9-сынып. №1.Кез-келген n натуралсаны үшін n(n2-1)(5n+2) өрнегінің 24-ке бөлінетіндігін дәлелдеңдер. Дәлелдеуі:5n+2=(5n+10)-8 теңдігін ескеріп өрнекті түрлендіріп жазайық:
n(n2-1)(5n+2)=5n(n2-1)(n+2)-8n(n2-1)= 5(n-1)n * (n+1)(n+2) -8 (n-1)n(n+1). (n-1)n(n+1)(n+2) өрнегі төрт тізбектес натурал санның көбейтіндісі болғандықтан , әрі 3-ке бөлінеді, әрі 8-ге бөлінеді. 8 бен 3 өзара жай сан болғандықтан бұл өрнек 24-ке бөлінеді.
8(n-1)n(n+1) өрнегі де 24-ке бөлінеді , себебі (n-1)n(n+1) көбейтіндісі 3-ке бөлінеді.
10-сынып. №1. а мен в сандары х2-6х+1=0 теңдеуінің түбірлері.Кез-келген натурал саны үшін аn+вn өрнегінің бүтін сан болатындығын және 5-ке бөлінбейтіндігін дәлелдеңдер. Дәлелдеуі: Математикалық индукция тәсілін қолданайық. Виет теоремасына сүйеніп жазайық:
ав=1 Сонымен n=1 болғанда аn+вn өрнегі бүтін және 5-ке
а+в=6бөлінбейді n=k болғанда
аk+вk өрнегі бүтін болып 5-ке бөлінбейтін болсын n=k+1 болғанда ak+1 +вk+1 өрнегінің бүтін болып және 5-ке бөлінбейтінін дәлелдейік.
(ak+вk)(а+в) = ak+1+авk+ ваk+ в k+1= (ak+1+вk+1 )+ав (вk-1+ ak-1) Осыдан мынадай өрнекке келеміз.
ak+1+вk+1=(ak+вk)(а+в)- ав (вk-1+ ak-1) Индукция болжамы бойынша ak+вk єZ; вk-1+ ak-1є z және ав=1 , а+в =6. Олай болса , ak+1 +вk+1 өрнегі бүтін және 5-ке бөлінбейді. Онда математикалық индукция принципі бойынша аn+вn өрнегінде кез-келген n натурал саны үшін бүтін болады және 5-ке бөлінбейді.
Республикалық олимпиада есептері:
