-ші  ретті  коэффициенттері  тұрақты  біртекті  емес  сызықты  дифференциалдық

шешімін табу жолын  §10.8-да келтіргенбіз. Ал, 

)

(x

V

 дербес шешімін табу үшін тұрақтыларды 

варияциялау әдісін де қолдануға болады (§10.7). 

Бырақ  бұл  әдісті  қолданғанда,  үлкен  санауларға  кездесеміз,  сондықтан,  басқа  әдістерді 

қарастыруға тура келеді. Соның бірі – шешімді теңдеудің оң жағындағы 

( )

x

f

 функциясына 

ұқсайтын функциялар түрінде іздеп табу. 

1.

 

( )

x

P

e

x

f

m

x

α

=

)

(

  болсын,  бұл  жерде 

( )

m

x

P

m

−

-  ші  дәрежелі  көпмүшелік,  ал 

α

-саны 

(10.8.2)  –сипаттауыш  теңдеудің  түбірі  болмасын.  Онда  (10.9.1)  теңдеудің  шешімін 

( )

( )

x

Q

e

x

V

m

x

α

=

-түрінде іздейміз. Бұл жерде 

( )

x

Q

m

-коэффициенттері белгісіз  m -ші дәрежелі 

көпмүшелік. Енді осы 

( )

x

V

-ты және оның туындыларын (10.9.1) теңдеуге қоямыз, сонан соң, 

сол  теңдеудің  екі  жағындағы  бірдей  функциялардың  коэффициенттерін  теңестіреміз.  Сонда, 

(

)

1

+

m

  коэффициентті  табу  үшін 

(

)

1

+

m

  теңдеу  теңестіруден  табылады.  Яғни,  бұл  жерде 

(

)

1

+

m

 теңдеуден тұратын жүйеге келеміз. Бұл жүйенің шешімін тауып белгісіз 

( )

x

Q

m

 қоятын 

болсақ, сонда 

( )

x

Q

x

y

m

α

=

 - (10.8.1) теңдеудің дербес шешімі болады. 

Бұл әдісті белгісіз коэффициенттерді табу әдісі деп. атайды. 

2. 

( )

)

(x

P

e

x

f

m

x

α

=

 болсын, ал 

α

-саны сипаттауыш теңдеудің 

S

 еселі түбірі болсын. Сонда 

(10.9.1) теңдеудің дербес шешімін 

)

(x

Q

e

x

y

m

x

S

α

=

 түрінде іздейтін боламыз. 

3. 

( )

( )

( )

( )

[

]

x

x

P

x

x

P

e

x

f

m

m

rx

β

β

sin

cos

)

(

2

1

+

=

  болсын.  Бұл  жерде 

β

α, -нақты  сандар,  ал 

( )

( )

( )

( )

x

P

x

P

m

m

2

1

,

  -біреуі  m -дәрежелі  көпмүшелік,  ал  екіншісі  дәрежелі  m -нен  үлкен  емес 

көпмүшелік болсын. Егер 

r

 саны (10.8.2) сипаттауыш теңдеудің 

S

- еселі түбірі болса, онда 

(10.9.1) теңдеудің дербес шешімін мынадай түрде іздейміз: 

   

( )

( )

( )

[

]

x

Q

x

x

Q

e

x

y

m

m

rx

S

β

β

sin

cos

2

1

+

=

. 

Бұл  жерде 

( )

( )

( )

( )

x

Q

x

Q

m

m

2

1

,

-  коэффициенттері  белгісіз  және 

( )

( )

( )

( )

x

P

x

P

m

m

2

1

,

 

көпмүшеліктерге ұқсас көпмүшеліктер болады. 

 

 

 

 

Сұрақтар. 

 

1.

Бейбіртектес  сызықты  теңдеудің  жалпы  шешімінің  құрылымы 

туралы теорема. 

2.

Бейбіртектес  сызықты  коэффициенттері  тұрақты  екінші  ретті 

дифференциалдық теңдеулер. 

3.

Тұрақтыны вариациялау әдісімен дербес шешімді табу. 

4.

Сызықты  теңдеудің  оң  жағы  квазикөпмүшелік  болып  келген 

жағдайда дербес шешімін табудың таңдау әдісі. 

 

Әдебиеттер: [1], [2], [5]. 

 

 

 

 

 

11,12 дәрістер. Дифференциалдық теңдеулер жүйесі 

 

1.

Негізгі ұғымдар. 

2.

Нормалдық дифференциалдық теңдеулер жүйесі. 

3.

Нормалдық дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін Коши есебі. 

4.

Нормалдық теңдеулер жүйесін ығыстыру әдісімен (жою әдісімен) n- ші 

ретті бір дифференциалдық теңдеуге келтіру. 

5.

Біртекті сызықты коэффициенттері тұрақты теңдеулер жүйесін матрицалық 

түрде жазу. 

6.

Сипаттаушы теңдеуді құру. 

7.

Жүйе матрицасының меншікті сандары мен меншікті вектроларын табу. 

8.

Жүйенің іргелі шешімдер жүйесін табу. 

 9.

Жүйенің жалпы шешімін құру 

 

 

1.

 

1. Дифференциалдық теңдеулер жүйесі. Жою әдісі немесе жүйені бір теңдеуге 

келтіру . 

 

Дифференциалдық теңдеулер жүйесінің канондық  түрінің дербес жағдайы, жоғары ретті 

туындысы бойынша шешілген п-ші ретті бір теңдеу болып  табылады. 

).

,...

,

,

(

)

1

(

)

(

−

′

=

n

n

x

x

x

x

t

f

x

 

Төмендегідей жаңа функциялар енгізсек,  

)

(

...,

),

(

),

(

)

1

(

1

2

1

t

x

x

t

x

x

t

x

x

n

n

−

−

=

′′

=

′

=

 

бұл теңдеу п- теңдеуден тұратын дұрыс системаға ауысады: 























=

=

=

=

−

−

−

).

,...,

,

,

,

(

...

,

,

2

1

1

1

2

2

1

1

n

n

n

n

x

x

x

x

t

f

dt

dx

x

dt

dx

x

dt

dx

x

dt

dx

 

Және керісінше де тұжырымдауға да болады, п- теңдеуден тұратын 1- ші ретті дұрыс жүйе 

п-ші ретті бір теңдеуге эквивалентті. Дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешудегі  жою 

әдісі  осыған  негізделген.  Екі  теңдеуден  тұратын  жүйені  шешудегі  осы  әдістің  мысалын 

көрсетейік. 

                                      











+

+

=

+

+

=

)

(

),

(

t

g

dy

cx

dt

dy

t

f

by

ax

dt

dx

                                               (1) 

Мұндағы 

d

c

b

a

,

,

,

- 

тұрақтылар, 

)

(

),

(

t

g

t

f

- 

берілген  функциялар,

)

(

),

(

t

y

t

x

- 

белгісіз 

функциялар. (1)- жүйенің  бірінші теңдеуінен табамыз: 

                                            













−

−

=

)

(

1

t

f

ax

dt

dx

b

y

                                                             (2) 

Жүйенің екінші теңдеуіне у- орнына (2)- ні ал 

dt

dy

- 

орнына  (2)- нің оң жағының 

туындысын қойсақ, 

)

(t

x

-

ға қатысты екінші ретті теңдеу аламыз: 

,

0

)

(

)

(

2

2

=

+

+

+

t

P

x

C

dt

dx

B

dt

x

d

A

 

Мұндағы 

C

B

A

,

,

- 

тұрақтылар. Бұдан 

)

,

,

(

2

1

C

C

t

x

x

=

. (2)- 

теңдеуге табылған өрнекті және 

оның туындысын апарып қойып, у- ті табамыз. 

2. Интегралданатын комбинацияларды табу. ДТ жүйесінің симметриялық формасы. 

n

k

x

x

x

t

f

dt

dx

n

k

k

,...,

2

,

1

),

,...

,

,

(

2

1

=

=

                           (3) 

(3)  түрдегі  дифференциалдық  теңдеулер  жүйесін  интегралдау  әдісінің  бұл  түрі 

арифметикалық  операциялар  (қосу,  көбейту,  азайту  бөлу)  нәтижесінде  (3)  жүйеден 

интегралданатын комбинациялар яғни, 

0

)

,

,

(

=

dt

du

u

t

F

 

 

түрдегі  қарапайым  шешілетін  теңдеулер  алу.  Мұндағы  u -

)

(

...

),

(

),

(

2

1

t

x

t

x

t

x

n

-

ізделінді 

функциялардан  құралған  функция.  Әрбір  интегралданатын  комбинация    бір  алғашқы 

интегарлды  береді.  Егер  (3)  жүйенің  n   -тәуелсіз  алғашқы  интегралдары  табылса,  онда 

интегралдау процесі аяқталды, ал  егер  m -тәуелсіз алғашқы интегралдар табылса 

n

m

< , 

онда  (3) жүйе белгісіздер саны азайған жүйеге келтіріледі.  

(3)  –

ші  түрдегі  жүйенің  интегралданатын  комбинацияларын  табу  үшін,  оны  кейде 

симметриялық түре жазған ыңғайлы. 

1

)

,...,

,

,

(

...

)

,...,

,

,

(

)

,...,

,

,

(

2

1

1

2

1

2

1

2

1

1

1

dt

x

x

x

t

f

dx

x

x

x

t

f

dx

x

x

x

t

f

dx

n

n

n

n

=

=

=

=

  .               (4) 

Симметриялық  формада  жазылған  жүйеде 

n

x

x

x

t

,...,

,

,

2

1

тәуелсіз  айнымалылары 

теңправолы, ал бұл интегралданатын комбинацияларды табуды жеңілдетеді.  

(4)  түрдегі  жүйені  шешу  үшін  айнымалылары  ажыратылатын  екі  жұп  қатынасты 

қарастырады, немесе прпорция көбейтіндісін пайдаланады: 

m

m

m

m

m

m

b

b

b

a

a

a

b

a

b

a

b

a

λ

λ

λ

λ

λ

λ

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=

...

...

...

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

 

Мұндағы, 

m

λ

λ

λ

,...,

,

2

1

 

коэффициенттерін нольге тең болатындай немесе бөлгіштің алымы,  

бөлімнің дифференциалы болатындай етіп таңдайды. 

 

 

Тұрақты коэффициентті біртекті сызықты жүйелерін интегралдау. Эйлер әдісі. 

∑

=

=

=

n

k

k

ik

i

n

i

t

x

a

dt

dx

1

,

,...,

2

,

1

),

(

                                                    (1) 

(1)- 

түрдегі  дифференциалдық  теңдеулер  жүйесін  тұрақты  коэффициентті  сызықты 

біртекті  жүйе  деп  атаймыз.  Мұндағы 

ik

а -  коэффициенттері  тұрақтылар,  ал 

t

t

x

k

),

(

- 

дан 

тәуелді функциялар.Қысқаша (1)-теңдеуді матрицалық түрде жазуға болады: 

AX

dt

dX =

.                                                                  (2) 

Мұндағы, 

























=

nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

а

а

A















2

1

2

22

21

1

12

11

,   

























=

)

(

)

(

)

(

2

1

t

x

t

x

t

x

X

n



,  





































=

dt

dx

dt

dx

dt

dx

dt

dx

n



2

1

. 

Егер, 

b

t

a

t

AY

dt

dY

<

<

≡

),

(

 

үшін  теңдігі  орындалса  онда 

























=

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

t

y

t

y

t

y

t

Y

n



- 

бір  бағанды 

матрицасы  

)

,

( b

a

интервалында (2)- нің дербес шешімі деп аталынады . 





























=

)

(

)

(

)

(

)

(

1

)

2

(

1

)

1

(

1

1

t

x

t

x

t

x

X

n



,





























=

)

(

)

(

)

(

)

(

2

)

2

(

2

)

1

(

2

2

t

x

t

x

t

x

X

n



, ..., 





























=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

(

)

1

(

t

x

t

x

t

x

X

n

n

n

n

n



 

-

дербес 

шешімдер 

жүйесі 

)

,

( b

a

интервалында  фундаментальды  деп  аталынады  егер  осы  шешімдерден  құрылған 

Вронский анықтауышы 

)

,

( b

a

t

∈

∀

аралығында, нөлден өзге болса.  

Егер  (2)-ші  теңдеудің  дербес  шешімдері  фундаменталь  жүйе  құраса,  онда  (2)-нің  жалпы 

шешімі төмендегідей түрде болады 

)

(

...

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

t

X

C

t

X

C

t

X

C

t

X

n

n

+

+

+

=

 

Мұндағы 

n

C

C

C

,...,

,

2

1

- 

кез келген тұрақты. 

жүктеу/скачать 0,84 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: