Қаралық ғылыми­практикалық конференция I том

120 

 

Considerable  efforts  have  been  expanded  in  formulating  numerical  solution  methods 

that are both accurate and efficient. Methods of numerical solutions of parabolic problems with 

parameters have been studied by many researchers (see, [3­6]). One usually focuses himself on 

the uniqueness and the stability of the inverse problem. For the uniqueness, we refer [7]. The 

discussion  of  the  stability  is  preparatory  to  the  numerical  implementation  for  the  inverse 

problem  in  the  theoretical  respect.  During  the  last  decades,  some  numerical  techniques  have 

been proposed to solve a one­dimensional IHCP. Determination of a control function in three­

dimensional  parabolic  equation  and  in  polar  coordinate  system  are  also  investigated.  Among 

them  the  finite  difference  method  and  the  finite  element  method  are  so  far  the  principal 

numerical tool of choice for the modeling and simulation of the IHCP.  

Problem formulation 

One  application  of  inverse  heat  conduction  problem  in  engineering  and  science  is  to 

predict  the  thermal  conductivity  from  the  measured  temperature  profiles.  The  inverse 

estimation  of  thermal  conductivity  by  the  measured  temperature  profiles  has  been  studied  by 

many researchers. This work is devoted to the study of the well­posedness of the approximate 

solution of the right­hand side identification problem  

 





 





   





 

 





 





























l

x

x

x

u

T

t

l

t

u

t

u

T

t

l

x

x

t

f

x

Q

t

P

x

t

u

x

t

u

x

a

x

t

u

xx

t

0

 ,

=

0,

,

0,0

=

,

=

,0

,

<

<

0

 

,

<

<

0

,

,

=

,

,

)

(

,





 

(1) 

where 

   

   

   

   

.

=

2

2

1

1

x

q

t

p

x

q

t

p

x

q

t

p

x

Q

t

P

n

n









 Here 

 

x

t

u ,

 and 

 



n

i

t

p

i

,

1,2,

=

 



 

are  unknown  functions, 

 

,

, x

t

f

 





,

,

1,2,

=

 

)

(

n

i

x

q

i



 

),

(x



 and 

 

x

a

 are  given  sufficiently 

smooth  functions, 

 

0

>





x

a

 and 

0

>



 is  a  sufficiently  large  number.  For  solving  the 

parabolic 

inverse 

problem 

(1), 

the 

overdetermined 

conditions 





  



 





 

 

=

,

,

,

=

,

,

=

,

2

2

1

1

t

s

t

u

t

s

t

u

t

s

t

u

n

n









where 

n

s

s

s

,

,

,

2

1



 are  inner  points, 

 

t

i



 





,

,

1,2,

=

n

i



 

T

t 



0

are  sufficiently  smooth  functions  are  determined.  Let  us  assume 

 

=

0

q

 

 

0

=

l

q

 and 

   

 

n

s

q

s

q

s

q



,

,

2

1

 are  different  from  zero.  In  this  paper,  for  the  clarity 

2

=

n

 is taken. 

Stability  analysis  of  solutions 

   

t

p

x

t

u

1

,

,

 and 

 

t

p

2

 are  given  by  the  help  of  an 

auxiliary problem. To formulate the auxiliary problem, the transformation  

 

 

 

   

   

,

,

=

,

2

2

1

1

x

q

t

x

q

t

x

t

w

x

t

u









 

(2) 

where  

 

 

 

 

0

=

0

,

=

1

1

0

1





ds

s

p

t

t



 

and 

 

 

 

 

0

=

0

,

=

2

2

0

2





ds

s

p

t

t



 

is determined. Taking partial derivative of both sides of equation (2), we get 

 









   

   

x

q

t

p

x

q

t

p

x

t

w

x

t

u

t

t

2

2

1

1

,

=

,





 

(3) 

and 

 









 

 

 

 

.

,

=

,

2,

2

1,

1

x

q

t

x

q

t

x

t

w

x

t

u

xx

xx

xx

xx









 

(4) 

Using the overdetermined conditions, we can write 

 

 









   

   

1

2

2

1

1

1

1

1

1

,

=

,

=

s

q

t

s

q

t

s

t

w

s

t

u

t











 

and  

 

 









   

   

.

,

=

,

=

2

2

2

2

1

1

2

2

2

s

q

t

s

q

t

s

t

w

s

t

u

t











 

If  

121 

 

 





 

 

 

 

0,

=

=

,

2

2

2

1

1

2

1

1

2

1



s

q

s

q

s

q

s

q

s

s

J

 

one can easily show that 

 

 

 





 

 





 





2

1

2

2

2

2

1

2

1

1

1

,

,

,

=

s

s

J

s

q

s

t

w

t

s

q

s

t

w

t

t











 

(5) 

and 

 

 

 

 





 

 









.

,

,

,

=

2

1

2

2

2

1

1

1

1

1

2

s

s

J

s

t

w

t

s

q

s

t

w

t

s

q

t











 

(6) 

Replacing equations (3)­(6) in (1), we reach to the following auxiliary problem 

 

















   

   



  



  

   

   

 

 





   

   



  



  

   

   

 

 





 

 





 



























































l

x

x

x

u

T

t

l

t

u

t

u

T

t

l

x

x

q

x

q

s

q

s

q

s

q

s

q

s

q

s

t

w

s

q

s

t

w

s

q

t

s

q

t

x

q

x

q

s

q

s

q

s

q

s

q

s

q

s

t

w

s

q

s

t

w

s

q

t

s

q

t

x

t

f

x

t

w

x

t

w

x

a

x

t

w

xx

xx

xx

t

0

 

,

=

0,

,

0,0

=

,

=

,0

,

<

<

0

 ,

<

<

0

,

,

,

,

,

=

,

,

)

(

,

2

2,

1

2

2

1

2

2

1

1

2

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

2

1

1,

1

2

2

1

2

2

1

1

1

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

















 

(7) 

under the same assumptions on 

 

x

q

. 

Theoretical considerations 

In this section, coercive stability estimates of problem (1) are obtained where additional 

condition  is  observed  with  and  without  noise.  To  formulate  our  results,  we  introduce  the 

Banach  space 





,

0, L

C





 

 

0,1





,  of  all  continuous  functions 

 

x



 defined  on 





L

0,

 with 

 

 

0

=

=

0

L

'





 satisfying a Hölder condition for which the following norm is finite 

 

 

 





 

.

sup

max

=

0,

<

0

0













h

x

h

x

x

L

L

h

x

x

L

x

C



















 

 

In a Banach space  ,

E  with the help of a positive operator 

A

 we introduce the fractional 

spaces 

1,

<

<

,0





E

 consisting of all 

E

v 

 for which the following norm is finite: 

 





.

exp

sup

=

1

0

>

E

E

E

v

A

A

v

v

















 

Positive constants will be indicated by 

M

 which can be differ in time.  

Theorem 1 1  Let 

 





,

0,

2

2

L

C

x











  































L

C

T

C

x

t

f

0,

,

0,

,

2





 and 

 





T

C

t

'

0,





. Then 

for the solution of problem (1) the following coercive stability estimates 

 





















 





 





,

0,

0,

,

,

,

,

,

,

,

]

[0,

]

[0,

0,

2

,

0,

2

2

0,

2

2

,

0,

2

,

0,







































































T

C

C

T

C

C

T

C

'

C

T

C

C

T

C

t

L

f

L

T

q

x

a

M

q

x

M

L

u

L

u





























 

 

 













T

C

'

T

C

q

x

M

p

0,

0,

1

,







 

122 

 

 

 





 





 





,

0,

0,

,

,

,

,

,

,

0,

2

,

0,

2

2







































T

C

C

T

C

C

L

f

L

T

q

x

a

M



















 

 

 













T

C

'

T

C

q

x

M

p

0,

0,

2

,







 

 

 





 





 











































T

C

C

T

C

C

L

f

L

T

q

x

a

M

0,

2

,

0,

2

2

0,

0,

,

,

,

,

,

,



















 

hold.   

жүктеу/скачать 9,92 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: