Алматы экономика және статистика академиясы

Шешуі: Теңдеуді интегралдап z=x+φ(y) табамыз, мұндағы φ(y) – ерікті 

функция. Осы табылған z дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі. 

 

2.

 

d

2

z/dy

2

=6y, z=z(x,y). 

Шешуі: Берілген теңдеуді y бойынша екі рет интегралдасақ:  

dz/dy=3y

2

+ 

φ(x), z=y

3

+y 

φ(x)+ψ(x), мұндағы φ(x), ψ(x) – ерікті функциялар. 

 

3.

 

d

2

u/dt

2

= d

2

u/dx

2

, u|

t=0

=x

2

, du/dt|

t=0

=0 

Шешуі: a=1, ψ(x)=0 болғандықтан 

 

U=1/2[

φ(x-at)+ φ(x+at)], φ(x)=x

2

. 

 

Сонымен 

U=1/2[(x-t)

2

+ (x+t)

2

], u=x

2

+t

2

 

 

10 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          

Алматы экономика және статистика академиясы 

 

«

Информатика кафедрасы» 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СТУДЕНТТІҢ ОҚЫТУШЫМЕН ӨЗІНДІК ЖҰМЫСЫН ОРЫНДАУҒА 

АРНАЛҒАН ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУЛАР 

 

               

 

 

Пәннің аты «Дифференциалдық теңдеулер» 

Мамандығы 050602 «Информатика» 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

Алматы 2010 

 

 

 

1. 

Айнымалылары 

ажыратылатын, 

біртекті, 

сызықты 

дифференциалдық теңдеулер. Коши есебі. 

 

1. 

;  

   

 

 

2.

 

.

; 

 

3.

 

; 

 

 

 

 

2. Тұрақтыны вариациялау әдісі 

 

4.

 

 

5. 

 

 

3. Бернулли теңдеуі және оны сызықты теңдеуге келтіру 

 

        6. 

Бернулли теңдеуін шешіңіз:                           y`=xy+x

3

y

2 

            

4. Интегралдық көбейткіш 

 

7.

 

Интегралдық көбейткіш арқылы теңдеудің жалпы шешімін табыңыз:               

(x

2

+y)dx-xdy=0 

8.

 

y(1+xy) dx-xdy=0 

 

5.

Екінші ретті дифференциалдық теідеулер. Ретін төмендету 

  9.

 

;

 

       10.

 

y’’-2y’=e

x

; 

; 

    6. 

Коэффициенттері тұрақты, сызықты, біртектес теңдеулер 

       11.

 

y’’+y’-2y=0; y’’-4y’+4y=0; 2y’’-y’-y=0 

       12. 

; 

; 

 

7.

 

I 

белес бақылауға арналған тапсырмалар 

1.

Теңдеулердің жалпы шешімін табыңыз: 

     

, 

,

(2y-1)dx+(3-4x)dy=0 

   

 

2.

 

Коши есебінің шешімін табыңыз:    

 

 , 

3x(y-1)y’=2x

2

+5, y/

x=1

=2,

 .

 

   

  

3.

 

Бернулли теңдеуінің жалпы шешімін табыңыз:  y`+y/x=x

2

y

4 

4.

 

Толық дифференциалды теңдеулерді шешіңіз:  (12x+5y-

9)dx+(5x+2y-4)dy=0 

5.

Екінші ретті теңдеулерді шешіңіз:

 

,

,

; 

 

8. Бейбіртектес коэффициенттері тұрақты сызықты теңдеулердің дербес 

шешімін табу. Коши есебі. 

 

13

.

 

    

 14

.

 

 

     15.

 

;

 

 

9.

Нормальдық теңдеулер жүйесін ығыстыру тәсілімен шешу 

16.

Теңдеулер жүйесін ығыстыру (жою) әдісімен шешіңіз:  

x’=2x+y 

      y’=x+2y;x(0)=1,y(0)=3 

 

10.

Коэффициенттері тұрақты сызықты теңдеулер жүйесі 

 

 17.

Теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін табыңыз: x’=5x-y 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  y’=x+3y 

 

11.

 

Дербес туындылы сызықты біртекті бірінші ретті теңдеулер 

       

       18.

Теңдеудің жалпы интегралын табыңыз: xdz/dy+ydz/dy=z 

       19. 

Теңдеудің жалпы интегралын табыңыз: dz/dxsinx+dz/dysiny=sinz 

      

12.

 

Коши есебін шешудің Даламбер әдісі 

 

20.d

2

u/dt

2

=4d

2

u/dx

2

, u|

t=0

=0, du/dt|

t=0

=x 

 

13.II 

белес бақылауға арналған тапсырмалар 

 

1.

 

;

;

 y’’-8y’+16y=e

4x

; 

 

2.

 

Жүйенің жалпы шешімін табыңыз: y’=4y-z 

 z’=2z-y 

3.

 

Теңдеудің жалпы интегралын табыңыз: d

2

z/dxdy=1 

4.

 

Даламбер әдісімен Коши есебінің шешімін табыңыз: 

     d

2

u/dt

2

=a

2

 d

2

u/dx

2

, u|

t=0

=0, du/dt|

t=0

=cosx 

 

 

 

СОӨЖ тапсырмаларын орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар 

1.

 

(

)

x

y

dx

dy

cos

1

2

+

=

 теңдеуінің шешімін табу керек. 

Шешуі.  Берілген  теңдеудің  айнымалылары  бөлінеді  және 

( )

( )

1

,

cos

2

+

=

=

y

y

x

x

ψ

ϕ

  -

үзіліссіз функциялар. Функция 

( )

0

≠

y

ψ

 болғандықтан теңдеуді мына түрге келтіреміз: 

xdx

y

dy

cos

1

2

=

+

. 

Осыдан 

∫

∫

=

+

xdx

y

dy

cos

1

2

. 

Демек 

C

x

arctgy

+

= sin

  немесе 

(

)

C

x

tg

y

+

=

sin

- теңдеудің жалпы шешімі болады. 

 2.

 

(

)

0

2

4

≠

=

+

′

x

x

y

y

x

  теңдеудің 

( )

3

1

=

y

  шартын  орындайтын  шешімін  табу  керек 

болсын. 

Шешуі.  (10.5.10)  формуланы  пайдаланып,  теңдеудің  жалпы  шешімін  бірден  жазуға 

болады,  бірақ,  түсінікті  болу  үшін  жоғарыда  айтылған  жолмен  шығарып  көрейік.  Алдымен, 

теңдеудің екі жағын 

х - ке бөліп, мына түрге келтіреміз: 

3

2

х

у

х

у

=

+

′

. 

Енді 

V

U

у

⋅

=

 алмастыруын жасаймыз. 

Сонда 

3

2

х

V

U

х

U

V

V

U

=

⋅

+

′

+

′

 болады.  

Осыдан 

   

3

2

x

x

V

V

U

V

U

=













+

′

+

′

 

           (10.5.11) 

)

(x

V

  функциясы  жақшада  тұрған  өрнекті  нольге  айналдырады  деп  болжайық,  яғни 

0

2

=

+

′

x

V

V

. 

Бұл  жағдай   

2

1

x

V

=

  болғанда  орындалады  (теңдеу  айнымалылары  бөлінетін 

болғандықтан, оңай шешіледі). 

Ал  (10.5.11)  теңдеуге  табылған 

)

(x

V

-  ті  қоятын  болсақ,  ол  теңдеу  мына  түрге  келеді: 

3

2

1

x

U

х

=

′

 немесе 

dx

x

du

5

=

. Осыдан 

C

x

x

U

+

=

6

)

(

6

; 

Сонымен 

2

6

1

6

x

C

x

V

U

у

⋅













+

=

⋅

=

  болады.  Егер  осыған  бастапқы  шарттың  мәндерін 

қоятын болсақ: 

6

5

2

,

6

1

3

=

+

=

C

C

. 

Сонда 













+

=

+

=

2

2

2

4

17

6

1

6

17

6

х

х

х

х

у

 берілген теңдеудің дербес шешімі болады. 

3.

 

3

xy

xy

y

−

=

−

′

. 

Шешуі:  Берілген  теңдеудің  екі  жағын 

3

y -

қа  бөлеміз,  және 

z

y

y

y

z

′

=

′

−

=

3

2

2

,

1

- 

ауыстыруларын жасаймыз, сонда берілген теңдеу сызықты теңдеуге түрленеді:  

x

xz

z

−

=

−

′

−

2

1

 

немесе 

x

xz

z

2

2

=

+

′

 

Бұл теңдеудің жалпы шешімі: 

2

1

x

Ce

z

−

+

=

, мәндерін орнына қойғанда , жалпы шешімді 

аламыз, 

2

1

1

2

x

Ce

y

−

+

=

немесе 

1

)

1

(

2

2

=

+

− x

Ce

y

. 

4.

 

0

)

(

)

(

2

=

−

′

−

+

′

x

y

y

x

y

y

     

Шешуі: 

y′

-

ке қатысты теңдеуді шешеміз. 

y

xy

y

x

x

y

y

2

4

)

(

2

+

−

±

−

=

′

. 

.

,

1

2

1

y

x

y

y

−

=

′

=

′

 

Бұдан жалпы шешімдерді табамыз: 

2

2

2

,

C

x

y

c

x

y

=

+

+

=

. 

5.

 

,

3

2













+













=

dx

dy

b

dx

dy

a

y

      a,b-

тұрақтылар. 

p

dx

dy =

,  теңдеуге  апарып  қоямыз,  сонда, 

,

3

2

bp

ap

y

+

=

 

х-  бойынша  дифференциалдаймыз  және  dy-ті  pdx-пен  ауыстырамыз. 

Нәтижесінде: 

.

3

2

,

3

2

2

2

dp

bp

apdp

pdx

dp

bp

apdp

dy

+

=

+

=

  

Теңдеуді р-ға қысқартып , х-ті табамыз. 

.

2

3

2

,

3

2

2

C

bp

ap

x

bpdp

adp

dx

+

+

=

+

=

 

Жалпы шешім параметрлік формада болады: 

.

,

2

3

2

3

2

2

bp

ap

y

C

bp

ap

x

+

=

+

+

=

 

6.

 

x

x

y

cos

sin

'"

+

=

 

жалпы шешімін табу керек.  

Шешуі:Біртіндеп интегралдаймыз. 

1

"

sin

cos

C

x

x

y

+

+

−

=

 

2

1

'

cos

sin

C

x

C

x

x

y

+

+

−

−

=

 

3

2

2

1

2

sin

cos

C

x

C

x

C

x

x

y

+

+

+

−

=

 

7.

 

2

'"

ln

x

x

y

=

  

2

,

1

,

0

1

"

1

'

1

=

=

=

=

=

=

x

x

x

y

y

y

 

бастапқы  шарттарын  қанағаттандыратын  шешімді 

табу керек. 

Шешіуі:Бұл теңдеуді біртіндеп үш рет интегралдаймыз. 

∫

+

−

−

=

=

1

2

"

1

ln

ln

C

x

x

x

dx

x

x

y

 

2

1

2

'

ln

ln

2

1

C

x

C

x

x

y

+

+

−

−

=

 

3

2

2

1

2

2

ln

2

C

x

C

x

C

x

x

y

+

+

+

−

=

 

бастапқы шартты қанағаттандыратын   

2

,

1

,

0

1

"

1

'

1

=

=

=

=

=

=

x

x

x

y

y

y

- 

қанағаттандыратын 

шешімді табамыз.

2

1

,

1

,

0

2

1

2

1

3

2

1

=

+

−

=

+

=

+

+

C

C

C

C

C

C

 

2

/

1

,

2

,

3

3

2

1

=

−

=

=

C

C

C

 

тұрақтылар мәндерін аламыз,  теңдеу мына түрге келеді 

2

1

2

2

3

ln

2

2

2

+

−

+

−

=

x

x

x

x

y

 

8.

 

2

"

'"

)

(

1

y

y

+

=

   

теңдеуін шешу 

Шешуі:  Берілген теңдеуде 

y

 

және оның туындысы берілмеген сондықтан 

p

y

=

"

       

деп аламыз. Бұдан теңдеу мына түрге келеді    

2

1

p

dx

dp

+

=

.  

Айнымалыларды ажыратып және интегралдау арқылы, 

2

)

(

1

1

C

x

C

x

e

e

p

+

−

+

−

=

           

табамыз. 

p

-

ны    

"

y

-

ке ауыстырамыз, 

2

)

(

"

1

1

C

x

C

x

e

e

y

+

−

+

−

=

- 

бұл теңдеуді біртіндеп интегралдаймыз.       

2

)

(

'

2

1

1

C

e

e

y

C

x

C

x

+

+

=

+

−

+

  

және 

3

2

)

(

2

1

1

C

x

C

e

e

y

C

x

C

x

+

+

−

=

+

−

+

   

немесе нәтижесінде жалпы 

шешімді аламыз.

3

2

1

)

(

C

x

C

C

x

sh

y

+

+

+

=

 

9.

жүктеу/скачать 0,84 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: