2-Анықтама.  Егер 
0



  санына  сәйкес 
 
0





  саны  табылып, 






0
,
0
M
M
 
теңсіздігін  қанағаттандыратын  М  нүктелері  үшін 
   



0
M
f
M
f
  теңсіздігі  орындалса, 
)
(M
f
U

 функциясы 
0
 нүктесінде үзіліссіз функция деп аталады. 
Мына 
y
y
y
x
x
x






0
0
,
  шамаларының  әрқайсысы  берілген 
 
y
x
f
,
  функциясының 
y
x,
 
аргументтерінің  сәйкес  ӛсімшелері,  ал  айырым 
  

0
0
,
,
y
x
f
y
x
f

  функцияның  ӛсімшесі,  яғни 
 
  

0
0
,
,
,
y
x
f
y
x
f
y
x
f
z





  екенін  ескерсек,  функцияның  нүктедегі  үздіксіздігінің  жоғарыда 
берілген  анықтамасын  былай  тұжырымдауға  болады:  егер  аргументтердің  ақырсыз  кішкене 
ӛсімшелеріне  берілген  функцияның  да  ақырсыз  кішкене  ӛсімшесі  сәйкес  келсе,  онда  функция 


0
0
0
у
,
х
М
  нүктесінде  үзіліссіз  деп  аталады.  Демек,  егер 
 
y
x
f
z
,

  функциясы 
0
  нүктесінде 
үзіліссіз болса, 
 
0
,
lim
lim




y
x
f
z
 болады. 
Егер 
 
y
x
f
z
,

 функциясы 
 облысының әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда бұл функцияны 
 облысында үзіліссіз функция деп атайды
Енді  ХОУ  жазықтығының  кейбір    облысында  үзіліссіз  болатын 
 
y
x
f
z
,

  функциясының 
қасиеттеріне  тоқталайық.  Олар  аралықта  үздіксіз  болатын бір  айнымалы  функцияның қасиеттеріне 
ұқсас. 
1)  Егер 
 
М
f
z

  функциясы  шенелген  жабық  облыста  үзіліссіз  болса,  онда  ол  осы  облыста 
шенелген функция болады. Демек: 
 




y
x
f
,
:

2)  Егер 
)
(M
f
U

  функциясы  шенелген  жабық  облыста  үзіліссіз  болса,  онда  ол  осы  облыста 
ӛзінің дәл тӛменгі және жоғарғы мәніне жете алады. 
7.5. Дербес туындылар мен дербес дифференциалдар 
Бізге  кеңістіктің    облысында  анықталған  үздіксіз 


z
y
x
f
U
,
,

    функциясы  берілсін.  Осы 
облыстан 


0
0
0
0
,
,
z
y
x
M
 нүктесін аламыз. 
Егер 
у
 пен 
-ке тұрақты 
0
 мен 
0
 мәндерін беріп 
x
-ті ӛзгертетін болсақ, онда 


z
y
x
f
U
,
,

 
бір айнымалы 
x
-тің (
0
 тӛңірегінде) функциясы болады. Енді 
0
х
x

 мәніне 
x

  ӛсімшесін берсек, 
онда функция 




0
0
0
x
x
z
,
y
,
x
f
U



 

0
0
0
0
0
0
z
,
y
,
x
f
z
,
y
,
x
x
f




 
ӛсімшесін алады, мұны функцияның 
x
 бойынша алынған дербес ӛсімшесі деп атайды. 
Ал  мына  шекті 

 

x
z
y
x
f
z
y
x
x
f
x
xU
x
x











0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
lim
lim


z
y
x
f
,
,
  функциясының 


0
0
0
,
,
z
y
x
 
нүктесінде 
x
  бойынша  алынған  дербес  туындысы  деп  атайды  да,  мына  символдардың  бірімен 
белгілейді: 

81 
 




0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
,
,
z
y
x
f
U
x
z
y
x
f
x
U
х
х







Бұл  символдардың  тӛменгі  жағында  тұрған  әріп  туындының  қай  нүктеде 


0
0
0
,
,
z
y
x
  есептеліп 
отырғанына байланысты емес. Ол туындының қай айнымалы бойынша алынатынын кӛрсетеді. 
Сондай-ақ, 
x
 
пен 
-ті 
тұрақты, 
ал 
у
-ті 
айнымалы 
деп 

 

у
z
y
x
f
z
y
у
x
f
у
уU
у
у












0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
lim
lim
 шегін қарастыруға болады. 
Бұл  шекті 


z
y
x
f
,
,
  функциясының 


0
0
0
,
,
z
y
x
  нүктесіндегі 
у
  бойынша  алынған  дербес 
туындысы деп атайды. 
Берілген 


z
y
x
f
,
,
  функциясының 
  бойынша  алынған 


0
0
0
,
,
z
y
x
  нүктесіндегі  дербес 
туындысы да осылай анықталады. 
Дербес туындыны есептеудің жәй туындыны есептеуден ешқандай айырмашылығы жоқ. 
Мысалдар:  1) 
3
2
2
2
y
xy
x
z



    функциясы  берілсін.  Онда  бұл  функцияның  дербес 
туындылары 
2
2
3
4
,
2
2
y
xy
y
z
y
x
x
z










Бұлардың  біріншісі 
const
y

  болғандағы,  ал  екіншісі 
const
x

  болғандағы  дәрежелік 
функцияның туындысы. 
2) Егер 
y
x
arctg
z

 болса, онда
2
2
2
2
,
y
x
x
y
z
y
x
y
x
z










3) 
2
2
2
z
y
x
x
U



 функциясы үшін 






2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
2
,
z
y
x
xz
z
u
z
y
x
xy
y
u
z
y
x
x
z
y
x
u




















Берілген 


z
y
x
f
U
,
,

  функцияның  кез  келген  бір  аргументі  бойынша  нүктедегі  дербес 
туындысы  мен  сол  аргументтің  ӛсімшесінің  кӛбейтіндісі  функцияның  дербес  дифференциалы  деп 
аталады және былай белгіленеді: 
z
z
U
U
d
x
x
u
U
d
y
x








,

Егер  тәуелсіз  айнымалы  х-тің 
dx
  дифференциалын 
x

  ӛсімшесі  деп  түсінетін  болсақ,  онда 
dx
x
u
U
d
x



 сол сияқты 
dz
z
u
U
d
dy
y
u
U
d
z
y






,
 түрінде жазылады. 
 
7.6.  Кӛп  аргументті  функцияның  толық  ӛсімшесі,  толық  дифференциалы  және 
дифференциалдану шарты 
Егер  тәуелсіз  айнымалылардың 
0
0
0
,
,
z
z
y
y
x
x



  мәніне 
z
y
x



,
,
  ӛсімшелерін  берсек, 
онда 


z
y
x
f
U
,
,

 функция да 

 
 

0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
,
z
y
x
f
z
z
y
y
x
x
f
z
y
x
f
U











  (7.6.1) 
ӛсімшесін алады. Берілген функцияның осы ӛсімшесін оның толық ӛсімшесі деп атайды. 
Теорема.  Егер 






z
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x
f
z
y
x
,
,
,
,
,
,
,
,



  дербес  туындылар 


0
0
0
0
,
,
z
у
х
М
  нүктесімен 
оның  кейбір 
 
0
M
U

  маңайында  бар  болып  және  осы  нүктеде  (
z
y
x
,
,
-тің  функциясы  ретінде) 
үзіліссіз болса, онда берілген 


z
y
x
f
U
,
,

 функциясының толық ӛсімшесі мына түрде жазылады: 









y
z
,
y
,
x
f
x
z
,
y
,
x
f
U
0
0
0
y
0
0
0
x



 


z
y
x
z
z
,
y
,
x
f
0
0
0
z














82 
 
Мұндағы 



,
,
  шамалары 
z
y
x



,
,
  ӛсімшелеріне  тәуелді  және 
0
,
0
,
0






z
y
x
  -да  



,
,
 -ларда  0 -ге ұмтылады. 
Теорема.  Егер    облысында  берілген 


z
y
x
f
U
,
,

  функциясының  сол  облыстағы 


Q
z
y
x

0
0
0
,
,
 мен 


Q
z
z
y
y
x
x







0
0
0
,
,
 нүктелері үшін толық ӛсімшесі 
)
p
(
o
Cdz
Bdу
Adx
)
z
,
y
,
x
(
f
U
0
0
0







     (7.6.2) 
түрінде  жазылатын  болса,  (
C
B
A
,
,
-тұрақтылар, 
2
2
z
y
x







)  берілген  функцияның 


0
0
0
,
,
z
у
х
 нүктесінде дербес туындылары бар болады. 
Анықтама.  Егер 


z
y
x
f
U
,
,

  функциясының  толық  ӛсімшесі  (7.6.1)  немесе  (7.6.2) 
формулаларының 
бірімен 
ӛрнектелетін 
болса, 
ол 
функция 


0
0
0
,
,
z
у
х
 
нүктесінде 
дифференциалданатын  функция  деп  аталады.  Сонымен  бірге  берілген  функцияның  толық 
ӛсімшесінің басты сызықты бӛлігі 
z
U
y
U
x
U
z
y
x








 оның толық дифференциалы деп аталады да, 
былай белгіленеді: 
du
 немесе 


0
0
0
,
,
z
y
x
df

Сонымен,  үзіліссіз  дербес  туындылары  бар  кез  келген  кӛп  аргументті  функциялар 
дифференциалданатын функция болады. 
Аргументтер 
z
у
х ,
,
-тің  ӛсімшелері  олар  үшін  әрі  дифференциалдар  болатынын  ескерсек, 


z
y
x
f
,
,
 
функцияның 
толық 
дифференциалы 
dz
U
dy
U
dx
U
dU
z
у
х






 
немесе 








dz
z
y
x
f
dy
z
y
x
f
dx
z
y
x
f
z
y
x
df
z
y
x
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
,
,
,






 
түрінде  жазылады.  Яғни  кӛп 
аргументті  функцияның  толық  дифференциалы  оның  дербес  дифференциалдарының  қосындысына 
тең. 
1-мысал.  Берілген 
xy
e
z

  функциясының  толық  дифференциалы 
dz
-ті  табу  керек  болсын.  Бұл 
функцияның дербес туындылары 
xy
y
xy
x
xe
z
ye
z




,
 демек  
dy
xe
dx
ye
dz
xy
xy



2-мысал. Мына 
y
x
ntg
z


 функцияның толық дифференциалын табайық. 
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
tg
y
z
y
x
y
y
y
x
y
x
tg
x
z
2
sin
2
cos
1
1
,
2
sin
2
1
cos
1
1
2
2
2




















болғандықтан, 
dy
y
x
y
x
dx
y
x
y
dz
2
sin
2
2
sin
2




Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   ...   28




©emirsaba.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет