Алматы экономика және статистика академиясы «информатика» кафедрасы

 
5-мысал. 





ан
болєандыќт
1
x
cos
1
x
tg
xdx
tg
2
2
2
. 
















C
x
tgx
dx
x
cos
dx
dx
1
x
cos
1
2
2
 
Біз бұл жерде 7-ші және 1-ші формулалармен 4-ші қасиетті пайдаландық. 
6-мысал. 











dx
x
x
x
x
x
x
dx
2
2
2
2
2
2
3
3
3
1
3
. 
Соңғы  интегралды  екі  интегралдың  айырымы    түрінде  жазып  алып  формулалар  мен 
қасиеттердің кӛмегімен интегралдасақ, 




 


















2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
3
dx
3
1
x
dx
3
1
x
3
dx
3
1
x
dx
3
1
dx
x
3
x
x
x
3
3
1
x
3
x
dx
3
3
1
 

166 
 
C
3
x
arctg
3
3
1
x
3
1
C
3
x
arctg
3
3
1
x
3
1








болады.  
7-мысал. 




dx
x
8
3
2
. 
Шешуі: 


dx
x
d
3
2

  немесе 


3
2
2
1


x
d
dx
  екенін  ескерсек,  берілген  интегралды  былайша 
жазуға болады: 
   



 







3
2
3
2
2
1
3
2
8
8
x
d
x
dx
x
. 
Енді бұған 2-ші формуланы немесе 5-қасиетті қолдансақ 



 












C
x
x
d
х
dx
x
9
8
8
3
2
18
1
3
2
3
2
2
1
3
2
 
болып шығады. 
8-мысал. 











ескерсек
екенін
dx
x
x
d
dx
e
x
x
2
1
2
1
1
1
 
=
C
e
бойынша
формула
ші
x
d
e
x
x













1
1
3
1
. 
9-мысал. 








ескерсек
екенін
xdx
x
d
xdx
x
2
1
1
2
3
2
 

 







бойынша
формула
ші
2
1
x
d
x
1
2
1
2
3
1
2
 




C
x
1
8
3
C
x
1
8
3
3
4
2
3
4
2






 
10-мысал. 
 
 







C
arctgx
x
x
d
x
dx
x
3
2
3
3
6
2
3
1
1
3
1
1
. 
11-мысал. 
 






3
3
3
2
3
3
2
3
x
3
d
x
sin
x
dx
x
sin
dx
x
x
sin
 
 
C
x
x
d
x





3
3
3
cos
3
sin
3
. 
12-мысал. 






3
2
3
2
1
3
3
1
1
x
dx
x
x
dx
x
интеграл астындағы бӛлшектің алымында бӛлімінің туындысы 
тұр
C
x



3
1
ln
3
1
. 
мысал. 







tdt
dx
x
dx
dt
онда
десек
x
t
x
dx
2
,
2
,
1
 


















C
1
t
ln
2
t
2
t
1
dt
2
dt
2
dt
1
t
1
1
t
2
dt
t
1
t
2
 
.
C
1
x
ln
2
x
2




 
Интегралдауды бітіргеннен кейін біз алғашқы айнымалыға кӛштік. 
16-мысал. 












tdt
dx
х
t
онда
десек
x
t
x
х
dx
2
,
1
,
1
1
2
2













C
x
arctg
C
arctgt
t
dt
t
t
tdt
1
2
2
1
2
1
2
2
2
. 
18-мысал. 
dx
а
х


2
 интегралын есептеу керек. 

167 
 
Шешуі:  Бұл  интегралдың  астындағы  ӛрнек  кӛбейткіштерге  жіктеулі  тұр,  сондықтан  
a
x
U


2
,
dx
d


  деп  аламыз.  Бұдан 
x
,
а
x
xdx
dU
2




.  Сонда  бӛліктеп  интегралдау 
формуласын қолдансақ мынау шығады: 















dx
a
x
a
a
x
a
x
x
a
x
dx
x
a
x
x
dx
a
x
2
2
2
2
2
2
2










a
x
dx
a
dx
a
x
a
x
a
x
x
2
2
2
2
 
С
a
x
x
ln
a
dx
a
x
a
x
x
2
2
2









 
Соныменен  біз  алғашқы  берілген  интегралға  келдік,  яғни  бұл  теңдік  берілген  интеграл 
тұрғысынан  қарағанда  теңдеу  болып  шықты.  Теңдеудің  оң  жағындағы  интегралды  сол  жағына 
шығарсақ, 
 








C
a
x
x
a
a
x
x
dx
а
х
2
2
2
ln
2
, 
немесе 








C
a
x
x
a
a
x
x
dx
а
х
2
2
2
ln
2
2
. 
19-мысал. 




xdx
d
x
u
xdx
x
cos
,
cos

 
десек, 
бұдан 
dx
du

, 







C
x
cos
x
sin
x
xdx
sin
x
sin
x
x
sin

. 
20-мысал. 










dx
x
d
x
u
xdx
x
1
,
ln
ln
1
2
2

 
десек, 
бұдан 





















x
dx
x
x
3
1
x
ln
x
x
3
1
x
x
3
1
,
dx
x
1
du
3
3
3



























dx
dx
x
3
1
x
ln
x
3
x
3
1
dx
1
3
x
x
ln
x
x
3
1
2
3
2
3


C
x
x
9
1
x
ln
x
3
x
3
1
3
3





 
21-мысал. 








2
2
2
1
,
,
1
,
x
xdx
d
x
dx
du
arctgх
u
xarctgxdx


 











dx
1
x
1
1
x
2
1
arctgx
2
x
dx
x
1
x
2
1
arctgx
2
x
2
2
2
2
2
2
 












dx
1
x
1
1
2
1
arctgx
2
x
2
2
 
 
C
2
x
arctgx
1
x
2
1
C
arctgx
2
1
2
x
arctgx
2
x
2
2








. 
1-мысал. 





dx
x
x
x
x
x
2
3
2
2
3
2
. 
Рационал  бӛлшектің  бӛлімінің  үш  нақты  түбірі  бар,  ендеше 



2
1
2
2
3





x
x
x
x
x
x
  деп 
жазуға болады. Сонда, берілген бӛлшектің жәй бӛлшектерге жіктелуі мына түрде болады: 



2
1
2
1
3
2
2









х
С
х
В
х
А
х
х
х
х
х
. 
Мұндағы коэффициенттер А,В,С әзірше белгісіз және оларды анықтау қажет. Ол үшін теңдіктің 
екі жағын да ортақ бӛлімге келтіріп алымдарын теңестіреміз. Сонда 







1
2
2
1
3
2
2









х
Сх
х
Вх
х
х
А
х
х
,  
немесе 




А
х
С
В
А
х
С
В
А
х
х
2
2
3
2
2
2









 

168 
 
теңбе-теңдігі шығады. 
Бұл  теңбе-теңдіктің  сол  жағы  мен  оң  жағындағы  х-тің  бірдей  дәрежесінің  алдындағы 
коэффициенттерді теңестірсек, мынадай теңдеулер жүйесі шығады: 














.
2
3
,
2
1
,
2
0
1
2
А
С
В
А
С
В
А
х
х
х
 
Енді  осы  теңдеулер  жүйесін  шешсек 
6
13
,
3
4
,
2
3




С
В
А
  болып  шығады.  Осы  мәндерді 
орнына қойсақ 




 

2
6
13
1
3
4
2
3
2
1
3
2
2










х
х
х
х
х
х
х
х
 теңдігі шығады. 
Сонда 
 

  




















dx
2
x
6
13
1
x
3
4
x
2
3
dx
2
х
1
х
х
3
х
х
2
2
 









2
x
dx
6
13
1
x
dx
3
4
x
dx
2
3
C
2
x
ln
6
13
1
x
ln
3
4
x
ln
2
3






  болып шығады. 
1-мысал.  
4
7
2
1
1
1
4
1
4
1
2
3
2
4
1
2






















x
x
dx
x
x
dx
х
х
. 
2-мысал. 
.
6
2
1
arcsin
2
arcsin
4
1
0
1
0
2






x
x
dx
 
Мысал. 














2
0
2
0
x
cos
x
x
cos
,
dx
du
xdx
sin
d
,
x
u
xdx
sin
x
 




2
x
sin
x
cos
x
xdx
cos
2
0
2
0
2
0






. 
Мысал. 

















2
t
,
3
1
t
,
3
x
1
t
,
0
1
t
,
0
x
tdt
2
dx
,
1
t
x
,
x
1
t
dx
x
1
x
2
3
0
 
 










2
1
2
1
2
4
2
dt
t
t
2
tdt
2
t
1
t
 
15
11
7
3
7
5
31
2
3
1
5
1
2
3
8
5
32
2
3
1
5
2
2
1
3
5














 

















t
t
. 
Мысал. 
OX
осімен  және 




t
y
t
t
x
cos
1
2
,
sin
2




  циклоиданың  бір  аркасымен  шенелген 
фигураның ауданын табу керек. 
Шешуі: 

169 
 

 




















2
0
2
2
0
2
0
2
cos
cos
2
1
4
cos
1
4
cos
1
2
cos
1
2
dt
t
t
dt
t
dt
t
t
S




















2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
0
2
cos
1
2
sin
8
4
cos
4
cos
8
4
dt
t
t
t
tdt
tdt
dt






12
4
8
2
sin
2
2
4
2
0
2
0







t
t
. 
Кездейсоқ оқиғалар. Кездейсоқ шамалар. 
Статистиқалық бағалау 
1.Жәшіктегі  15  шардың  5-уі  кӛк,  10-ы  қызыл.  Кенеттен  алынған  6  шардың  2-уі  кӛк 
болу ықтималдығын табыңыз. 
 
Шешуі: Барлық жағдайлар саны 15-тен 6-дан жасалған теруден тұрады  
6
15
C
=  5005. 
А-екі шар кӛк болуын кӛрсететін оқиға. Осы оқиғаның орындалуына қолайлы 
жағдайлар саны m= 
4
10
2
5
C
C

    =10*210=2100. Олай болса, P(A)=2100/5005=0,4196.
 
 
2.Жәшіктегі  8  шардың  5-уі  ақ,  қалғаны  қара.  3  шар  алынды.  Алынған  шарлардың 
арасындағы ақ шарлар санының үлестірім заңын табыңыз. 
 
Шешуі: Х- алынған шарлар арасындағы ақ шарлар санын кӛрсететін кездейсоқ шама, 
оның  қабылдайтын  мүмкін  мәндері    x
1
=0,x
2
=1,  x
3 
=2,  x
4
=3.  Бұл  мәндерді  қабылдау 
ықтималдықтары:  
p
1 
=P{X=0}= 
56
1
3
8
3
3
0
5


C
C
C
,   
56
15
}
0
{
3
8
2
3
1
5
2





C
C
C
X
P
p
,   
56
30
}
2
{
3



x
P
p
,    
56
10
4

p
 
X
 
0
 
1
 
2
 
3
 
  
P
 
1/56
 
15/56
 
30/56
 
10/56
 
(Тексеру: 
1
56
10
56
30
56
15
56
1
4
1






i
p
). 
1.
 
Жәшіктегі 8 шардың 5-уі ақ, қалғаны қара. Кенеттен 3 шар алынды. Таңдаманың 
арасындағы  ақ  шарлар  санын  кӛрсететін  кездейсоқ  шама  Х-тің  үлестірім 
функциясы F(x)-ті тауып, сызбасын сызыңыз. 
 
Шешуі: Айнымалы х-ке мән беріп, сәйкес F(x)= P{X үлестірім функциясының 
мәндерін анықтаймыз: 
 
1.
 
 Егер  х≤0 болса, онда F(x)=P{X<0}=0; 
2.
 
Егер 0
;
56
1