1 Студенттердің рейтингісін бағалау шкаласы

 

 

 

15.2 Білімді бағалау 

 

Рейтинг нәтижесі – 60% 

Емтихан                --  40 % 

Қорытынды баға 

                                    U=((P

1

+P

2

)/2)*0,6+E*0,4 

Формуласымен анықталады, мұндағы  Р

1 

–  

рейтингтегі алған бағаның цифрлық 

көрсеткіші, Р

 2  

- 

екінші   рейтингтегі алған бағаның цифрлық көрсеткіші, Е – 

емтиханда алған бағаның цифрлық көрсеткіші. 

 

15.3.Әріппен және цифырмен бейнеленген бағаның пайызбен салыстырғандағы 

көрсеткіші төмендегі кестеде бейнеленген: 

Баға(әріп) 

Цифрлық 

көрсеткіш 

пайыз 

бағасы 

А 

4,0 

95-100 

Өте жақсы 

А- 

3,67 

90-94 

Жақсы 

 

 

 

 

В+ 

3,33 

85-89 

В 

3,0 

80-84 

В- 

2,67 

75-79 

С+ 

2,33 

70-74 

Қанағаттанарлық 

С 

2,0 

65-69 

 

С- 

1,67 

60-64 

 

р 

0 

0-49 

қанағаттанарлықсыз 

 

15.4. Мадақтау және жазалау шаралары: 

 

1.Сабаққа кешікпеу (кешіксе -0.1 тәжірибе сабақ, -0.2 дәріс) 

2. Іскер киім кию 

3.Ұялы телефонды сабақ кезінде сөндіру (сөндірмесе -0.1) 

  

4.Сабақтан себепсіз қалмау, сұрана бермеу 

              

5.Тапсырмаларды мезгілінде  және ұқыпты тапсыру (+ 0.1 баллдан + 0.5 баллға 

дейін) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          

Алматы экономика және статистика академиясы 

 

«

Информатика кафедрасы» 

 

 

 

 

 

 

 

     

ДӘРІС ЖИНАҒЫ 

 

 

 

 

Пәннің аты «Дифференциалдық теңдеулер» 

 

Мамандығы 050602 «Информатика» 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

Алматы 2010 

 

 

 

 

 

 

1,2,3,4 – 

дәрістер.  

 

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер 

 

1. Дифференциалдық теңдеулердің негізгі ұғымдары. 

2. Бір параметрден тәулді қисықтар жиыны. 

3. Интегралдық қисықтар. 

4. Кошидің бастапқы есебі. 

      

5. Коши есебінің геометриялық талқыламасы. 

      

6. Коши есебінің шешімінің бар болуы және жалғыздығы туралы теорема. 

      

7. Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер. 

      

8. Біртекті бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. 

      

9. Сызықты дифференциалдық теңдеулер. 

10.

Толық дифференциалды теңдеулер. 

11.

 

Теңдеудің толық дифференциалды болыуның қажетті және жеткілікті 

шарты. 

12.

 

Толық дифференциалды теңдеудің жалпы интегралы. 

13.

 

Клеро теңдеуі. Жалпы шешімі. 

     14.

Лагранж теңдеуі және жалпы интегралы. 

 

. Негізгі ұғымдар   

Табиғатта болатын процестерді зерттегенде, көбіне сол процесті сипаттайтын функциялар 

және туындылары арасындағы байланыстарға келеміз. Мұндай байланыстарды Лейбниц Г.В. 

(неміс математигі)  дифференциалдық теңдеулер деп атаған. 

Анықтама.  Аргумент  х -ті,  ізделетін  функция 

у

-ті  және  оның  туындыларын 

байланыстыратын теңдеуді жай дифференциалдық теңдеу деп атайды. 

Егер  теңдеудің  аргументі  біреуден  көп  болса,  онда  теңдеуде  дербес  туындылар  болады, 

сондықтан, оны дербес туындылы теңдеу деп атайды. Бұл тарауда тек жай дифференциалдық 

теңдеулер қарастырылады. 

Ізделетін 

у

-  функцияның  туындыларының  ең  үлкен  реті,  сол  теңдеудің  реті  немесе 

еселігі деп атайды. 

n

- ші ретті дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады: 

   

( )

(

)

0

...,

,

,

,

,

=

′′

′

n

y

y

y

y

x

F

 

 

(10.1.1) 

Бұл  теңдеудің  дербес  түрлерінде   

х ,

у

  және  n -  ші  ретке  дейінгі  кейбір  туындылары 

айқын жазылмауы мүмкін:  

Мысалы: 

( )

0

;

0

12

5

;

5

4

=

′

−

=

−

′

+

′′′

=

−

′′

y

y

y

y

y

y

сosx

у

х

у

.  Берілген  теңдеулердің 

реттері: екінші, үшінші, төртінші болады. 

Анықтама. Егер 

( )

х

у

ϕ

=

 функциясы өзінің 

( )

n

у

у

у

...

,

, ′′

′

- туындыларымен бірге (10.1.1) 

теңдеуді қанағаттандыратын болса, онда 

( )

х

у

ϕ

=

 -функцияны (12.1.1)  теңдеудің шешімі деп 

атайды. 

Шешімнің  сызбасын  (графигін)  интегралдық  қисық  деп  атайды.  Егер  шешім 

( )

0

,

=

у

х

ф

 

түрінде берілсе, онда оны теңдеудің интегралы дейді. 

Дифференциалдық теңдеуді шешу процесін – теңдеуді интегралдау деп айтады. 

Мысалы, 

( )

х

f

у =

′

  теңдеудің  шешімі 

( )

∫

+

=

C

dx

x

f

y

  екенін  интеграл  есептеулерінен 

білеміз,  яғни  шешім  интегралдаумен  табылады  екен.  Тағы  бір  байқайтынымыз,  берілген 

бірінші  ретті  теңдеудің  шешімінде  бір  тәуелсіз  тұрақты 

С

  бар  екен.  Осы  сияқты 

0

=

′′

у

 

теңдеуін шешетін болсақ, алдымен 

1

c

у =

′

 табамыз, сонан соң  

∫

+

=

+

=

2

1

2

1

c

x

c

c

dx

с

у

 болады, 

яғни, екінші ретті теңдеуде екі тәуелсіз тұрақты бар екен. 

Анықтама. Аргумент  х  - тен және  n  - еркін 

n

c

c

c

...

,

,

2

1

 тұрақтылардан тәуелді 

   

(

)

n

с

с

с

х

у

,...

,

,

2

1

ϕ

=

     

             (10.1.2) 

функциясы  өзінің  туындыларымен  бірге  (12.1.1)  теңдеуге  қойғанда,    теңдеу    теңбе-теңдікке 

айналатын болса, онда осы функцияны (10.1.1) теңдеудің жалпы шешімі деп айтады. 

Жалпы шешім айқындалмаған 

   

(

)

0

...

,

,

,

2

1

=

n

с

с

с

у

х

Ф

 

 

 

(10.1.3) 

түрінде  табылуы  мүмкін.  Мұны  теңдеудің  жалпы  интегралы  деп  атайды.  Егер 

n

с

с

с

...

,

2

1

 

тұрақтылардың орнына сандық мәндерін қоятын болсақ, онда (10.1.2), (10.1.3)–тен табылатын 

шешімдерді теңдеудің дербес шешімдері деп атайды. 

 

10.2. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Бастапқы шарт және Коши есебі 

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу жалпы түрде: 

   

(

)

0

,

,

=

′

y

y

x

F

, 

 

(10.2.1) 

ал  y′  осыдан айқындалатын болса 

   

( )

y

x

f

y

,

=

′

   

 

(10.2.2) 

түрінде беріледі. 

Егер (10.2.2) теңдеудің жалпы шешімі 

   

( )

c

x

y

,

ϕ

=

   

 

(10.2.3) 

болып  берілсе,  онда  тұрақты  c -ның  бір  мәнінде  (10.2.2)  теңдеудің  соған  сәйкес  дербес 

шешімін  табуға  болады.  Сондай  шешімді 

0

х

х =   болғанда 

0

у

у =   болады  деп  алып  (мұны 

бастапқы  шарт  деп  атайды)  табуға  болады.  Шынында  да,  осы  мәндерді  (10.2.3)-ке  қойсақ 

(

)

с

х

у

,

0

0

ϕ

=

  болады.  Осыдан 

0

с

с =   мәнін  табамыз  да  (10.2.3)  қоямыз,  сонда 

(

)

0

,

с

х

у ϕ

=

 

болады.  Табылған  шешім  бастапқы  шартты  қанағаттандырған  шешім  болады.  Осы  сияқты, 

жалпы  интегралдан  да  бастапқы  шартты  қанағаттандыратын  дербес  интегралды  табуға 

болады. 

Анықтама.  (10.2.2)  дифференциалдық  теңдеудің 

( )

0

0

у

х

у

=

-бастапқы  шартын 

қанағаттандыратын шешімін табу мәселесін Коши есебі деп атайды. 

Бір ескеретін жағдай, мұндай шешім (10.2.2) теңдеудегі әрбір 

( )

y

x

f

,

 функциясы немесе 

кез  келген  бастапқы  шартта  бар  бола  бермейді.  Қандай  жағдайда  шешім  бар  болатынын 

көрсететін мына теореманы ұсынамыз. 

Коши теоремасы. Егер (10.2.2) теңдеудегі 

( )

y

x

f

,

 және оның дербес туындысы 

( )

y

x

f

y

,

′

 

жабық 

D

  облысында  үзіліссіз  болса  және 

(

)

D

y

x

∈

0

0

,

,  онда  осы  облыста  (10.2.2)  теңдеудің 

(

0

0

,

y

y

x

x

=

=

 шарттарын қанағаттандыратын) тек ғана жалғыз шешімі бар болады. 

Коши теоремасымен анықталмайтын шешімдерді ерекше деп атайды. 

Коши  теоремасының  геометриялық  мағынасы  мынадай: 

(

)

D

у

х

∈

0

0

,

  нүктесінен  өтетін 

интегралдық қисық тек біреу ғана болады. 

10.3. Айнымалылары бөлектенетін (ажыралынатын) теңдеулер 

Айнымалылары бөлектенетін бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер мына түрде: 

   

( ) ( )

( ) ( )

0

=

⋅

+

⋅

dy

y

Q

x

P

dx

y

N

x

M

           (10.3.1) 

немесе  осыған  келтірілетін  түрде  беріледі.  Бұл  жерде 

( ) ( )

,

,

y

N

x

M

 

( ) ( )

y

Q

x

P

,

-  үзіліссіз 

функциялар. Айталық 

( ) ( )

0

≠

⋅ x

P

y

N

 болсын. (10.3.1) теңдеудің екі жағын да осы көбейтіндіге 

бөлетін болсақ, онда 

   

       

( )

( )

( )

( )

0

=

+

dy

y

N

y

Q

dx

x

P

x

M

. 

Бұл өрнекті интегралдайтын болсақ, (10.3.1) теңдеудің жалпы интегралын табамыз: 

   

     

( )

( )

( )

( )

∫

∫

=

+

C

dy

y

N

y

Q

dx

x

P

x

M

. 

Егер дифференциалдық теңдеу мынадай түрде берілсе: 

   

( ) ( )

y

x

y

ψ

ϕ

⋅

=

′

, 

                   (10.3.2) 

онда оны 

( ) ( )

y

x

dx

dy

ψ

ϕ

⋅

=

  немесе 

( )

( )

dx

x

y

dy

ϕ

ψ

=

  деп жазуға болады. Екі жағынан да интеграл алатын 

болсақ: 

( )

( )

∫

∫

+

=

C

dx

x

y

dy

ϕ

ψ

   

(

)

const

C

−

, яғни бұл (10.3.2) теңдеудің жалпы шешімі болады. 

10.4. Бірінші ретті біртекті дифференциалдық теңдеулер 

Анықтама. 

( )

y

x

f

,

 функциясы 

n

-ші дәрежелі біртекті функция деп аталады, егер 

   

(

)

( )

y

x

f

t

ty

tx

f

n

,

,

=

   

           (10.4.1) 

болса, бұл жерде 

0

≠

t

- қосымша берілген параметр.  

(10.4.1)  теңдікте 

0

=

n

  болған  жағдайда 

( )

y

x

f

,

  функциясын  нөлінші  дәрежелі  біртекті 

функция деп атайды. 

Мысалы, 

( )

2

2

2

5

2

3

,

у

х

ху

х

y

x

f

−

+

=

- нөлінші дәрежелі біртекті функция. Шынында да 

 

(

) ( )

( ) ( )

( )

( )

(

)

(

)

( )

y

x

f

y

x

t

xy

x

t

ty

tx

ty

tx

tx

ty

tx

f

,

5

2

3

5

2

3

,

2

2

2

2

2

2

2

2

=

−

+

=

−

⋅

+

=

. 

Анықтама. Егер 

( )

y

x

f

,

- нөлінші дәрежелі біртекті функция болса, онда 

   

( )

y

x

f

dx

dy

,

=

   

 

          (10.4.2) 

теңдеуін  біртекті  деп  атайды.  (10.4.2)  теңдеуді  шешу  үшін,  басқа  айнымалыны  енгіземіз: 

x

y

U

=

 немесе 

x

U

y

⋅

=

, бұл жерде 

( )

x

U

U

=

- белгісіз үзіліссіз функция. 

( )

y

x

f

,

  функциясы  біртекті  болғандықтан,  параметр  t -ны 

(

)

0

1

≠

=

x

x

t

  деп  алып, 

мынадай түрлендірулер жасауға болады: 

(

)













=













⋅

⋅

=

x

y

f

x

y

x

x

f

yt

xt

f

,

1

1

,

1

,

. 

Сонда (10.4.2) теңдеуі мына түрге келеді: 













=

x

y

f

dx

dy

,

1

. 

Енді  жоғарыдағы 

x

y

U

=

  алмастыруды  қолдансақ,  бұл  теңдеу  былай  жазылады: 

( )

u

f

u

dx

du

х

,

1

=

+

  немесе 

( )

u

u

f

dx

du

х

−

=

,

1

; 

Бұл айнымалылары бөлінетін теңдеу, сондықтан 

( )

x

dx

u

u

f

du

=

−

,

1

. 

Екі  жағын  интегралдайтын  болсақ: 

( )

∫

∫

=

−

x

dx

u

u

f

du

,

1

    немесе 

( )

C

x

u

Ф

ln

ln

+

=

  деп 

жазуға болады. 

Енді 

x

y

U

=

 мәнін қоятын болсақ:  

( )

сx

х

у

Ф

ln

=













  (10.4.2)  теңдеудің  жалпы  интегралы 

болады. 

жүктеу/скачать 0,84 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: